与函数有关的创新题

一、选择题

1．(优质试题·湖北)已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧

1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.

f (x )是R 上的增函数，

g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则( )

A ．sgn [g (x )]＝sgn x

B ．sgn [g (x )]＝sgn [f (x )]

C ．sgn [g (x )]＝－sgn x

D ．sgn [g (x )]＝－sgn [f (x )]

2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝－x 2，值域为{－1，－9}的“同族函数”共有( )

A ．9个

B ．8个

C ．5个

D ．4个 3．(优质试题·安徽六安高三调研)若直角坐标平面内的两个不同点M ，N 满足条件：

①M ，N 都在函数y ＝f (x )的图象上；

②M ，N 关于原点对称．

则称点对[M ，N ]为函数y ＝f (x )的一对“友好点对”．(注：点对

[M ，N ]与[N ，M ]为同一“友好点对”

)

已知函数

f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lo

g 3x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，此函数的“友好点对”有

( ) A ．0对 B ．1对 C ．2对 D ．3对

4．已知定义域为R 的函数f (x )在(8，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋8)为偶函数，则( )

A ．f (6)>f (7)

B ．f (6)>f (9)

C ．f (7)>f (9)

D ．f (7)>f (10)

5．(优质试题·河南十校联考)设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义

f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )

A ．K 的最大值为0

B ．K 的最小值为0

C ．K 的最大值为1

D ．K 的最小值为1 二、填空题

6．若f (x )的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ](a

是[a ，b ]上的“四维光军”函数．设g (x )＝12x 2－x ＋32是[1，b ]上

的“四维光军”函数，则常数b 的值为____．

7．若实数t 满足f (t )＝－t ，则称t 是函数f (t )的一个次不动点．设函数f (x )＝ln x 与函数g (x )＝e x (其中e 为自然对数的底数)的所有次不动点之和为m ，则m ＝____.

8．定义：函数y ＝f (x )，对给定的正整数k ，若在其定义域内存在实数x 0，使得f (x 0＋k )＝f (x 0)＋f (k )，则称函数f (x )为“k 性质函

数”．若函数f(x)＝lg

a

x2＋1

为“2性质函数”，则实数a的取值范

围是________．

9．用[x]表示不大于实数x的最大整数，方程lg2x－[lg x]－2＝0的实根个数是________．

三、解答题

10．已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a∈R.

(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；

(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．

答案解析

1．C[因为a>1，所以当x>0时，x0，sgn[g(x)]＝1＝－sgn x；当x＝0时，g(x)＝0，sgn[g(x)]＝0＝－sgn x也成立．故C正确．]

2．A[函数y＝－x2，值域为{－1，－9}，可知自变量x从1，－1，±1中任取一个，再从3，－3，±3中任取一个构成函数，故满足条件的“同族函数”有3×3＝9个．]

3．C

4．D[因为y＝f(x＋8)为偶函数，

所以y＝f(x)的图象关于直线x＝8对称．

又因为y＝f(x)在(8，＋∞)上为减函数，

所以y＝f(x)在(－∞，8)上为增函数，

所以f(7)＝f(9)，f(9)>f(10)．

所以f(7)>f(10)．]

5．D[根据题意可知，对于任意x∈(－ ，1]，恒有f K(x)＝f(x)，

则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．令2x＝t，则t∈(0,2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，

∴K≥1，故选D.]

6．3

7．0

解析在同一直角坐标系中画出函数y＝ln x，y＝－x的大致图象，其图象有唯一的公共点(t，－t)，即有ln t＝－t，e－t＝t，于是点(－t，t)是函数y＝e x，y＝－x的图象的交点，因此函数f(x)＝ln x与g(x)＝e x的次不动点必是成对出现的，且两者互为相反数，所以m ＝0.

8．[15－102，15＋10 2 ]

解析由条件得lg a

(x0＋2)2＋1＝lg

a

x20＋1

＋lg

a

5，

即a

(x0＋2)2＋1＝

a2

5(x20＋1)

(a>0)，