第2章被控过程的数学模型

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1．单容水槽 ． 单容水槽如下图所示。不断有水流入槽内，同时 也有水不断由槽中流出。水流入量 Qi 由调节阀开度 µ 加以控制，流出量Qo 则由用户根据需要通过负载阀 R 来改变。被控变量为水位H，它反映水的流入量与流 出量之间的平衡关系。现在分析水位在调节阀开度扰 动下的动态特性。
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图2-5 单容水槽
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3．单容积分水槽 ． 单容积分水槽如图2-10 所示，它与图2-5中的单容水 槽只有一个区别。在它的流 图2-10 单容积分水槽 出侧装有一只排水泵。 在图2-10中，水泵的排水量仍然可以用负载阀R 来改变，但排水量并不随水位高低而变化。这样， 当负载阀开度固定不变时，水槽的流出量也不变， 因而在式(2-10)中有∆Q。=0。由此可以得到水位在 调节阀开度扰动下的变化规律为 d ∆H 1 dH 1 = k µ ∆µ = kµ µ 或 dt dt F F
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根据上式可得水位变化与阀门开度变化之间的传 递函数为 H ( s) k µ G(s) = = (2-18)
µ ( s)
Fs
式(2-18)代表一个积分环节，它的阶跃响应
h(t ) =
kµ µ F
t
(2-19)
为一条直线，如图2-11所示。
图2-11 单容积分水槽水位的阶跃响应
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2.2.2 多容对象的传递函数
第2章 被控过程的数学模型 章
目 录
2.1 过程模型概述 2.2 机理法建模 2.3 测试法建模 2.4 利用 利用MATLAB建立过程模型 建立过程模型
1Hale Waihona Puke Baidu
2.1 过程模型概述
2.1.1 被控过程的动态特性
——在过程控制中，被控对象内部所进行的物理、 化学过程可以是各式各样的，但是从控制的观点看， 它们在本质上有许多相似之处。 ——在生产过程中，控制作用能否有效地克服扰 动对被控变量的影响，这就要对被控对象的动态特性 进行研究。
(2-4)
上述4个公式只适用于自衡过程。对于非自衡过 程，其传递函数应含有一个积分环节，即 1 −τs G (s) = e Ts (2-5) 和
1 G (s) = e −τs T1 s (T2 s + 1)
(2-6)
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2.1.3 建立过程数学模型的基本方法 ——机理法和测试法 机理法和测试法 1．机理法建模 ． 用机理法建模就是根据生产过程中实际发生的变 化机理，写出各种有关的平衡方程以及反映流体流 动、传热、传质、化学反应等基本规律的运动方程； 物性参数方程和某些设备的特性方程等，从中获得 所需的数学模型。 如：物质平衡方程；能量平衡方程；动量平衡 方程；相平衡方程。
K G ( s) = e −τs Ts + 1
② 二阶惯性环节加纯迟延
K G (s) = e −τs (T1 s + 1)(T2 s + 1)
(2-1)
(2-2)
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③ n阶惯性环节加纯迟延
K −τs G (s) = e n (Ts + 1)
(2-3)
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④ 用有理分式表示的传递函数
bm s m + L + b1 s + b0 −τs G ( s) = e , ( n > m) n a n s + L + a1 s + a 0
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5．被控对象数学模型的表达形式 ． (l ) 按系统的连续性划分为： 连续系统模型和离散系统模型。 (2) 按模型的结构划分为： 输入输出模型和状态空间模型。 (3) 输入输出模型又可按论域划分为： 时域表达（阶跃响应）和频域表达（传递函数）。
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6. 被控过程传递函数的一般形式 根据被控过程动态特性的特点，典型工业过程控制 所涉及被控对象的传递函数一般具有下述几种形式： ① 一阶惯性加纯迟延
比较： 用测试法建模一般比用机理法建模要简单 和省力，尤其是对于那些复杂的工业过程更为明显。
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2.2 机理法建模
2.2.1 单容对象的传递函数
在不同的生产部门中被控对象千差万别，但最终 都是可以由微分方程来表示的。微分方程阶次的高低 是由被控对象中储能部件的多少决定的。 最简单的一种形式，是仅有一个储能部件的单容 对象。
以上讨论的是只有一个储能部件的对象，实际对 控过程往往要复杂一些，即具有一个以上的储能部 件。 1．双容水槽 ． 对于如图2-12 所示的双容水槽。
图2-12 双容水槽
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根据图2-12可知，水槽1和水槽2的物料平衡方程分 别为 d ∆H 1 1 = (∆Qi − ∆Q1 ) 水槽1： (2-20) F1 dt d ∆H 2 1 = (∆Q1 − ∆Qo ) 水槽2： (2-21) dt F2 假设调节阀均采用线性阀，则有
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非自平衡特性——物质或能量平衡关系破坏后，不平 非自平衡特性
衡量不因被控变量的变化而改变，因而被控变量将以固 定的速度一直变化下去而不会自动地在新的水平上恢复 平衡。这种对象不具有自平衡特性，具有这种特性的被 控过程称为非自平衡过程。 例如图中的单容积分水槽，当进水调节阀开度改变， 其阶跃响应如图2-4所示
对于上述水槽而言，在起始稳定平衡工况下， 有 H = H 0 ， i 0 = Qo 0 。在流出侧负载阀开度不变的情 Q 况下，当进水阀开度发生阶跃变化 ∆µ 时，若进水流量 和出水流量的变化量分别为 ∆Qi = Qi − Qi 0 , ∆Qo = Qo − Qo 0 则在任何时刻液位的变化 ∆H = H − H o 均满足下述物 料平衡方程：
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2．被控过程的特点 ．
1）对象的动态特性是单调不振荡的 对象的动态特性是单调不振荡的 ——对象的阶跃响应通常是单调曲线，被控变量 的变化比较缓慢(与机械系统、电系统相比)。 ——工业对象的幅频特性和相频特性，随着频率 的增高都向下倾斜。 2）大多被控对象属于慢过程 大多被控对象属于慢过程 由于大多被控对象具有很大的储蓄容积，或者由 多个容积组成，所以对象的时间常数比较大，变化过 程较慢。
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1．被控过程的分析 ．
——工业生产过程的数学模型有静态 动态 静态和动态 静态 动态之分 ——静态数学模型 静态数学模型是过程输出变量和输入变量之间 静态数学模型 不随时间变化时的数学关系。 ——动态数学模型 动态数学模型是过程输出变量和输入变量之间 动态数学模型 随时间变化时动态关系的数学描述。 过程控制中通常采用动态数学模型，也称为动态 特性。
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2．测试法建模 ． 测试法一般只用于建立输入输出模型。 它是根据工业过程的输入和输出的实测数据进行某 种数学处理后得到的模型。 主要特点：是把被研究的工业过程视为一个黑匣子，完全从
外特性上测试和描述它的动态性质，因此不需要深入掌握其内 部机理。 为了有效地进行这种动态特性测试，仍然有必要对过程 内部的机理有明确的定性了解，例如究竟有哪些主要因素在起 作用，它们之间的因果关系如何等等。
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4）被控对象往往具有非线性特性 被控对象往往具有非线性特性 ——严格来说，几乎所有被控对象的动态特性都呈 现非线性特性，只是程度上不同而已。 ——除存在于对象内部的连续非线性特性外，在控 制系统中还存有另一类非线性，如调节阀、继电器等元 件的饱和、死区和滞环等典型的非线性特性。
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2.1.2 数学模型的表达形式与要求 ——研究被控过程的特性，就是要建立描述被控过程 特性的数学模型。 ——数学模型有静态模型和动态模型之分。 这里讨论工业过程的动态模型。 工业过程动态数学模型的表达方式很多，其复杂程度 可以相差悬殊，对它们的要求也是各式各样的，这主要 取决于建立数学模型的目的何在，以及它们将以何种方 式加以利用。
或
(
2 Ho k
2 Ho d ∆H F) + ∆H = (k µ )∆µ dt k
(2-11)
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如果假设系统的稳定平衡工况在原点，即各变量都 以自己的零值（H 0 = 0, µ 0 = 0）为平衡点，则可去掉上 式中的增量符号，直接写成
(
2 Ho k
2 Ho dH F) + H = (k µ )µ dt k
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3）对象动态特性的迟延性 对象动态特性的迟延性 ——迟延的主要来源是多个容积的存在，容积 的数目可能有几个直至几十个。容积愈大或数目 愈多，容积迟延时间愈长。 ——有些被控对象还具有传输迟延。 由于迟延的存在，调节阀动作的效果往往需要 经过一段迟延时间后才会在被控变量上表现出来。
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4）被控对象的自平衡与非自平衡特性 被控对象的自平衡与非自平衡特性 自平衡——被控对象，当受到扰动作用致使原来的物 自平衡 料平衡关系遭到破坏后，无须外加任何控制作用，依靠 对象本身，自动随着被控变量的变化，其不平衡量会愈 来愈小，最后能够自动地稳定在新的平衡点上。 具有这种特性的被控过程称为自平衡过程。 如图中的单容水槽,其阶跃响应如图所示。
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图2-9 具有纯迟延的单容水槽
参照式（2-11）的推导关系式，可得具有纯迟延 的单容水槽的微分方程为 d ∆H (t ) T + ∆H (t ) = K∆µ (t − τ 0 ) (2-16) dt 其中， τ 0 为纯迟延时间；其它参数定义同上。 对应式(2-16)的传递函数为
∆H ( s ) K −τ 0 s G ( s) = = e (2-17) ∆µ ( s ) 1 + Ts −τ 0 s 与式(2-13)相比多了一个纯迟延环节 e 。
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3．对被控对象数学模型的要求 ． 工业过程数学模型的要求因其用途不同而不同， 总的来说是既简单又准确可靠，但这并不意味着愈准 确愈好，应根据实际应用情况提出适当的要求。抓住 主要因素，忽略次要因素。超过实际需要的准确性要 求必然造成不必要的浪费。
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4. 建立数学模型的依据 要想建立一个好的数学模型，要掌握好以下三类 主要的信息源。 (1) 要确定明确的输入量与输出量 (2)要有先验知识 (3) 试验数据
d ∆H 1 1 = (Qi − Qo ) = (∆Qi − ∆Qo ) F F dt
F为水槽的横截面积
(2-7)
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当进水阀前后压差不变时，∆Qi 与 ∆µ 成正比关系， 即
∆ Qi = k µ ∆ µ
(2-8)
对于流出侧的负载阀，其流量与水槽的水位高度有 关，即 (2-9) Qo = k H 式(2-9)是一个非线性微分方程。这个非线性给下一 步的分析带来很大的困难，应该在条件允许的情况下尽 量避免。如果水位始终保持在其稳态值附近很小的范围 内变化，那就可以将上式加以线性化。
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式(2-13)是最常见的一阶惯性系统，它的阶跃响应
y (t ) = K (1 − e
−
t T
)
是指数曲线，如图2-6所示。
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图2-6 单容水槽水位的阶跃响应
2. 具有纯迟延的单容水槽 对于如图2-9所示的单容水槽，它与图2-5不同是 进水调节阀距入槽有一段较长的距离。因此该调节 阀开度 µ 变化所引起的流入量 ∆Qi 变化，需要经过 一段传输时间 τ 0 才能对水槽液位产生影响。
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如考虑水位只在其稳态值附近的小范围内变化，故 由式(2-9)可以近似认为
Qo = Qo 0 + k 2 Ho ( H − H o ) + L = Qo 0 + ∆Qo ≈ k 2 Ho ∆H k 2 Ho ∆H + L
则
(2-10)
将式(2-8)和式(2-10)代入式(2-7)中得
d ∆H 1 k = (k µ ∆µ − ∆H ) dt F 2 Ho
(2-12)
根据式(2-12)可得水位变化与阀门开度变化之间的 传递函数为 2 Ho kµ H (s) K k G (s) = = = 1 + Ts (2-13) µ ( s) 2 Ho 1+ Fs k 其中 R =
2 Ho k
， = RF = T
2 Ho k
F， K = k µ R = k µ
2 Ho k
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1．建立数学模型的目的 ． (l) 设计过程控制系统和整定控制器的参数 (2) 控制器参数的整定和系统的调试 (3) 利用数学模型进行仿真研究 (4) 进行工业过程优化
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2．被控对象数学模型的利用方式 ． 离线 过去被控对象数学模型只是在进行控制系统的设计 研究时或在控制系统的调试整定阶段中发挥作用，这 种利用方式是离线的。 在线 近十多年来，由于计算机的发展和普及，相继推出 一类新型计算机控制系统，其特点是它要求把被控对 象的数学模型作为一个组成部分砌入控制系统中，如 预测控制系统。这种利用方式是在线的，它要求数学 模型具有实时性。