不可压缩流体动力学基础习题答案

不可压缩流体动力学基础

1.已知平面流场的速度分布为xy x u x

+=2,y xy u y 522+=。求在点(1,-1)处流体微团的线变形速度,角变形速度与

旋转角速度。 解:(1)线变形速度:y x x

u x x +=∂∂=2θ 54+=∂∂=xy y u y

y θ

角变形速度:()x y y u x u x y z +=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=222121ε 旋转角速度:()x y x u x u x y z -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=2221

21ω 将点(1,-1)代入可得流体微团的1=x θ,1=y θ;23/z =ε;21/z =ω

2.已知有旋流动的速度场为322+=y u x

,x z u y 32+=,y x u z 32+=。试求旋转角速度,角变形速度与涡线方程。

解:旋转角速度:21

21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=z u y u y z x ω 2

121=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y ω 2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=y u x u x y

z ω 角变形速度:2

521=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=z u y u y z x ε 2

521=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y ε 2521=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=y u x u x y z ε 由z y x dz dy dx ωωω==积分得涡线的方程为:

1c x y +=,2c x z +=

3.已知有旋流动的速度场为22z y c u x +=,0=y u ,0=z u ,式中c 为常数,试求流场的涡量及涡线方程。 解:流场的涡量为:

0=∂∂-∂∂

=z u y u y

z

x Ω

22z y cz

x u z u z

x y +=∂∂-∂∂=Ω

22z y cy

y u x u x y z +-=∂∂-∂∂=Ω

旋转角速度分别为:0=x ω

2

22z y cz

y +=ω

222z y cy

z +-=ω

则涡线的方程为:c dz

dy z

y +=

⎰⎰ωω 即c y dz

z dy

+-=⎰⎰

可得涡线的方程为:c c y =+22

4.求沿封闭曲线2 22b y x =+,0=z 的速

度环量。(1)Ax u x =,0=y u ;(2)Ay u x =,0=y u ;(3)0=y u ,r A u =θ。其中A 为常数。

解:(1)由封闭曲线方程可知该曲线时在z =0的平面上的圆周线。

在z =0的平面上速度分布为:

Ax u x =,0=y u

涡量分布为:0=z Ω

根据斯托克斯定理得:0==⎰z A z s dA ΩΓ

(2)涡量分布为:A z -=Ω

根据斯托克斯定理得:2

b A dA z A z s πΩΓ-==⎰

(3)由于0=r u ,r A u =θ

则转化为直角坐标为:22b Ay y r A u x -=-=,2b

Ax u y = 则22b

A y u x u x y

z =∂∂-∂∂=Ω 根据斯托克斯定理得:A dA z A

z s πΩΓ2==⎰ 5.试确定下列各流场就是否满足不可压缩流体的连续性条件？

答:不可压缩流体连续性方程

直角坐标:0=∂∂+∂∂+∂∂z

u y u x u z y x (1) 柱面坐标:0=∂∂+∂∂+∂∂+z

u r u r u r u z r r θθ (2) (1)0,,=-==z y x

u ky u kx u 代入(1) 满足 (2)y x u x z u z y u z y x +=+=+=,, 代入(1) 满足

(3)0),(),(2222=+=-+z y x u y x k u y xy x k u 代入(1) 不满足

(4)0,sin ,sin =-==z y x

u xy k u xy k u 代入(1) 不满足 (5)0,,0===z r

u kr u u θ 代入(2) 满足 (6)0,0,==-=z r

u u r k u θ 代入(2) 满足 (7)0,sin 2,cos sin 22=-==z r u r u r u θθθθ 代入(2) 满足

6.已知流场的速度分布为y x u x

2=,y u y 3-=,22z u z =。求(3,1,2)点上流体质点的加速度。 解:y x y x x y xy y x z

u u y u u x u u t u a x z x y x x x x 22322320320-=+⋅-⋅+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= y z u u y u u x u u t

u a y z y y y x y

y 9=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= 28z z

u u y u u x u u t u a z z z y z x z z =∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= 将质点(3,1,2)代入a x 、a y 、a z 中分别得:

27=x a ,9=y a ,64=z a

7.已知平面流场的速度分布为2224y x y t u x +-=,222y x x u y +=。求0=t 时,在(1,1)点上流体质点的加速度。 解:

()()()⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+-+-++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∂∂+∂∂+∂∂=2222222222222420222244y x y y x y x x y x y x y x y t y u u x u u t u a x y x x x x 当0=t 时,()()

2222222222284y x y x x y x xy a x +--+-= 将(1,1)代入得3=x a

()()()22222222222224242240y x xy y x x y x x y x y x y t y u u x u u t u a y y y

x

y

y +-⋅++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∂∂+∂∂+∂∂= 当t=0时,将(1,1)代入得:1-=y a

8.设两平板之间的距离为2h ,平板长宽皆为无限大,如图所示。试用粘性流体运动微分方程,求此不可压缩流体恒定流的流速分布。 解:z 方向速度与时间无关,质量力:g f x -=

运动方程:z 方向:2210dx

u d z p υρ+∂∂-= x 方向:→∂∂-

-=x p g ρ10 积分:)(z f gx p +-=ρ

∴p 对z 的偏导与x 无关,z 方向的运动方程可写为z p dy

u d ∂∂=μ122 积分:212

2

1C x C x z p u ++∂∂=μ 边界条件:

h x ±=,0=u

得:01=C ,221h z p C ∂∂-=μ ∴⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-∂∂-=22)(12h x z p h u μ 9.沿倾斜平面均匀地流下的薄液层,试证明:(1)流层内的速度分布为()θμγsin y by u 222-=;(2)单位宽度上的流量为θμγsin 33b q =。