线性微分方程组解的存在唯一性定理

§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
b11(t) B(t) b21(t)
bn1(t)
b12(t) b22(t)
bn2(t)
b1n(t) b2n(t)
bnn(t)
u1(t)
u (t)
u
2
(
t
)
u
n
(
t
)
在区间 atb可定义矩阵与向量函数
初值条件 x 1 ( t0 ) 1 ,x 2 ( t0 ) 2 ,,x n ( t0 ) n
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
一阶线性微分方程组
x1 a11(t)x1a12(t)x2 a1n(t)xn f1(t)
x2 a21(t)x1a22(t)x2a2n(t)x2f2(t)
…(5.1)
xn an1(t)x1an2(t)x2ann(t)xnfn(t)
a i( jt)f,i(t) i,j 1 ， 2 ， ,n在 [a ,b ]上连续
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
a11(t) A(t) a21(t)
1 )( A ( t) B ( t) ) A ( t) B ( t) (u (t) v (t)) u (t) v (t)
2 )( A ( t ) B ( t ) ) A ( t ) B ( t ) A ( t ) B ( t ) 3 )( A ( t ) u ( t ) ) A ( t ) u ( t ) A ( t ) u ( t )
e0 1
u(0)
e
0
1
因此 u (t ) 是给定初值问题的解。
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
5.1.2 n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组等价
例1 x p (t)x q (t)x f(t)
解 令 x1 x, x2 x,
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定义1 设 A(t) 是区间atb上的连续 nn矩阵，
f (t) 是区间atb上的连续 n维向量，方程组
dxxA(t)xf(t) ………….(5.4)
dt
在某区间 t ([,] [a ,b ])的解就是向量
B(t)(bij(t))nn u ( t) ( u 1 ( t)u 2 ,( t) ,,u n ( t)T )
连续: 可微:
可积:
bij (t ) ui (t ) 在区间 atb 连续。 bij (t ) ui (t ) 在区间 atb 可微。
B(t)(bij(t)n )n u ( t ) ( u 1 ( t )u 2 , ( t ) , ,u n ( t )T )
( t ) p ( t ) ( t ) q ( t )( t ) f( t )
x (t)
构造 向量
(t ) (t)
p(t)(t) q ((tt))(t)f(t)
x
(t) (t)
q 0(t) p 1(t) ((tt))f0 (t)
满足
x1(t0)1,x2(t0)2 xq0(t) p1(t)xf0(t)
x1xx2 x2 x p (t)x q (t)xf(t)
xx12 x2q(t)x1p(t)x2f(t)
xq0(t) p1(t)xf0(t)
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
x(t0)1,x(t0)2
x p (t)x q (t)x f(t) 解
§ 5.1 线性微分方程组解的 存在唯一性定理
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
本节要求/Requirements/
➢ 掌握高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系。 ➢ 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理。 ➢ 熟练掌握解的逐次逼近序列的构造方法。
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
上的解 u(t), 使得 u(t0) η
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et
例1
验证向量
u(t)
et
是初值问题
x1 0
1 0x
x(0)11
在区间t 上的解。
解
u(t)
et
et
,
0 1 et et
1
0et
et
u (t ) 在区间 t 上连续且满足
u (t) A (t)u (t)f(t)
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
定义2 初值问题(Cauchy Problem)
dx dt
x
A(t)x
f
(t)
x(t0) η
………….(5.5)
的解就是方程组(5.4)在包含 t0的区 间 t
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
5.1.1 记号与定义/Symbol and Definition/
一阶微分方程组
x1 f1 (t , x1 , x2 , , xn )
x 2
f2
(t,
x1 ,
x2
,
,
xn
)
xn f n (t , x1 , x2 , , xn )
an1(t)
a12(t) a22(t)
an2(t)
a1n(t) a2n(t)
ann(t)
……….(5.2)
f1(t)
f
(t)
f
2
(
t
)
fn
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(
t
)
x1
x
x
2
x
n
x 1
dx
x
x
2
……(5.3)
dt
x
n
dxxA(t)xf(t) dt
………….(5.4)
bij (t ) ui (t ) 在区间 atb 可积。
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
B (t)d t(bi(jt)d)n tn
u ( t) d ( tu 1 ( t) d ,u 2 t ( t) d , ,t u n ( t) d ) Tt