c光谱线增宽

图(1-11b) 外来光作用下的受激原子数密度
因此，在外来光谱线宽度远大于原子光谱线宽的情况下，受激 辐射跃迁几率与原子谱线中心频率处的外来光单色能量密度有 关。
1.4.2 自然增宽
自然增宽是由于每个原子所固有的自发 辐射跃迁引起原子在能级上的有限寿命 而造成的。 量子解释：由测不准原理——不可能同 时测准微观粒子的时间和能量： t E
自然增宽的线型函数
自然增宽的线型函数（洛仑兹线型函数）
1 f N (n ) 2 4 (n n 0 ) 2 (1 2 ) 2
谱线半宽度（自然增宽）
n N n 2 n 1
1 2
用自然增宽来表达自然增宽的线型函数
n N 2 f N (n ) (n n 0 ) 2 (n N 2) 2
1.4.4 多普勒增宽
光的多普勒效应：光源或接收器之间存在相对运动时，接 收器接受到的光波频率不等于光源与接收器相对静止时的 频率。
多普勒增宽：作为光源的每个发光原子相对于观察者（接 收器）的运动速率和方向都不同造成的发光光波频率变化 也不同，造成发光谱线被增宽。
光的多普勒效应
纵向多普勒效应：设光源与接收器在两者连线方向的相对 速度为v，则接收到的光的频率为
U U 0 e cos 2n 0 t

U 0 为 t =0时的振幅
t 2
t 0
式中 为原子自发辐射的平均寿命，n 0 为简谐振动频率 如不衰减线宽为零
图(1-12) 电偶极子辐射场的衰减振动
1.4.2 自然增宽
衰减振动不是简谐振动，因此原子辐射的波不是单色的， 谱线具有有限宽度，即光谱线加宽了。由于原子发光中能 量的衰减是必然的，所以称这种加宽机制为自然增宽。 为运算方便，将上式写成复指数函数的形式
dn2 (n ) A21n2

所以单位时间内
总的自发辐射原子数密度
0
包含各种频率
总的受激辐射原子数密度
总的受激吸收原子数密度
B21n2 n f (n )dn
B12 n1 n f (n )dn
0
0
光谱线型对光与物质的作用的影响
由于总的受激辐射(吸收)原子数密度与外来光的单色能量密度 有关，分两种情况讨论： 1)当入射光的中心频率为 ν0 ，线宽为 ν ，但 ν n ， 如图(1-11a)，则单位时间内总的受激辐射原子数密度n等于：
U (t ) U 0e


t 2
ei 2n 0t
t 2
对上式进行傅立叶变换得到自发辐射的频谱
U (ν ) U (t )e i 2νt dt U 0 e

e i 2 ( ν ν0 ) t dt
考虑到t <0时U (t)=0，所以上式可写成：
U0 U (ν) U 0e e dt 0 i 2 (ν ν0 ) 1 2 2 U 0 对应光强分布为 I (n ) U (n ) 2 4 2 (n n 0 ) 2 (1 2 ) 2
图(1-10) 光谱的线型函数
二、光谱线的线型函数
实际情况：光强分布 在一个有限宽度范围 内，相对光强在n 0 处最大，称为谱线的 中心频率。
理想情况：只有一种 频率，相对光强为1， 即光强百分百集中在 该频率。
图(1-10) 光谱的线型函数
线型函数的归一化条件：相对光强之和（积分）为1 I( n) 1 dn I (n )dn 1 f (n )dn
0 0


此时受激辐射的跃迁几率为: W21 B21 f (ν0 )
同理，受激吸收跃迁几率为： W12 B12 f (ν0 ) 考虑到原子发光的线型函数以后，受激辐射 （或吸收）几率不再是 W21 B21v ，还应乘上 外来光中心频率处的原子光谱线的线型函数。
图(1-11a) 外来光作用下的受激原子数密度
A为比例常数
由归一化条件可计算出


0
f N (n )dn A 1 A 1
自然增宽的线型函数（洛仑兹线型函数）
1 f N (n ) 2 4 (n n 0 ) 2 (1 2 ) 2
自然增宽的线型函数
1 当n n 1, 2 n 0 时，f N (n ) f N (n 1 ) f N (n 2 ) 2 f N (n 0 ) 4 2 谱线半宽度（自然增宽）
由此可知，当原子能级寿命→∞时，能级 的宽度→0，原子的有限寿命会引起能级 的展宽，从而使得发出的光子的频率不 再是单一频率，而是有一定的频率间隔 Δv 。
E2
E2 E1 n h
E1 E2 E1
E
n n / 2
1.4.2 自然增宽
经典理论：原子可以看作由电子和原子核组成的作简谐振 动的电偶极子，当正负电荷之间距离作频率为 n 0 的简谐振 动时，该原子辐射频率为 n 0 的电磁波，而原子由于自发 辐射而不断损耗能量，振幅服从阻尼振动规律。原子发光 形成的电磁波是有一定长度的振幅按指数规律衰减的波列
1
当 n n 0 时，f N (n 0 ) 4 最大
n N n 2 n 1
1 2
结论：自然增宽谱线具有洛伦兹线型谱， 线宽度完全由原子在能级的自发辐射寿 命决定，进一步说明了自然加宽是由原 子具有有限的激发态寿命而引起的。
图（1-13）洛仑兹线型函数
一般原子发光平均寿命为10-5 --10-8 秒，自然增宽在十分 之几MHz到几十MHz
2
1.4.1 光谱线、线型和宽度
二、光谱线的线型函数
设某一条光谱线的总光强为I0，频率 n 附近单位频率间 n 隔的光强为 I (n ) ，则频率 n 附近单位频率间隔的相对光 强为 I (n ) I 0 光谱线的线型函数
I (n ) f (n ) I0
表示某一谱线在单位频率间隔 的相对光强分布。
n c aP
a 为比例系数，不同原子的不同谱线，其值不同。可由实
验测得，估算碰撞增宽 n c 100 ~ 200MHz
1.4.3 碰撞增宽
注意：“碰撞”一词，并非一定是两个原子相撞，而是指 当两原子间距足够近时，原子间的相互作用力足以改变原 子原来的运动状态。
固体、气体材料的原子所发光的谱线都存在碰撞增宽。固 体发光的碰撞增宽是由相邻原子之间力的相互作用改变了 原子原来的运动状态。一般气体发光时碰撞增宽大于自然 增宽 。
n B21n2 n f (ν)dν n2 B21 f (ν0 ) ν dν n2 B21 f (ν0 )
0 0


其中 0 ν dν 为外来光总辐射能量密度。
这种情况表明总能量密度为 的外来光只 能使频率为 ν0 附近原子造成受激辐射。
图(1-11a) 外来光作用下的受激原子数密度
光谱线型对光与物质的作用的影响
2) 如果有ν ν ，如图(1-11b)所示，则在单位时间内，总 的受激辐射原子数密度n等于：
n n2 B21ν 0 f (ν)dν n2 B21ν 0
0

此时受激辐射的跃迁几率为:
W21 B21ν 0
同理，受激吸收跃迁几率为：
W12 B12 ν 0
气体发光的多普勒增宽
设发光原子在单位体积内的原子总数为n，则根据麦克斯 韦分布律知，具有速度分量为(vz， vz+ dvz)的原子数为
m 12 dnz n( ) e 2kT
m v2 z 2 kT
d vz
式中m为原子(或分子)质量，T为热力学温度，k为玻尔兹 曼常数。 速度分量在vz～vz+ dv z范围内的原子数占总数的百分比为
1.4.3 碰撞增宽
碰撞增宽是由于发光原子间的无规则碰撞造成的。这种碰 撞会使原子发光中断或光波位相发生突变，即使发光波列 缩短，这样引起谱线的增宽叫碰撞增宽，其线宽用 n c 表 示。
图（1-15）碰撞增宽的形成机理
同理，可由傅立叶变换求出由碰撞增宽引起的谱线线型函数
n c 2 f c (n ) (n n 0 ) 2 (n c 2) 2
n n 0 (1
c
光的多普勒效应
横向多普勒效应：当光源与接收器之间的相对速度在垂直 于两者连线方向时，此时的频率为
v 2 n 1 ( ) n0 c
式中 v 为垂直于光源与接收器连线方向的相对速度 一般光的横向多普勒效应比纵向多普勒效应弱很多，常忽 略不计。
气体发光的多普勒增宽
洛仑兹线型
1.4.3 碰撞增宽
当发光原子同时具有碰撞增宽 n c 和自然增宽 n N 时，可 以证明所得的线型仍为洛仑兹线型，其线宽为两者之和
n H n N n c
碰撞增宽 n c 应和原子间的碰撞频率Z（即一个原子每秒和 其他原子碰撞的次数）成正比。因气体压强越大，碰撞次数 Z越大，故碰撞引起的谱线加宽与压强 P 成正比：
1 v c n n0 1 v c
式中 n 0 为光源与接收器相对静止时的频率。一般情况下v 远小于真空光速，并且光源与接收器相对趋近时，v取正 值；两者背离时，v取负值。上式取一级近似可得
若光在介质中传播时，光速应为 c ，则此时的频率可 写成 v
v n n 0 (1 ) c
)
第一章 辐射理论概要与激光产生 的条件
§1.1 光的波粒二象性
§1.2 原子能级和辐射跃迁 §1.3 光的受激辐射 §1.4 光谱线增宽 §1.5 激光形成的条件
1
1.4.1 光谱线、线型和宽度 一、谱线加宽
实际上原子的自发辐射并原子发射的光的功率并不是全部 不是单色光，而是分布在集中在中心频率n 0=（E2 - E1）/h 中心频率n 0=(E2 - E1)/h 处，而是分布在中心频率n 0附近 附近一个很小范围内，这 一个很小范围内，这种现象称为 谱线加宽。 种现象称为谱线加宽。
dnz m ( ) e n 2kT
m v2 z 12 2 kT
d vz
多普勒增宽的线型函数
不同速度的原子所发出的光被接收时的频率也不相同，由 n ,n dn 于频率与速度分量有一一对应的关系。频率在 之间的光强与总光强之比与速度分量在vz-vz+dvz之间的原 子数与总原子数之比相等
0 0
I0
I0
0
1.4.1 光谱线、线型和宽度
三、谱线宽度
光谱线宽度 n 定义为相对光强为最大值的一半处的频率 间隔，即：
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n n 2 n 1
式中各频率处光强满足：
1 f (n 1 ) f (n 2 ) f (n 0 ) 2
也称为光谱线的半宽度（FWHM)，简称光谱线宽度。
气体放电管中一个静止原子的发光频率为 n 0 ，原子的 运动速度为v，在z方向的分量为vz，一般有vz<<c，则接 收器接收到的光频率为
vz n n 0 (1 ) c
图(1-16) 发光原子相对接收器的运动
现讨论大量同类原子的发光，由于原子运动速度各不相 同，不同速度的原子所发出的光被接收时的频率也各不 相同，因此引起谱线频率增宽。
i 2 ( ν ν0 ) t t 2
自然增宽的线型函数
2 U 0 I (ν) U (ν) 2 2 4 (ν ν0 ) 2 (1 2 ) 2
自然增宽的线型函数
I (v) A f N (n ) 2 I0 4 (n n 0 ) 2 (1 2 ) 2
2 I 0 AU0
光谱线型对光与物质的作用的影响
考虑光谱线线型的影响后，单位时间内，落在频率间隔 n ~ n dn 内，自发辐射、受激辐射、受激吸收的 原子跃迁数密度公式改为
自发辐射
受激辐射 受激吸收
dn2 A21n2dt dn2 (ν) A21n2 f (ν)dν
dn2 B21n2 ν dt dn2 (ν) B21n2 ν f (ν)dν dn2 B12 n1ν dt dn2 (ν) B12 n1ν f (ν)dν

光谱线型对光与物质的作用的影响
1)当入射光的中心频率为 ν0 ，线宽为 ν ，但 ν n ， 如图(1-11a)，则单位时间内总的受激辐射原子数密度n等于：
n B21n2 n f (ν)dν n2 B21 f (ν0 ) ν dν n2 B21 f (ν0 )