历届高考中的“三角恒等式”试题精选(自我测试)

历届高考中的“三角恒等式”试题精选(自我测试)
三角函数的定义、诱导公式、三角恒等变换（A ）
1Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角
2.（2007全国Ⅱ理）sin2100 =（ ）
(A)
2
3 (B) 2
3-
(C)
2
1
(D) 2
1-
3.（2007福建文)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于（ ）
A.0
B. 21
C.
2
3 D.1
4.（2007陕西文、理）.已知5
5
sin =
∂,则∂-∂44cos sin 的值为（ ） （A ）5
3- （B ）5
1-
（C ）51 （D ）5
3
5.（2006福建理、文）已知α∈(
2
π
,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于（ ）
A.
71 B.7 C.－ 7
1
D.－7
6．（2006辽宁文）已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ）
Ａ．
2
Ｃ．
8
Ｄ．
7
7．（2006全国Ⅱ卷文、 理）若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝（ ） （A ）3－cos2x （B ）3－sin2x （C ）3＋cos2x （D ）3＋sin2x
8.（2005北京文、理）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（ ） （A ）sin(α+β)>sin α+sin β （B ）sin(α+β)>cos α+cos β （C ）cos(α+β)<sinα＋sinβ （D ）cos(α+β)<cosα＋cosβ
9.（2005江西文）已知==αα
cos ,32
tan
则（ ）
A ．
54 B ．－54 C ．154 D ．－5
3
10．（2002北京文、理）在平面直角坐标系中，已知两点)20sin ,20(cos ),80sin ,80(cos ︒︒︒︒B A
则|AB|的值是( )
A ．2
1 B ．2
2 C ．2
3 D ．1
二.填空题: （每小题5分，计20分） 11．（2007江苏）若13
cos(),cos()55
αβαβ+=-=，.则tan tan αβ= .
12.(2005春招北京文、理）已知3
3
22
cos
2
sin =
+θ
θ
，那么θsin 的值为_____，θ2cos 的值为_____。

13.（2004湖南理）已知向量),sin ,(cos θθ=a 向量)1,3(-=b ,则b a -2的最大值是 . 14．（2007北京文、理) 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代
数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于
三、解答题：（15、16两题分别12分，其余各题分别14分，计80分） 15.（2005北京文） 已知tan 2
α=2，求（I ）tan()4
π
α+
的值；
（II ）6sin cos 3sin 2cos αα
αα
+-的值．
16.（2006安徽文）已知40,sin 2
5
π
αα<<
=
（Ⅰ）求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值； （Ⅱ）求5tan()4
π
α-的值。

17.（2005全国卷Ⅱ文）已知α为第二象限的角，3
sin 5
α=
，β为第一象限的角， 5
cos 13
β=
．求tan(2)αβ-的值．
18.（2007四川文、理）已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=
α<β<α<2
π, (Ⅰ)求α2tan 的值.（Ⅱ）求β.
19.（2004湖北文、理）已知],,2
[,0cos 2cos sin sin 622ππ
ααααα∈=-+求)3
2sin(π
α+
的值.
20.（2002全国新课程理，天津理）已知22,534cos αππα<≤=⎪⎭⎫
⎝
⎛+求⎪⎭
⎫ ⎝⎛+42cos πα的值
历届高考中的“三角恒等式”试题精选(自我测试)
三角函数的定义、诱导公式、三角恒等变换（B ）
1..（A.-3
3
B.
3
3 C.3 D.3
2.（2007全国Ⅰ理）α是第四象限角，=∂-=∂sin ,12
5
tan 则（ ） （A ）51 （B ）51- （C ）135 （D ）13
5-
3.（2007重庆文）下列各式中，值为2
3
的是（ ）
（A ）︒-︒15cos 15sin 2 （B ）︒-︒15sin 15cos 22 （C ）115sin 22-︒ （D ）︒+︒15cos 15sin 22
4.（2005重庆文）=+-)12
sin 12)(cos 12sin
12(cos
π
πππ
（ ）
A ．23-
B ．21-
C ．2
1
D
．23
5.（2006湖北理）若ABC ∆的内角A 满足2
sin 23
A =，则sin cos A A +=( )
A.3 B ．3- C ．53 D ．5
3
-
6．（2002春招北京文、理）若角α满足条件sin2α<0，cos α–sin α<0，则α
在（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
7.(2007海南、宁夏文、理)
若
cos 2π2sin 4αα=-
⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭，则
cos sin αα+的值为（ ） Ａ．- Ｂ．12- Ｃ．1
2
8.（2005湖南理）设f 0(x)＝sinx ，f 1(x)＝f 0′(x)，f 2(x)＝f 1′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′
(x)，n ∈N ，
则f 2005(x)＝（ ）
A 、sinx
B 、－sinx
C 、cos x
D 、－cosx
9、（2005春招北京文、理）在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．正三角形 10．（2005全国卷III 文、理）已知α为第三象限角，则2
α所在的象限是 （ ）
A ．第一或第二象限
B ．第二或第三象限
C ．第一或第三象限
D ．第二或第四象限
二.填空题:（每小题5分，计20分）
11.（2007浙江理）已知1sin cos 5θθ+=，且324
θππ≤≤，则cos2θ的值是 _______ ．
12（2005北京理）已知tan 2
α
=2，则tanα的值为 ，tan ()4πα+的值为 .
13（2002广东、河南、江苏）已知sin α＝cos2α(α∈(π
2
，π))，则tan α＝________.
14.(2006重庆理)已知βα,⎪⎭⎫
⎝⎛∈ππ,43，sin(βα+)=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则cos ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+4πα=____.
三、解答题：（15、16两题分别12分，其余各题分别14分，计80分）
15．（2004湖南文）.cos cos sin 21
,2)4tan(2
的值求已知α
αααπ+=+
16、（2006上海文）已知α是第一象限的角，且5cos 13α=，求()
sin 4cos 24πααπ⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭+的值。

17.（2005福建文）已知5
1cos sin ,02
=
+<<-
x x x π
.
（Ⅰ）求x x cos sin -的值； （Ⅱ）求x
x
x tan 1sin 22sin 2-+的值.
18.（2003春招上海） 在直角坐标系xOy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P
和点)1,cos (-x Q ，其中],0[π∈x . 若向量OP 与OQ 垂直，求x 的值.
19.（2007重庆文）已知函数f (x )=
)
2
sin(42cos 2π
π+
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-x x 。

（Ⅰ）求f (x )的定义域；（Ⅱ）若角a 在第一象限且）。

（求a f a ,53
cos =
20（2005山东文、理）已知向量(cos ,sin )m θθ=和(2sin ,cos ),(,2)n θθθππ=-∈，
且825m n +=，求cos()28
θπ
+的值
历届高考中的“三角恒等式”试题精选(自我测试)
三角函数的定义、诱导公式、三角恒等变换（A ）
参 考 答 案
二、填空题：（每小题5分，计20分）
11.
21 12. 97,31 13. 4 14. 25
7
三、解答题： 15.【解】（I ）因为tan
2,2
α
=
所以3
4
41222
tan 12
2tan
tan 2
-=-⨯=
-=
α
α
α， 所以tan tan
tan 14tan()41tan 1tan tan 4π
απααπαα+++==--4
1
13.4713
-+==-+
6sin cos 3sin 2cos αααα+-=
6723431
)34
(-623tan 16tan =-⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯+⨯=-+αα
16. 解：(Ⅰ)由40,sin 2
5π
αα<<
=
，得3cos 5α=， 所以
22sin sin 2cos cos 2αααα
++＝
22sin 2sin cos 203cos 1ααα
α+=-。

（Ⅱ）∵sin 4tan cos 3α
αα
=
=，∴5tan 11tan()41tan 7
πααα--==+。

17. 【解】解法1：tan 2tan tan(2)1tan 2tan αβ
αβαβ
--=
+，
α为第二象限的角，3
sin 5α=，
所以4cos 5
α==-，
sin 3
tan cos 4
ααα==-.
所以22tan 24
tan 21tan 7
ααα==-
-， β为第一象限的角，5
cos 13β=，
所以12sin 13β==，12tan 5β=.
所以241220475tan(2)24122531(1)75αβ--
-==
+-⨯
. 解法2：α为第二象限的角，3sin 5α=
，所以4cos 5α==-，
β为第一象限的角，5cos 13β=
，所以12
sin 13
β==
故 24sin 22sin cos 25ααα==-，2
7cos 21sin 25
αα=-=，
204
sin(2)sin 2cos cos 2sin 325αβαβαβ-=-=-， 253
cos(2)cos 2cos sin 2sin 325
αβαβαβ-=+=-. 所以 sin(2)204
tan(2)cos(2)253
αβαβαβ--=
=-.
18.本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。

解：（Ⅰ）由1cos ,072παα=<<
，得sin α===
∴sin 7
tan cos 1
ααα===
于是
22tan tan 21tan 1ααα===--（Ⅱ）由02
π
αβ<<<
，得0
π
αβ
<-<
又∵()13
cos 14
αβ-=
， ∴()sin 14αβ-== 由()βααβ=--得：
()cos cos β
ααβ=--
⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-
1131
7147142
=⨯+= 所以3
π
β=
19.本小题考查三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本动算技能。

解法一：由已知得（3sin+2cos α）(2sin α－cos α)=0
⇔3sin α+2cos α=0或2sin α－cos α=0
此已知条件可知,0cos ≠α所以2
π
α≠
，既⎪⎭
⎫
⎝⎛∈ππα,2。

于是3
2tan ,0tan -
=∴<αα。

3sin 2cos 3cos 2sin 32sin παπαπ+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+a
=)sin (cos 2
3
cos sin 22αααα-+
=αα
α
α222tan 1tan 123ta 1tan +-++n 。

将3
2
tan =
α代入上式得 2
2
23213212332132)32sin(⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫
⎝⎛--⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=+πa
=326
5136+-
，既为所求。

解法二：由已知条件可知0cos ≠α，则2
π
α≠
，所以原式可化为
02tan tan 62=-+αα。

既.0)1tan 2)(2tan 3(=-+αα
又∵.0tan ,,2<∴⎪⎭
⎫
⎝⎛∈αππα ∴3
2tan -
=α。

∴1312)32(1)
32(2tan 1tan 2si cos cos 2sin cos 2sin sin22
222-=-+-⨯=
+=
+⋅=
⋅=α
α
αααααααn 。

135)3
2(1)32(1tan 1tan 1si cos sin cos sin cos cos22
2
2222222
2
=-+--=
+-=
+-=-=α
α
αααααααn 。

所以3
sin 2cos 3cos 2sin 32sin π
απαπ+=⎪⎭⎫
⎝
⎛+
a =23135211312⨯+⨯-
=26
3512+-
解法三：由已知条件可知02
cos212sin2212cos216=+⨯-+-⨯
α
αα 整理，得48cos2sin2=-αα① 又12cos 2sin 22=+αα②
由],,2
[
ππ
α∈知παπ22≤≤，所以sin2α<0,
解①②联立方程组，得1312sin2-=α，13
5
cos2=α。

所以3
sin 2cos 3cos 2sin 32sin π
απαπ+=⎪⎭⎫
⎝
⎛+a =23135211312⨯
+⨯-=263512+-
20. ().2sin 2cos 2
2
4sin 2sin 4cos 2cos 42cos ααπαπαπα-=
-=⎪⎭⎫
⎝
⎛
+
,04cos 47443>⎪⎭⎫ ⎝
⎛+≤+≤παππαπ且 所以,47423π
παπ<+≤
544cos 14sin 2-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴παπα
从而25244cos 4sin 222sin 2cos -
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=⎪⎭⎫
⎝
⎛
+
=παπαπαα， 2574cos 2122cos 2sin 2=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=παπαα
5023125725242242cos -
=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+∴πα
历届高考中的“三角恒等式”试题精选(自我测试)
三角函数的定义、诱导公式、三角恒等变换（B ）
参 考 答 案
一、选择题：（每小题5分，计50分）
二、填空题：（每小题5分，计20分）
11. 257-
12. 71,34-- 13.33- 14. 65
56
-
三、解答题： 15. 解：由.3
1
tan ,
2tan 1tan 1)4
tan(
==-+=
+αα
α
απ
得
于是.
3213
121
)31
(1
tan 21tan cos cos sin 2cos sin cos cos sin 2122
22
2
2=+⨯+=++=++=+ααααααααααα
16.解：)42cos()
4sin(παπ
α++
=ααα
ααααααsin cos 122sin cos )
sin (cos 222cos )sin (cos 2222-⋅
=-+=+ 由已知可得sin 13
12=
α, ∴原式=
1421313
12135122-=-⨯.
17.解: (Ⅰ)由1sin cos 5x x +=
,得221
(sin cos )()5
x x +=,得2sinxcosx=2425-,
∵(sinx-cosxx)2=1-2sinxcosx=4925,又0,2x π
-<<
∴sinx<0cosx>0,∴sinx-cosx= -7
5
(Ⅱ) x x x tan 1sin 22sin 2
-+=
223432()2()2sin cos 2sin 555sin 31cos 5
145
x x x x x ⋅-⋅+-+=---=24125-
18.由OQ OP ⊥，得0)22cos 2()1cos 2(cos =+-+x x x ，利用1cos 22cos 2-=x x ，化简后得
0cos cos 22=-x x ，于是0cos =x 或2
1cos =
x ，],0[π∈x ，3
2ππ或=∴x . 19. 解：（Ⅰ）由Z),(2,202sin ∈-≠≠-≠⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+k k x k x x πππππ即得
故f (x )的定义域为.Z ,2|R ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈-≠∈k k x x ππ
（Ⅱ）由已知条件得.54531cos 1sin 2
2
-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-=a a
从而)
2
sin()
42cos(21)(π
π
+
-
+=
a a a f ＝a
a a cos 4sin 2sin 4cos cos 21⎪
⎭⎫ ⎝⎛
++ππ ＝a
a a a a a a cos cos sin 2cos 2cos sin 2cos 12+=
++ ＝.5
14
)sin (cos 2=+a a
20.
【解】解法一：(cos sin sin ),m n θθθθ+=-++
(cos m n θ+=
=
==由已知825m n +=，得7
cos()425
πθ+= 又2cos()2cos ()1428π
θπθ+
=+- 所以 216
cos ()2825
θπ+=
∵ 592,8288
πθππ
πθπ<<∴<+<
∴ cos()285
θπ+=
解法二：
2
222m n m m n n +=+⋅+22
||||2m n m n
=++⋅
222[cos sin )sin cos ]
θθθθ=+++4sin )θθ=+-4(1cos())4πθ=++28cos ()28
θπ
=+
由已知825m n +=
，得4
|cos()|285
θπ+= ∵5928288πθπππθπ<<∴
<+<
，∴ cos()028
θπ
+<， ∴cos()285
θπ+=。