魏晋数学家刘徽与《九章算术》

魏晋时期，有一位名叫刘徽的杰出数学家。他在数学领域做
出了很大贡献，而最主要的是为我国古代数学的经典著作《九章
算术》做注。他撰写的《九章算术注》一书，共有卷，在世界
数学史上占有突出的地位

《九章算术》是东汉初期（公元1世纪左右）流传下来的最早
的数学方面的专著，书中总结了我国古代劳动人民和数学家在长
期的生产生活实践中所运用的数学知识，以问题形式编写，收录
个应用数学问题和各类问题的解法，分成方田（田亩面积
了计算）、粟米（各种粮谷间交换的比例问题）、衰分、均输（也是
讲不同类型的比例问题）、少章（由已知图形的面积和体积求边长
的问题）、商功（各种体积的计算）、盈不足（研究盈亏一类的问
题）、方程（介绍了联立一次方程组的消元解法）、勾股（勾股定
理的应用及相似直角三角形的解法）等九章，其中还包含了系统
的分数四则运算，面积、体积的计算，开平方开立方的方 法，各
种分配比例问题，正负数概念和正负数加减法则，多元一次方程
的解法及一元二次方程的解法等，内容涉及的面也很广，如算术、
几何、代数等，《九章算术》的出现说明我国古代数学已经形成了
一个比较完整的体系。

《九章算术》虽是一部经典著作，但它对所列问题的解法或结
论缺乏必要的解释和说明，对所依据的理论也没有做系统的探讨，
这就妨碍了数学的进一步发展。刘徽看到了这一点，于是他不畏
艰难，决定为《九章算术》做注，这是一项非常繁琐的工作。大
约在魏陈留王景元四年（公元263年）刘徽开始注解《九章算
术》，他在序言中说“：我从小学习《九章》，长大后又仔细阅读，
观察阴阳的分割，总览计算方法的根源，探讨深奥玄妙的空闲，便
领悟了《九章》的本意。因此敢竭尽我愚笨的才智，采摭我
所见到的书，给《九章》做注解。”刘徽在注解《九章算术》时，
精 辟地阐述了各种解题方法的道理，提出了简要的 明，论证了
解法的正确性，并指出了一些近似解法的精确程度和个别解法的
错误。在注解《九章算术》时，他还提出了许多具有创造性的理
论，对我国古代数学体系的形成和发展起了很重要的作用。

刘徽在注解《九章算术》的过程中，创立了“割圆术”，为计
算圆周率建立了严密的理论，提供了计算圆周率的科学方法，他
正确地指出利用《九章算术》中的圆周率等于三的数值来计算面
积，所得出的不是真正的圆面积，而是圆内接正六边形的面积，他
把圆内接正六边形 依次分割为正一百九十二边形，计算出

圆周率
为。他还认为圆内接正多边形的边数越多，就越同圆周近似
这就是现代数学中的极限概念。圆周率是数学上的一个重要数据，
计算圆面积、圆周长、球表面积和球体积等，都离不开圆周率，所
以，推算出它的准确数值，无论是在理论上还是在实践上都具有
重要的意义。

在世界数学史上，许多国家的数学家都曾把圆周率作为重要
的研究课题，为求出它的精确数值付出了很大努力，在某种意义
上说，一个国家历史上圆周率数值的准确程度，可以衡量这个国
家数学的发展情况。刘徽的贡献就在于他开创了圆周率研究的新
阶段，推动了我国古代数学的发展。

刘徽在注解《九章算术》时除了创建了新的体系“割圆术”外，
他还运用了“齐同术”，即分数加减法中的通分法，用“今有术”
来计算各种比例问题，用“图验法”对各种平面图形的面积公式
“以盈补虚”来证明，用“棋验法”拼凑证明各种体积公式。他还
分析了立方体，堑堵（正三角柱）、阳马（一棱的底面垂直的方
锥）、鳖臑（直角三角锥）等形体间的关系。他也用同样的方法研
究了圆锥、圆亭（圆台）的体积。

刘徽的生平年代和事迹，不知为什么史书上记载很少，只知
的魏晋时期道他生活的年代约在公元3 世纪，他致力于数学的研
究，在我国古代数学体系的形成和发展进程中是个很有影响的人
物，他除了著有《九章算术注》以外，还著有算术方面的其它著
作，如《九重差》一卷，《九章重差图》一卷。在唐朝初年，《九
章重差图》已经失传，但值得庆幸的是《九重差》一卷一直流传
到了现在，被称为《海岛算经》。刘徽的《九章算术注》已经成为
世界性科学名著，被译成多种文字出版，在世界数学史上留下了
光辉的一页