大学物理基础教程答案ppt课件

第四章 刚体的运动规律
4-1 证明适用于薄的平面刚体的垂直轴定理:一个平面刚体薄板, 对于垂直板面的某轴的转动惯量,等于绕平面内与该垂直轴相交 的任意两个相互垂直的轴的转动惯量之和,即
Iz=Ix+Iy
证明: 依题意作右图所示,由定义求得:
Iz r2dm (x2 y2 )dm x2dm y2dm Ix Iy
2
22
R
M 2m
4-8 有一线绕圆盘半径为R、质量为m在其重量作用下滚落,显
得上端固定在天花板上。求圆盘中心从静止下落h高度时的转动
动能和质心速度?
解: 质心运动定理
mg T ma C
质心系中的角动量定理
TR 1 mR 2 d
2
dt
6
角量、线量的关系张力的作用点是瞬时不动点
aC R
A
总的转动惯量为:
I
I1
I2
I3
3 2
ml
2
O
3 2
l
l
lB
4-3 一半圆形均匀细杆，其半径为R，质量为m，如图所示，试
求细杆对过圆形圆心和端点的轴AA’的转动惯量.
解: dI r2dm (R sin )Rd
dl Rd
I dI R3 sin2d R3 1 mR 2
0
22
A'
d
R
i
i 末
初 Fi外
drCO
末 T
初
drCO
(1 2
i
mv
2 C末
1 2
mv
2 C初
)
(ECp末
ECp初 )
（2）
两式相加
0
1 2
mv
2 C末
mgh C
1 2
IC2 末
7
在惯性系中绳张力不作功。
v
2 C末
R 2C2 末
v
2 C
R 2C2
4
vC
gh 3
E kC
1 2
I(
vC R
)2
1 3
mgh
vC
4 gh 3
解法2：
d
vC R
dt
aC
末 初 Fi外
1 EkC 2
driC
I( vC )2 1 mgh
末R T
初
3
dr边C
2g 3
(Eik内末
Rm T
mg
Eik内初 )
i
(1 2
IC2 末
1 2
i
IC2 初
)
（1 ）
末 末
末
初 migdriC
g d(
初
miriC ) 初 g md rCC 0
W
mgh
mga
1 2
1 3
m(2a)
2
2
细杆脱落后,质心满足： h
1
vc动,角动量守恒,所以 不变
t 2N
解得： N
1
(
3h
)
1 2
h
2 a
ACB C’
8
4-10 两个飞轮A和B可以接合起来，使它们以相同的转速一起转 动。以知AB两飞轮的轴在同一直线上，A轮的转动惯量为 I1=10 千克·米2 ，B轮的转动惯量为 I2=20千克·米2，开始时A以转速 n1=600 转·分-1 匀速转动，B轮静止.求（1）两轮接合后的转速: （2）结合过程中机械能的损耗。
T2 m2g (T1 T2 )R
m2a Ia
R
a (m1 m2 )g
(
I R2
m1
m2)
T2
(m1
m2
I R2
)m2
g
(
I R2
m1
m2)
T1
I m1g( R2
m1
m2
)
I
(R2
m1
m2) 4
4-6 从刚体定轴转动定律推导出刚体绕定轴转动的动能定理.
解: 刚体饶定轴转动角速度为,角加速度为,转动惯量
4-5解： (1)如图所示分为三个隔离体求解。 m2 T2
I
m1g T1 m1a T2 m2a
(T1
T2
)R
I
a R
(2)
a m1 g
I (R2
m1
m2)
T1
T2 m1m2 g
I (R2
m1
m2)
m1
T1
I m1g( R2
m2
)
(
I R2
m1
m2)
m1g T1 m1a
(m1g m2g时)
为Iz ,外力对定轴z的力矩为Mz,转动定律数学表达式:
而力矩的功:
Mz
Iz
Iz
d dt
z
d
w
Mzd
Iz
dt dt
0 Iz d
1 2
Iz2
1 2
I z02
力矩的功等于末初转动动能之差称转动动能定理.
4-7 如图所示，有一个半径为R=0.2米，质量m1=2.5千克的匀质
圆盘状定滑轮，轴处摩擦可略，当在圆盘边缘上绕一轻绳，绳
上缀一个质量m2=0.51千克的物体。试计算施在圆盘上的力矩从
静止开始，在2秒之内所作的功和2秒时物体m2的动能。
5
解: mgRdt mgRt L mRv 1 MR2 v
2
R
mgt
v
M
R
m 2
m1
Ek ,m
1 2
mv
2
1 2
mgt m(m M
)2
8.2J
m2
2
RT W 1 I2 1 ( 1 MR2 )( v )2 M( mgt )2 20.2(J)
rA
2
4-4 以垂直于盘面的力F 将一粗糙平面紧压在一飞轮的盘面上，
使其制动,如图所示.飞轮可以看作是质量为m、半径为R的匀质圆
盘,盘面与粗糙平面间的摩擦系数为µ,轴的粗细可略,飞轮的初始
角速度为.(1)求摩擦力矩.(2)经过多长时间飞轮才停止转动？
解：
F dN R2 2rdr
dM rdN
0 R
z
y r x
y dm
x
4-2 计算由三根质量均为m长为l的均匀细杆组成的正三角形
绕通过一顶点并垂直于三角形平面的轴的转动惯量.
1
解： OA相对于O点的转动惯量:
I1
1 3
ml
2
OB相对于O点的转动惯量: AB相对于O点的转动惯量:
I2
1 3
ml
2
l
I3
1 ml 2 m( 12
3 l)2 2
5 ml 2 4
R
2
M
0
dM
FR 3
又
M
I
1 (
mR
2
)
2
0 t
r dr
t
1 2
mR
2
0
M 3mR 0 4F
4-5 如图，两物体的质量分别为m1 和m2，滑轮的转动惯量为I， 半径为R。(1)如果m2与桌面之间为光滑接触，求系统的加速度a 及绳中张力T1和T2 .(2)如果m2与桌面之间的摩擦系数为 ,求系 统的加速度和及绳中张力T1和T2 .绳子与滑轮间没有相对滑动3 。
解：以知 1=2n接合过程中,摩擦属内力,又
无其他外力矩，角动量守恒I1 = (I1+I2)
所以
n
2
I1
I1 I2
n1
200
（转/分）
AB
E
1 2
I112
1 2 (I1
I2 )2
2I 1 2n12
I2 I1 I2
1.32104(J)
4-11 质量为mA和mB,半径为RA和RB的两个圆盘同心地粘在一起,小
4-9 长为2a的匀质细杆AB，以铰链固结于A点，起初使杆在水平
位置，当放开B端，棒绕A点无摩擦地转至竖直位置时，铰链自
动脱落，棒变为抛体，在以后的运动中，棒的质心轨迹为一抛
物线，而棒本身则绕质心C转动，试求当它的质心从C’位置下
降h距离时（如图所示），棒共转了多少转？
解：细杆从水平位置无摩擦地转至竖直位置时,重力作功，有