平顶山市第一中学数学三角形解答题中考真题汇编[解析版]

平顶山市第一中学数学三角形解答题中考真题汇编[解析版]

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．

（1）∠ABC＋∠ADC＝°；

（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明；

（3）如图②，若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝1

4

∠CDN，∠CBE

＝1

4

∠CBM），试求∠E的度数．

【答案】（1）180°；（2）DE⊥BF；（3）450

【解析】

【分析】

（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；

（2）延长DE交BF于G，根据角平分线的定义可得∠CDE=1

2

∠ADC，∠CBF=

1

2

∠CBM，

然后求出∠CDE=∠CBF，再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°，最后根据垂直的定义证明即可；

（3）先求出∠CDE+∠CBE，然后延长DC交BE于H，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．

【详解】

（1）解：∵∠A=∠C=90°，

∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°；

故答案为180°；

（2）解：延长DE交BF于G，

∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，

∴∠CDE=1

2

∠ADC，∠CBF=

1

2

∠CBM，

又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，∴∠CDE=∠CBF，

又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，

∴∠BGE=∠C=90°，

∴DG⊥BF，

即DE⊥BF；

（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，

∴∠CDE+∠CBE=1

4

×180°=45°，

延长DC交BE于H，

由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，

∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，

∴∠E=90°-45°=45°

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用．

2．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．

如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°< ∠OAC < 90°）．

（1）∠ABO的度数为°，△AOB（填“是”或“不是”灵动三角形）；

（2）若∠BAC＝60°，求证：△AOC为“灵动三角形”；

（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．

【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）∠OAC=80°或52.5°或30°.

【解析】

【分析】

（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；

（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；

（3）分点C 在线段OB 和线段OB 的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．

【详解】

（1）答案为：30°；是；

（2）∵AB ⊥OM

∴∠B AO ＝90°

∵∠BAC ＝60°

∴∠OAC ＝∠B AO-∠BAC=30°

∵∠MON ＝60°

∴∠ACO ＝180°-∠OAC-∠MON ＝90°

∴∠ACO ＝3∠OAC ，

∴△AOC 为“灵动三角形”；

（3）设∠OAC= x°则∠BAC=90-x, ∠ACB=60+x , ∠ABC ＝30°

∵△ABC 为“智慧三角形”，

Ⅰ、当∠ABC ＝3∠BAC 时，°，

∴30＝3（90-x ）， ∴x=80

Ⅱ、当∠ABC ＝3∠ACB 时，

∴30=3（60+x ） ∴x= -50 （舍去）

∴此种情况不存在，

Ⅲ、当∠BCA ＝3∠BAC 时，

∴60+x ＝3（90-x ），

∴x ＝52.5°，

Ⅳ、当∠BCA ＝3∠ABC 时，

∴60+x ＝90°，

∴x ＝30°，

Ⅴ、当∠BAC ＝3∠ABC 时，

∴90-x ＝90°，

∴x ＝0°（舍去）

Ⅵ、当∠BAC ＝3∠ACB 时，

∴90-x ＝3（60+x ），

∴x= -22.5（舍去），

∴此种情况不存在，

∴综上所述：∠OAC=80°或52.5°或30°。

【点睛】

考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．

3．如图，在△ABC 中，已知AD BC ⊥于点D ，AE 平分()BAC C B ∠∠>∠

（1）试探究EAD ∠与C B ∠∠、的关系；

（2）若F是AE上一动点，当F移动到AE之间的位置时，FD BD

⊥,如图2所示，此时EFD C B

∠∠∠

与、的关系如何？

（3）若F是AE上一动点，当F继续移动到AE的延长线上时，如图3，FD BC

⊥，①中的结论是否还成立？如果成立请说明理由，如果不成立，写出新的结论.

【答案】（1）∠EAD=1

2

（∠C-∠B），理由见解析；

（2）∠EFD=1

2

（∠C-∠B），理由见解析；

（3）∠AFD=1

2

（∠C-∠B）成立，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）由图不难发现∠EAD=∠EAC-∠DAC，再根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义分别用结论中出现的角替换∠EAC和∠DAC；

（2）作AG BC

⊥于G转化为（1）中的情况，利用（1）的结论即可解决；

（3）作AH BC

⊥于H转化为（1）中的情况，利用（1）的结论即可解决．

【详解】

解：（1）∠EAD=1

2

（∠C-∠B）.理由如下：

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE=1

2

∠BAC

∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）

∴∠EAC=1

2

[180°-（∠B+∠C）]

∵AD⊥BC，