系统辨识方法

第四章 系统辨识中的实际问题§4 —1 辨识的实验设计一、系统辨识的实验信号实验数据是辨识的基础，只有高质量的数据才能得出良好的数学模型，而且实验数据如果不能满足起码的要求，辨识根本得不出解。

系统辨识学科是在数理统计的时间序列分析的基础上发展起来的，两者的区别在于系统辨识的对象存在着人为的激励（控制）作用，而时序分析则没有。

因此，前者能通过施加激励信号u(k)达到获得较好辩识结果的目的（即实验信号的设计），而后者不能。

（一）系统辨识对实验信号的最起码的要求 为了辨识动态系统，激励信号u 必须在观测的周期内对系统的动态持续地激励。

满足辨识对激励信号最起码的要求的持续激励信号应具备的条件称“持续激励条件”，分以下四种情况讨论： 1． 连续的非参数模型辨识（辩识频率特性）如果系统通频带的上下限为 ωmin ≤ ω ≤ ωmax ,要求输入信号的功率密度谱在此范围内不等于零。

)()()}({)}({)(ωωωj U j Y t u F t y F j G ==2． 连续的参数模型辨识 被辩识的连续传函为，共包含(m+n+1)个参数对于u(t)的每一个频率成分ωi 的谐波，对应的频率响应有一个实部R(ωi )和一个虚部Im(ωi )，由此对应两个关系式（方程），能解出两个未知参数。

因此，为辩识(m+n+1)个参数，持续激励信号至少应包含：j ≥( m+n+1 )/2 个不同的频率成分。

3． 离散的脉冲响应 g(τ)的辨识g(τ) ;τ = 0,1,..m ，假设过程稳定，当 τ > m 时 g(τ)= 0 。

由维纳—何甫方程有：R uy (τ )=∑ g(σ)R uu (τ - σ) 式(4-1-1)由上式得出(m+1)个方程的方程组:上式表达成矩阵形式φuy = φuu G 式（4-1-2） 可解出 G = φuu -1 φuy 式（4-1-3）G s b b s b s a s a s m mn n ()=++++++0111R R R m R R R m R R R m R m R m R g g g m uy uy uy uu uu uu uu uu uu uuuu uu ()()()()()()()()()()()()()()()010******** ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=----⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⋅⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥G = [ g(0),…,g(m) ]T 有解的条件是:如果所有的输出自相关函数式(4-1-4)都存在,且方阵φuu 非奇异, 即det φuu ≠ 0 。

4． 离散差分方程模型辨识输入信号应保证（φT φ），即det （φT φ）≠ 0非奇异。

（二） 最优输入信号持续激励信号是使得辨识问题有解对输入的最低要求。

所谓最优输入信号是在实际条件受限制的条件下，如何使得与估计精度有关的品质指标为最优的输入信号。

实际条件的限制如：a) 对 u 和 y 以及中间变量的幅值或功率的限制； b) 测试时间的限制 ；c) 采样数量（样本长度）的限制 ； d) 最大采样速率的限制 ； e) 设备的其他限制。

二进制伪随机码很接近理论上的最优实验信号。

R Nu k u k uu k N ()lim()()ττ=+=-∑111二、 样间隔 ∆T 和实验长度的选择 1． 采样间隔 ∆T 的影响以下例说明∆T 对模型参数的影响其中T 1= 10s, T 2= 7s, T 3= 3s, T 4= 2s, T t = 4s, K= 1。

离散化后得到差分方程如下：y(k)+a 1y(k-1)+a 2y(k-2)+a 3y(k-3) = b 0u(k-d)+ +b 1u(k-d-1)+ b 2u(k-d-2)+b 3u(k-d-3) 其中静态增益K=∑ b i / (1+∑ a I )以不同的采样间隔 ∆T = 1s,4s,8s,16s ，进行采样，得出的离散模型参数如下表：由上表可见 ∆T 值太大或者太小都会造成不利影响：G s K T s T s T s T s e T S t ()()()()()=++++-11114123若∆T值太大，模型对动态特性描述就变得不精确了，当∆T=8s时模型退化为二阶，而∆T=16s时模型甚至退化为一阶；如果∆T值太小，带来的问题是参数估计的微小误差都会对模型的输入/输出特性造成显著影响，甚至b i的小数点后第4、5位的值都会影响到∑b i的值。

因为当∆T值太小时，临近的几个采样数据的差异很小，在参数估计时出现病态方程组的问题，产生计算上的困难。

但是，实际上∆T的允许取值范围又是比较宽的，以下给出∆T值选择的经验结果。

2．∆T选择的经验公式a) 按照过渡过程时间T95 选择∆T=(1/15—1/5)T95式(4-1-5)b) 按系统的主要时间常数T a 选择∆T=(0.05—0.1)T a式(4-1-6)c) 按系统的最小时间常数T min 选择∆T=(1—2)T min式(4-1-7)由PID控制系统的知识可知，上述三种经验公式给出的选择，基本上是一致的。

三、实验长度N 的选择随着实验长度N的加大，参数估计的精度增高，并且估计误差的方差下降，故N应取得长一些。

但是由于实际条件的限制，N值愈长出现漂移和窜入额外干扰的机率增加，计算量亦加大，故N值又不宜取的太长。

经验值是N∆T ≥10 T a式(4-1-8)考虑到经验公式—式(4-1-6) ，则一般选择N≥（100—200）式(4-1-9)§4—2 模型阶数的辨识在估计模型参数时需要已知模型阶数，但是实际上模型阶数也是未知的，需要由输入/输出数据通过辩识得出。

先分析阶数辨识问题的特点。

一、阶数辨识（定阶）的特点1．如果高阶模型相应的参数为零，可退化为低阶模型，即低阶模型可视为高阶模型的特例。

理论上高阶模型的精度不低于低阶模型，但是考虑到计算机的舍入误差的影响，过高的阶数亦能引起模型精度的下降。

一般说低阶模型描述粗糙，高阶模型精度高，但是代价亦大。

2. 根据逼近的观点，定阶往往是考虑多种因素的折衷。

3. 定阶一般是按照假设——检验的步骤进行的，检验过程中往往带有主观成分。

二、按照品质指标“残差平方总和”定阶残差平方总和J(n)是模型阶数的函数在不同的模型阶数的假设下，参数估计得到的J(n)值亦不同。

定阶的最简单办法是直接用J(n)。

设模型阶数的“真值”为n 0 ,当n < n 0 时随着n 的增加，J(n)值将明显的下降；而当n ≥ n 0 时随着n 的增加，J(n)值变化将不显著。

因此，由J(n)曲线随着n 的增加最后一次陡峭下降的n 值定做n 的估计值。

上述方法缺点：由于N 值有限和样本缺陷等原因，可能导致J(n)曲线陡度变化不明显，或者有不规则起伏，使n 很难判断。

改进：用数理统计的检验方法，判断n 的增加使得J(n)值改善是否明显。

常用F 检验法。

（一） 用F 检验的定阶方法用数理统计的F 检验方法判断，当阶数由n 1增至n 2时（n 2 > n 1），J(n 2) 是否较J(n 1)有显著性改善？引入以下统计检验准则 t式(4-2-1)可以证明，当N 足够大时，t 渐进地服从于数理统计的F( f 1, f 2 )分布，其中F 分布的自由度为f 1 = 2(n 2-n 1)和 f 2 = (N - 2n 2) 。

单输入—单输出系统，当阶数每次递增一阶时，如果信度取 α = 0.05 , 当N >100时，由F 分布表中查处F( 2,100 ) = 3.09 。

因此，在以上信度下t 至少应大于3，J (n) 的减少才能是显著的。

即当t < 3 说明t J n J n J n N n n n =-⋅--()()()()12222122n1的阶数已经足够高了，取n=n1; 即当t≥3 说明n1的阶数太低，n≥n2 ,要继续假设n3 , (n3 > n2 ) …例：n5 = 5 的仿真结果如下表F检验定阶方法的缺点：人为选定信度信度α值，有主观因素。

（二）用AIC 准则定阶七十年代日本学者赤池弘次（Akaike）提出一个基本信息量的定阶准则，AIC准则。

按照使得该准则达到最小值来定阶。

AIC准则为AIC（n）=-20 log Lθ + 2n 式(4-2-2)上式中的log Lθ为模型参数的极大似然估计的似然函数的对数，2n 为被估计参数θ的维数。

当设定的模型维数n增加时，上式第一项是值下降，而第二项值增加，存在对于n的最小值，即定阶的结果。

以一个三阶的例子说明。

假设动态过程为：A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)+C(z-1)ε(k)A(z-1)=1- 2.85 z-1+2.717 z-2-0.865 z-3B(z-1)=z-1+ z-2+ z-3C(z -1) = 1- 0.7 z -1+0.22 z -2采样周期∆T=0.1s ,干扰{ ε(k)}为正态N (0,1) 白噪声序列，控制信号u 为伪随机二位式信号，幅值 ± 1，数据量N=300 。

下表给出了参数估计和仿真的结果。

对于由最小二乘模型描述的动态过程 A(z -1)y(k) = B(z -1)u(k)+ ε(k)如果{ ε(k)}为正态白噪声序列，由于在此种情况下最小二乘估计与极大似然估计是一致的，这时的AIC 准则可用下式计算得出：式(4-2-3)式中的J(n)为最小二乘估计的残差平方总和。

（二） 残差的检验参数估计的LS 、IV 、GLS 、ELS 、Cov-LS 或者ML 方法要获得无偏估计均要求残差为白噪声，如果假定的模型阶数低于系统的真实阶数的话，得出的计算残差不是白色的。

反之，通过检验残差的自相关函AIC n nNJ n ()()()=+⋅12数接近于白噪声的话，则说明模型设定的阶数不低于阶数的真值。

利用下式残差的计算： ε(k) = y(k) - ϕk T θ样本残差序列{ ε(k) } 的自相关函数为式(4-2-4)可以证明：当N 充分大时白噪声序列的样本自相关函数的方差为：l ≠ 0 式(4-2-5) 对于正态的白噪声序列，如果取置信区间为±95%，则其样本自相关函数应落在以下范围内：±⋅1960.()R N即：式(4-2-6)由以上条件检验残差是否为白噪声，从而校验了n 是否正确。

三、模型时滞d 的辨识考虑带有时滞d 的模型（d ≥0）y(k)+a 1y(k-1)+…+a n y(k-n)=b 1u(k-d-1)+..+b n u(k-d-n)+ε(k){()}()()R l Nk k l k N=⋅+=∑11εε Var R l N R {()}()≈102-⋅<<⋅19601960.()().()R N R l R N如果d 未知，也需要与n 同时辨识。