高中数学-三余弦定理(最小角定理)与三正弦定理

三余弦定理和三正弦定理

1.三余弦定理（又叫最小角定理）

（1）设点A为平面α上一点，过A点的斜线AO在平面α上的射影为AB，AC为平面α上的任意直线，那么∠OAC，∠BAC，∠OAB三角的余弦关系为：

cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB

即斜线与平面内一条直线夹角θ的余弦值=斜线与平面所成角1θ的余弦值⨯射影与平面内直线夹角的余弦值。

（2）定理证明：

（3）说明：这三个角中，角θ是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积。斜线θ是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角。

与平面所成角

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2.设二面角M－AB－N的度数为α，在平面M上有一条射线AC，它和棱AB所成角为β，和平面N所成的角为γ，则sinγ=sinα·sinβ（如图）.

（1）定理证明：

如果将三余弦定理和三正弦定理联合起来使用，用于解答立体几何综合题，你会发现出乎意料地简单，甚至不用作任何辅助线！

例1. (1994全国)如图，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC中点，若AB1⊥BC1，求面DBC1与面CBC1所成的二面角度数。

例2. (1986上海)已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3.点P为斜边AB上一点，现沿CP将此

直角三角形折成直二面角A－CP－B（如下图），当AB=7时，求二面角P－AC－B的大小。

例 3.已知菱形ABCD的边长为1，∠BAD=60°，现沿对角线BD将此菱形折成直二面角A-BD-C(如下图)。( 1)求异面直线AC与BD所成的角；( 2)求二面角A-CD-B的大小。

例4.（2012四川）如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线

交半球面于点，过圆的直径作与平面成角的平面并与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为_________________