高考数学抛物线专题

抛物线

1、定义：平面内与一个定点和一条定直线

的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点

称为抛物线的焦点，定直线

称为抛物线的准线．2

3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、

两点的线段

，称为抛物线的“通径”，即

．

4关于抛物线焦点弦的几个结论：

设为过抛物线

焦点的弦，，直线的倾斜角为

，则

⑴⑵

⑶ 以为直径的圆与准线相切；

（4）

抛物线基础练习 一填空题：

1抛物线y=4x 2的焦点坐标是_______(0,

116)

2准线方程为x=2的抛物线的标准方程是____y 2=-8x

3点在直线3x -4y -12=0上的抛物线的标准方程为________x 2=-12y 或y 2=16x

4一直线过点(-p

2,0)交抛物线y 2=-2px 于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，且|AB|=3p, x 1+ x 2=-2，则抛物线方程为__y 2=-2x

5抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若|AB|=43，则抛物线焦点到弦AB 所在直线的距离是

____2

6抛物线y 2=2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 中点横坐标是____ 2

7过抛物线y=4x 2

的焦点F 作一直线交抛物线交于P 、Q 两点，若线段PF 、FQ 的长分别为p 、q ，

则1p +1

q

=____16 8以双曲线x 24-y 2

5

=1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是____. y 2=12x 二选择题（每题5分,合计40分）

9抛物线y =4x 2

上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( B)

( A ) 1716 ( B ) 1516 ( C ) 7

8

( D ) 0

10已知椭圆的中心在原点，离心率e=1

2，且它的一个焦点与抛物线y 2=-4x 的焦点重合，则此椭圆方程为（ A ）

A ．x 24+y 23=1

B ．x 28+y 26=1

C ．x 22+y 2=1

D ．x 24+y 2

=1

11双曲线x 2m -y 2

n

=1(mn ≠0)离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，则mn 的值为（ A ） A ．

316 B ．38 C ．163 D ．83

12已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|→

MN |·|→

MP |+→

MN ·→

NP =0，

则动点P （x ，y ）的轨迹方程为（ D ）

（A ）y 2=8x （B ）y 2=-8x （C ）y 2=4x （D ）y 2=-4x 13已知圆x 2+y 2-6x -7=0与抛物线y 2=2px(p>0)的准线相切，则p 为( B )

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ） 14抛物线y 2=4x 上与焦点相距最近的点的坐标是（ B ） A 、（0，0） B 、（1，2） C 、（1，-2） D 、以上都不是

抛物线各类题型分类讲解

一、选择题

1．（双曲线与抛物线交汇）已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b -=>>的离心率e =P 是抛物线

2

4y x =上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点()10,F c 的距离与到直线1x =-，

则该双曲线的方程为（ ）

A ．22

123

y x -=

B ．2

214y x -=

C ．2

214

x y -=

D ．22

132

y x -=

【答案】B

【解析】因为双曲线()2222:10,0y x C a b a b -=>>的离心率2

e =，所以2,a b c ==，

设F 为抛物线24y x =焦点，则(1,0)F ，抛物线2

4y x =准线方程为1x =-，

因此P 到双曲线C 的上焦点()10,F c 的距离与到直线1x =-的距离之和等于

1PF PF +，

因为11PF PF F F +≥，所以1F F =2,1c a b ====， 即双曲线的方程为2

214

y x -=，选B.

2．（抛物线与圆交汇求最值）已知()3,0A ，若点P 是抛物线28y x =上任意一点，点Q 是圆22

(2)1

x y -+=上任意一点，则2||PA PQ

的最小值为( )

A ．3

B ．4

C ．

D ．4

【答案】B

【解析】设(),P x y ，

由抛物线2

8y x =方程可得：抛物线的焦点坐标为()2,0F ，

由抛物线定义得：2PF x =+

又1PQ PF QF PF ≤+=+,

所以2||PA PQ ()2

2

238||29133x x PA x x PF x x -+++≥==+++， 当且仅当,,P Q F 三点共线时（F 点在PQ 中间），等号成立，

令()33x t t +=≥，2293x x x +++可化为：()()2

323912444t t y t t t -+-+=

=+-≥=，

当且仅当t =3x =时，等号成立．

故选B

3．（抛物线定义与圆）已知()A 3,2，若点P 是抛物线2y 8x =上任意一点，点Q 是圆22

(x 2)y 1-+=上

任意一点，则PA PQ +的最小值为( ) A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

【答案】B 【解析】