一元二次方程(知识点+考点+题型总结)

一元二次方程专题复习

考点一、概念

(1)定义:①只含有一个未知数．．．．．．．．,并且②未知数的最高次数是２．．．．．．．．．．,这样的③整式方程．．．．

就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax

⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”:

①该项系数不为“０”；

②未知数指数为“2”；

③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题:

例１、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ）

ﻩA ()()12132+=+x x Ｂ 02112=-+x x

ﻩC 02=++c bx ax ﻩﻩ ﻩﻩD

1222+=+x x x

变式:当k 时,关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m

是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： ★1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 。

★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，

⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程。 ★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

★★★4、若方程nx m +x n -２x 2=０是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） Ａ.m=n=2 Ｂ.m=２,ｎ＝1 C ．n ＝2,m ＝1 D.m=n ＝1

考点二、方程的解

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值;

典型例题：

例1、已知322-+y y 的值为２，则1242

++y y 的值为 。

例２、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为０,则a 的值为 。 例３、已知关于x 的一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，

则m 的值为 。

针对练习:

★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ,另一根是 。

★2、已知关于ｘ的方程022=-+kx x 的一个解与方程

311=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值; ⑵方程的另一个解。

★3、已知ｍ是方程012=--x x 的一个根,则代数式=-m m 2 。

★★4、已知a 是0132=+-x x 的根,则=-a a 622

。

★★5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为( ) A

1- B 1 C c b - D a -

★★★６、若=•=-+y x 则y x 324,0352 。 考点三、解法

⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法;④公式法

⑵关键点:降次

类型一、直接开方法:()m x m m x ±=⇒≥=,02

※※对于()m a x =+2，()()2

2n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法

典型例题：

例１、解方程：();08212

=-x

()216252x -＝0; ()();09132=--x 例2、若()()2221619+=-x x ，则x 的值为 。

针对练习:下列方程无解的是（ )

A.12322-=+x x Ｂ.()022=-x Ｃ．x x -=+132 D.092

=+x

类型二、因式分解法:()()021=--x x x x 21,x x x x ==⇒或 ※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“０”,

※方程形式:如()()22n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ，022

2=++a ax x

典型例题：

例１、()()3532-=-x x x 的根为（ )

ﻩＡ 25=

x B 3=x C 3,2521==x x D 5

2=x 例2、若()()044342=-+++y x y x ，则４x+y 的值为 。 变式1：

()()=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a 。

变式2：若()()032=+--+y x y x ,则x+y 的值为 。

变式３：若142=++y xy x ,282=++x xy y ，则x+ｙ的值为 。 例3、方程062=-+x x 的解为( )

Ａ．2321=-=，x x B.2321-==，x

x C.3321-==，x x D.2221-==，x x 例4、解方程： ()04321322=++++x x

例5、已知023222=--y xy x ,则y

x y x -+的值为 。 变式：已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则y

x y x -+的值为 。 针对练习:

★1、下列说法中:

①方程02=++q px x 的二根为1x ,2x ，则))((212x x x x q px x --=++

② )4)(2(862--=-+-x x x x . ③)3)(2(6522--=+-a a b ab a

④ ))()((22y x y x y x y x -++=-

⑤方程07)13(2=-+x 可变形为0)713)(713(=-++

+x x 正确的有（ ) A.１个 B ．2个 Ｃ.３个 D.４个 ★2、以71+与71-为根的一元二次方程是（）

A ．0622=--x x

B ．0622=+-x x

C ．0622=-+y y D.0622

=++y y ★★3、⑴写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1，且两根互为倒数:

⑵写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：

★★4、若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ，则ｘ＋y 的值为（ ）

A 、-1或-2

B 、-1或2

C 、１或-2 Ｄ、1或2

5、方程:2122=+x

x 的解是 。 ★★★６、已知06622=-

-y xy x ，且0>x ,0>y ,求y x y x --362的值。 ★★★7、方程()012000199819992=-⨯-x x 的较大根为r,方程01200820072=+-x x 的较小根为s ，则s-r 的值

为 。