代数精度插值求积及复化公式

1 由于li ( x )满足：li ( xk ) 0 故： li ( x )dx Ai
a b n (k i ) 所以： Ak li ( xk ) Ai (k i) k 0
( i 0,1, ,n )所以，求积公式 7 1 是插值型的。
(必要性) 设求积公式（7-1）是插值型的，则对所有次数不大于n 的多项式f (x)，按（7-6）其求积余项Rn = 0，即这时插值型求积公 式是精确成立的。由定义1,n+1个节点的插值型求积公式至少具有 n次代数精度。（证毕） 注：n+1个节点的求积公式不一定具有n次代数精度.其原因是 此求积公式不一定是插值型的。 例： 例3 考察求积公式：
1
xdx 0 右边
§2 牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式 本节介绍节点等距分布时的插值型求积公式，即牛顿一柯特 斯（Newton-Cotes）公式。 2.1 牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式 设将积分区间[a, b] 划分为n等分,步长h=(b-a)/n,求积节点取为 xk = a+kh(k=0,1,…,n),由此构造插值型求积公式,则其求积系数为:
b bBiblioteka n x x j Ak lk ( x )dx dx (k 0,1, , n) 引入变换x a th a a j 0 xk x j jk n n n n t j b a ( 1)n k 则有 : Ak h dt ( t j )dt ( k 0,1, , n) 0 0 n k !( n k )! j 0 k j j 0
2h A A A 1 0 1 h 4h 0 h ( A A ) A A , A 1 1 1 1 0 3 3 3 2h h 2 ( A1 A1 ) 3
代回去可得：

b a
h 4h h f ( x)dx f (h) f (0) f (h) 3 3 3
Rn I I n
[ f ( x) L ( x)]dx
a n
b
b a
f ( n1) ( ) (n 1)!
( x x )dx
k k 0
n
(7 - 6) 其中[a,b]
与x有关.
I f ( x )dx Ak f ( xk ) I n (7-1)
1.1 构造数值求积公式的基本思想
定积分I=∫ab f (x)dx在几何上为x=a, x=b, y=0和y=f (x)所围成的曲 边梯形的面积。定积分计算之所以困难，是不规则图形的面积。由 积分中值定理，对连续函数f (x)，在区间[a, b] 内至少存在一点， b 使： y f ( x) I f ( x)dx (b a) f ( )
第七章 数值积分与微分 7-6
例2 确定求积公式
I f ( x)dx A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
h
h
(7 3)
使其具有尽可能高的代数精度。
解：求积公式中含有三个待定参数,可假定近似式（7-3）的代 数精度为m =2,则当f (x)=1，x，x2时，式（7-3）应准确成立， 即有：
b
0 k n k
n
k 0
其中xk是[a, b] 的每一个分割小区间的长度,它与f (x)无关,去掉 n n b 极限,由此得到近似计算公式： I f ( x )dx f ( x )x A f ( x )
第七章 数值积分与微分

a

k 0
k
k

k 0
k
k 7-3
因此，式（7-1）可作为一般的求积公式,其特点是将积分问 题归结为函数值的计算,从而避开了使用牛顿一莱布尼慈公式需 要求原函数的困难,适合于函数给出时计算积分,也非常便于设计 算法,便于上机计算。 求积公式（7-1）的截断误差为：
一个求积公式具有m次代数精度的充分必要条件是该求 定理1 积公式对 1,x,x2,…,xm 精确成立，而对xm+1不精确成立。
例1 试验证梯形公式具有一次代数精度。
解 对于梯形公式,当f ( x) 1时, b ba 左端 1dx b a, 右端 (1 1) b a, 此时公式精确成立. a 2 b 1 2 ba b2 a 2 2 当f ( x) x时, 左端 xdx (b a ), 右端 ( a b) a 2 2 2 公式也精确成立. b 1 3 ba 2 2 2 3 当f ( x) x 时, 左端 x dx (b a ), 右端 ( a b 2 ), a 3 2 此时, 左端 右端, 即公式对x 2不精确成立. 故由定理1知, 梯形公式的代数精度为一次.
可以证明矩形公式的代数精度也是一次的。
上述过程表明,可以从代数精度的角度出发来构造求积公式. 如,对于求积公式（7-1）,若事先选定一组求积节点xk (k=0,1,…,n,), xk可以选为等距点,也可以选为非等距点,令公式对f(x)=1,x,…,xn 精 确成立,即得： A0 A1 An b a
1 1
1 f ( x )dx ( f ( 1) 2 f ( 0 ) f ( 1)) 2
1
具有几次代数精度.
解： 检查当f ( x) 1时, 公式左边 dx 2右边
1
1 (1 2 1) 2 2
1 (1 2 0 1) 0 1 2 1 2 1 当f ( x) x 2时, 左边 x 2 dx 右边 (1 2 0 1) 1 1 3 2 所以此求积公式具有一 次代数精度。 当f ( x) x时, 左边
Ln ( x)
f (x
k 0
n
k
)l k ( x)
其中lk(x) 为n次插值基函数。取f (x) Ln(x)，则有：
I

b a
f ( x)dx Ln ( x)dx a a k 0
b a

b

b n
f ( xk )lk ( x) dx

k 0
R( f ) Rn I I n f ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 0 n
Rn也称为积分余项.
1.2 代数精度 数值积分是一种近似计算,但其中有的公式能对较多的函数 准确成立,而有的只对较少的函数准确成立。为了反映数值积分 公式的准确差别,引入代数精度的概念。 定义1 如果某个求积公式对所有次数不大于m的多项式都精确成 立，而至少对一个m +1次多项式不精确成，则称该公式具 有m次代数精度。 一般来说，代数精度越高，求积公式越好。为了便于应用， 由定义1容易得到下面定理。

a
也就是说,曲边梯形的面积I 恰好等于 f ( ) 底为b-a, 高为f ()的规则图形—矩形的面 积(图7-1), f ()为曲边梯形的平均高度,然 b 而点的具体位置一般是不知道的,因此难 图7-1 a ξ 以准确地求出f ()的值。但是,由此可以得 到这样的启发,只要能对平均高度f ()提供 一种近似算法,便可以相应地得到一种数 值求积公式。 如用两端点的函数值f (a)与f (b)取算术平均值作为平均高度f () 的近似值,这样可导出求积公式：
数值积分
关于定积分的计算，我们知道，只要求出f (x)的一个原 函数F(x)，就可以利用牛顿—莱布尼慈（Newton-Leibniz）公 式出定积分值：
I

b a
f ( x)dx F (b) F (a)
但是，在工程技术领域，在实际使用上述求积分方法时，往 往会遇到下面情况： 1. 函数f (x)没有具体的解析表达式，只有一些由实验测试 数据形成的表格或 图形。 2. f (x)的原函数无法用初等函数表示出来，如：
I f ( x)dx Ak f ( xk ) I n
b a k 0 n
(7 - 1)
其中,点xk 称为求积节点,系数Ak 称为求积系数，Ak 仅仅与节 点xk 的选取有关,而不依赖于被积函数f (x)的具体形式。
lim f ( xk )xk 另一方面定积分的定义， I a f ( x )dx Max x 0
b a k 0
n
定 理 具有n +1个节点的数值求积公式（7-1）是插值型求积公式的 2
关于插值型求积公式的代数精度，有如下定理。 充分必要条件是该公式至少具有n次代数精度。
定理2说明,当求积公式（7-1）选定求积节点xk后,确定求积系 数Ak有两条可供选择的途径：求解线性方程 组（7-2）或者计算 积分（7-5）,即利用n次代数精度或插值型积分来确定求积系数. 由此得到的求积公式都是插值型的,其代数精度均不小于n次. 证：(充分性) 设求积公式（7-1）至少具有n次代数精度,那么, 由于插值基函数 li(x) (i=0,1,…,n)均是次数为n的多项式,故式（7-1） 对li(x)精确成立,即:
因此近似式（7-4）的代数精度为m=3. 上述方法称为待定系数法，在具有尽可能高的代数精度的要 求下，利用它可以得出各种求积公式。 由待定系数法确定的求积公式没有确切的误差估计式，只 能从其所具有的代数精度去判定求积公式的准确程度。
第七章 数值积分与微分
7-8
1.3 插值型求积公式
设给定一组节点a x0 <x1< … < xn-1<xn b，且已知f (x) 在这些节点上的函数值，则可求 得f (x)的拉格朗日插值多项式：
j k j k
记：
C
(n) k
n n ( 1) n k (t j)dt (k 0,1,, n) (7 - 7) nk! (n k )! 0 j0 j k
2 2 A x A x A x b a 1 1 n n 0 0 2 b n 1 a n 1 n n n A0 x0 A1 x1 An x n n 1 (7 - 2)
这是关于A0、A1、…、An的线性方程组,系数行列式为范德 蒙行列式,其值不等于零,故方程组存在唯一的一组解。 求解方程组(7-2)确定求积系数Ak,这样所得到的求积 公式(7-1)至少具有n次代数精度.
f ( x) sin x x2 1 , e , sin x 2 , , 1 x3 等 x ln x
3. f (x) 的结构复杂，求原函数困难，即不定积分难求。 由于以上种种原因，因此有必要研究积分的数值计算方法，进 而建立起上机计算定积分的算法。此外，数值积分也是研究微 分方程和积分方程的数值解法的基础。
ba I f ( x)dx ( f (a) f (b)) 梯形公式 a 2 b ab ab 取 , I f ( x)dx (b a) f a 2 2
b
中矩形公式
更一般地在区间[a, b] 上适当选取某些点xk (k=0,1,…,n), 然后 用f (xk) 的加权平均值近似地表示f (),这样得到一般的求积公式：
( h)
(7 4)
检查（7-4）对 m = 3 是否成立,为此,令 f(x)=x3 代入（7-4）, h h 3 此时左边 3
3
h 右边 , 3
再检查（7-4）对m=4是否成立,令f(x)=x4代入(7-4),此时:
h h 4 4 左边 右边 ( h) (h ), 3 3
n
lk ( x)dx f ( xk ) a
b
记：
则有：
Ak lk ( x)dx (k 0,1,, n) (7 - 5)
I

b a
f ( x)dx
A
k 0
n
k
f ( xk ) I n
这种求积系数由式（7-5）所确定的求积公式称为插值型求积公式.
根据插值余项定理，插值型求积公式的求积余项为：