函数图像关于坐标原点对称

答案
（1）与点 (2, 1) 关于x轴对称； （2）与点 (1, 3) 关于y轴对称；
(2, 1)
(1, 3)
（3）与点 (2, 1) 关于坐标原点对称； (2, 1)
（4）与点 (1, 0) 关于y轴对称.
(1, 0)
2．判断下列函数的奇偶性:
⑴ f (x) x
⑵
y 1 x2
（4） f (x) x 1的定义域为 , ，是关于原点对称
的区间，但 f (x) (x) 1 x 1, 由于f (x) f (x), 且 f (x) f (x), 所以函数 f (x) x 1 是非奇非偶函数.
1．求满足下列条件的点的坐标：
例1 已知函数 y f (x)的图像如图所示，试写出它的单调区间.
解
由图像可以看出，增区间为

0,
π 2

,

3π 2
,
2π

,
减区间为
π 2wenku.baidu.com
,
3π 2
．
把减区间写作

π 2
,
π

,
[π,
3π 2
)
是否可以？
1．已知函数 y f (x) 的图像如图所示. ⑴ 根据图像说出函数的单调区间，以及在各单调区间内， 函数的单调性. ⑵ 写出函数的定义域和值域.
f (x) 叫做偶函数，其图像关于 y 轴对称；
（2）如果对于任意的 x D ，都有 f (x) f (x)，那么函数
f (x) 叫做奇函数，其图像关于原点对称.
如果一个函数是奇函数或偶函数，那么就说这个函数具有奇偶性. 不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数.
例3 判断下列函数的奇偶性.
解 ⑴ 点P(2, 3) 关于 x 轴对称点的坐标为 (2, 3).
⑵ 点P(x, y) 关于y 轴对称点坐标为(x, y),
点 P(x, y) 关于原点对称点的坐标为 (x, y).
⑶ 点 P(a, f (a)) 关于 y轴对称点的坐标为(a, f (a)),
点 P(a, f (a)) 关于原点对称点的坐标为(a, f (a)).
作业： 习题2.2 A组： 2题； 达标训练1.2 A组：1、3题．
x
x
函数 y f (x) 的图像关于 y 轴对称

f (x) f (x)
函数 y f (x) 的图像关于原点对称

f (x) f (x)
函数的奇偶性
设函数的定义域为关于原点O 对称的数集 D，
（1）如果对于任意的 x D ，都有 f (x) f (x) ，那么函数
f (x2 ) f (x1)
a 0 x1 x2 b
x
设函数 y f (x) 在区间 a, b内有意义.对任意的
x1, x2 a, b，
(1) 如果当 x1 x2 时，都有
f (x1) f (x2 ) （或 f (x1) „ f (x2) ）成立，
那么，函数 f (x) 叫做区间a, b内的增函数， 区间 a, b 叫做函数 f (x)的增区间.
(2) 如果当 x1 x2 时，都有
f (x1 ) f (x2 )（或 f (x1) …f (x2)）成立，
那么，函数 f (x) 叫做区间 a, b内的减函数， 区间 a, b 叫做函数 f (x) 的减区间. 如果函数 f (x) 在区间 a, b 内是增函数（或减函数）， 那么，就称函数f (x) 在区间 a, b内具有单调性，区间 a, b 叫做函数 f (x)的单调区间.
⑴
f (x) x3；
⑵
f (x) 2x2 1；
⑶ f (x) x；
⑷
f (x) x 1．
解 （1） f (x) x3 的定义域为 (, ) ，是关于原点对称
的区间，且 f (x) (x)3 x3 f (x),
所以 f (x) x3 是奇函数.
⑴ 已知点 P(2, 3)，写出点 P 关于x 轴的对称点的坐标.
⑵ 已知 P 点的坐标为(x, y)，写出点 P 关于 y 轴的对称点 的坐标及关于原点 O 的对称点的坐标.
⑶ 设函数 y f (x) ，在函数图像上任取一点 P(a, f (a))，
写出点 P 关于 y 轴的对称点的坐标及关于原点对称点的坐标.
（2） f (x) 2x2 1的定义域为 (, ) ，是关于原点对称 的区间，且 f (x) 2(x)2 1 2x2 1 f (x), 所以 f (x) 2x2 1 是奇函数.
（3） f (x) x 的定义域为 0, ，不是关于原点对称
的区间，所以 f (x) x是非奇非偶的函数.
（1） 单调增区间为 (π, 2π),
单调减区间为 (0, π).
（2） 定义域为 [0, 2π] ，值域为[1,1].
2．研究一次函数的图像，指出在什么情况下函数是增函数.
当 k 0 时，函数 y k x b为区间(,)内的增函数.
关于x 轴的对称
P
P1
(3, 2)
(3, 2)
⑶ y 2x2 3x 1
奇函数 偶函数 非奇非偶函数.
1．本节内容 函数的性质
函数的单调性 函数的奇偶性
函数的图像特点
2．需要注意的问题
（1）函数单调性的概念.
（2）关于坐标原点、ox 轴、oy 轴对称的点的坐标特征.
（3）具有奇偶性的函数的图像特征及应用．
课后练习：习题2.2 A组：１、3题． 习题2.2 B组：1题． 达标训练1.2 A组：4题．
观察 某地一日气温T(℃)随时间t(h)变化的情况：
⑴ 凌晨4时，气温最低； 16时，气温最高.
⑵ 随着时间的增加，在时间段 0时到4时内，气温不断地下 降；4时到16时内，气温不断 地上升，16时到24时内，气 温不断地下降.
函数值随着自变量的增大而增大（或减小） 的性质叫做函数的单调性.
y y f (x)
•
•
关于y 轴的对称
P
P2
•
•
(3, 2)
(3, 2)
关于原点的对称
P
P3
(3, 2)
(3, 2)
设点P为平面上的任意一点，则
点 P(a, b)关于x轴的对称点的坐标为 (a, b)； 点 P(a, b) 关于y轴的对称点的坐标为 (a, b)；
点P(a, b) 关于原点对称点的坐标为(a, b)．
⑴ 如果函数图像上的任意一个点P关于y 轴的对称点 P 仍然在函数图像上 ，那么函数图像关于 y 轴对称, y 轴叫做这个函数图像的对称轴.
⑵ 如果函数图像上的任意一点 P 关于原点的对称点 P
仍然在函数图像上,那么，函数图像关于坐标原点对称. 原点叫做这个函数图像的对称中心.
f (x) f (x)