高数 映射与函数
高数高等数学1.1映射与函数
说明 (1) 分段函数对应不同的区间，函数有不同的表达式. (2) 分段函数表示一个函数，不是几个函数. (3) 分段函数的定义域是各分区间的定义域的并集.
1 例6 设 f ( x ) 2 1 解 f ( x) 2
0 x1
求 f ( x 2) .
解
2( x 2) 1, 0 x 2 1 f ( x 2) 4 ( x 2), 1 x 2 2
2 x 5, 2 x,
2 x 1 1 x 0
.
几个特殊的函数举例 (1)常函数
开区间
( a , b ) { x a x b}
o
闭区间
a
b
x
[a , b ] { x a x b }
o
a
b
x
半开区间
[a , b ) { x a x b}
( a , b] { x a x b }
无限区间
有限区间
称a, b为区间的端点， 称b－a为这些区间的长度.
1, 当 x > 0 0, 当x = 0
1 ,
1
当x<0
y4
3 2 1
o
-1
x
x sgn x x
(4)取整函数 y x
[x]表示不超过x 的最大整数
-4 -3 -2 -1 o -1 1 -2 -3 -4
2 3 4
x
(5)狄利克雷函数
y
1 1 当x是有理数时 • y D( x ) o• 0 当x是无理数时 无理数点
f (sin x ) (sin x )3 1
高等数学上册1.1 映射与函数
一、映 射
二、函 数
第一章 函数与极限
一、映射
1. 映射的概念
定义1
设 X 、Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 , 使得对X中
每个元素, 按法则 , 在Y中有唯一确定的与之对应, 则称
为从 X 到 Y 的映射. 记作 : X→Y.
X
定义域
D =X
第一节 映射与函数
()
()=
若既是满射又是单射, 则称为双射或一一映射.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
注 映射又称为算子, 在不同数学分支中有不同的名称.
Y
非空集X
上的泛函
数集Y
非空集X
上的变换
非空集Y
实数集X
上的函数
实数集Y
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 逆映射与复合映射
注 分段函数是一个函数,不是多个函数.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 函数的几种特性
设函数 = () 的定义域为D , 且数集 ⊂ D 或区间 I ⊂ D .
(1) 有界性
∀ ∈ , ∃ > 0, 使 () ≤, 称 () 在上有界.否则称无界.
∀ > 0, ∃0 ∈ , 使|( 0)|≥M, 称() 在I上无界.
<0
第一章 函数与极限
例8 设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作[].
例如:
5
= 0,
7
阶梯曲线
2 = 1, [π] = 3, [−1] = −1, [−3.5] = −4.
求函数 = [] 的定义域和值域并画图.
大一高数知识点映射与函数
大一高数知识点映射与函数高等数学是大多数理工科专业大一必修的一门课程，其中包含了许多重要的数学知识点。
在这篇文章中，我们将重点讨论高数中的映射与函数。
一、映射的概念与性质映射是数学上非常重要的概念，它描述了元素之间的对应关系。
在集合论中，我们将一个元素从一个集合映射到另一个集合，这两个集合可以是相同的，也可以是不同的。
映射一般用函数符号f(x) 表示，其中 x 是原集合的元素，f(x) 是它在目标集合中的对应元素。
映射具有以下性质：1. 单射：若 f(x1) = f(x2)，则 x1 = x2。
即不同的元素在映射中有不同的对应元素。
2. 满射：若对于任意的 y ∈目标集合，都存在 x ∈原集合，使得 f(x) = y。
即每一个元素都有对应的映射元素。
3. 一一映射：即又是单射又是满射的映射。
二、函数的定义与性质函数是映射的一种特殊形式，它在数学和其他学科中都有着广泛的应用。
函数的定义比较简洁，它是一种特殊的映射，其中原集合只能有一个元素对应到目标集合中的一个元素。
函数具有以下性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是指输入变量的取值范围，值域是指函数输出的取值范围。
2. 奇偶性：函数 f(x) 的奇偶性取决于 f(-x) = f(x) 或 f(-x) = -f(x) 是否成立。
3. 单调性：函数在定义域上的增减状况，可以分为递增、递减或保持不变。
4. 极值与最值：函数在定义域的某一点或某一区间上取得的最大值或最小值。
5. 对称性：函数是否具有关于某个轴的对称性。
三、常见的函数类型在高数课程中，我们学习了许多常见的函数类型。
下面是其中一些重要的函数：1. 幂函数：y = x^n，其中 n 是正整数。
2. 指数函数：y = a^x，其中 a 是正实数且不等于 1。
3. 对数函数：y = log_a(x)，其中 a 是正实数且不等于 1。
4. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
5. 反三角函数：包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
《高等数学》第一节：映射与函数
[
, ] 2 2
y
y tan x 定义域 (,) y x 值域 ( 2 , 2 ) 2 y arctan x
2
2
0
2
x
| arctanx |
定义域 (,)
2
2
y
y x
0
2
y arc cot x x
x
shx e e 双曲正切 thx x chx e e x 反双曲正切
1 1 x y arthx ln . 2 1 x
(3)非初等函数 狄利克雷函数、 取整函数、 分段函数等
练习
[ x] (1) f ( x )定义域为 (0,1)，求 g( x ) f ( )的定义域 . x D { x R | x 1且x 2,3,}.
cos
,
(2)初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和 有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.
例3：双曲函数与反双曲函数 双曲函数 反双曲函数
e x e x 双曲正弦 shx 2 e x e x 双曲余弦 chx 2
x
反双曲正弦 y arshx ln( x x 2 1) 反双曲余弦 y archx ln( x x 2 1)
高 等 数 学
研究对象 研究内容 研究工具
上册 极限
一元函数 微分学与积分学 函数 微分方程 空间解析几何与向量代数 多元函数 微分学与积分学 下册 无穷级数
高 等 数 学
应用
用哪个？ 条件？
不合条件， 改造！
高数A1第一讲映射与函数
一、映射 二、函数
一、映射
1、映射概念
例 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号
某班学生的集合
按一定规则入座
某教室座位 的集合
定义
f 使得
设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则
有唯一确定的 与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
o
x
x
奇函数
奇函数的图形关于原点对称. 函数 y=sinx是奇函数. 函数 y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数.
(4) 函数的周期性: 设函数f (x)的定义域为D,如果存在一个正数l ,使得 对于任一x D 有 ( x l ) D, 且 f ( x l ) f ( x ) 恒成立,
Q ( b, a )
o
直接函数y f ( x ) P (a , b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y=x 对称.
复合函数
------“代入”
定义:设函数 y=f(u)的定义域为D1,函数u=g(x)在D上有 定义,且 g( D) D1 , 则由下式确定的函数
y f g( x ), x D
2. 逆映射与复合映射
设 f 是X到Y的单射,定义一个从Rf到X的新映射g 即
g : Rf X ,
1
对每个 y R f , 规定g(y)=x,这x满足f(x)=y. 1 f 这个映射g称为f 的逆映射,记作 , 其定义域 D f R f , 值域 R f X .
1
f
注意:只有单射才存在逆映射.
x, x 0, 例6 函数 y | x | x , x 0
高等数学映射与函数
A ( r )13
4、函数值
值与之相对应， 则称此值为 y f x 在 x0 处的函数值
记为： f x0 或
y 当 x 在D内取定一个数值 x0时， f x 有确定的 f x x x 0
x x0 f x0
y
f x
x x0
当 x 取遍 D 内的各个数值时， 对应的函数值的全体
f (x) f (x)
在 [ a, b ] 上为有界函数. 在 [ a, b ] 上为无界函数. y
M f x M 有界函数必介于直线 y M 与 y M 之间。
f ( x) M
yM
a
0
b
y M
17
x
说明: 还可定义有上界、有下界、无界。
有时还要用到有上界或有下界。如果存在常数M(N),
或当 f ( x) 0 （或 f ( x) 0) 时，判别
f ( x2 ) / f ( x1 ) 1 （或 1) 。
例如
f x x
2
＋ 在 0， 内是单调增函数。 － 0 在 ，内是单调减函数。
在 ， 内不是单调函数。 － ＋
这说明：有时一个函数在整个区间D不是单调的， 而将D分成几个小区间， 却在每个小区间上是单调的， 这需要分别讨论。
x x
x ar xar
x
ar
a
ar
10
二、函数 1、函数的定义 设 x 与 y 是两个变量，当 x 在一定范围D内任取定一 数值时， y 按照一定的法则总有确定的数值与它对应。
y 则称 y 是 x 的函数。 x为自变量； 为因变量, D为定义域。 记为 y f ( x) , x D
高数课件映射与函数
3
图像和原像的关系
图像和原像之间存在一对多或多对一的关系，取决于映射的特性。
函数的定义和性质
什么是函数?
函数是一种特殊的映射，它 将定义域中的每个元素映射 到值域中唯一的元素。
函数的性质
函数具有单调性、有界性和 奇偶性等重要性质，可应用 于各个领域。
示例
举例说明具体函数的定义和 性质，在实际问题中的应用。
映射与函数的关系
1 映射与函数的相同点
映射和函数都是描述元素之间的对应关系，具有相似的数学概念和性质。
2 映射与函数的不同点
映射是一个更普遍的概念，而函数是一种特殊的映射。
3 映射与函数的交叉应用
通过具体案例来展示映射和函数在高等数学中的应用。
映射与函数在高数中的应用
微积分
映射和函数是微积分中研究函数 极限、导数和积分等重要工具。
高数课件映射与函数
欢迎来到高数课件映射与函数的世界！本课程将带你深入了解映射和函数的 定义、性质以及它们在高等数学中的应用。准备好开始探索吧！
映射的定义和性质
1 什么是映射?
映射是一个将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的元素的规则。
2 映射的性质
映射可以是单射、满射或双射，具有重要的代数和几何意义。
图论
映射和函数被广泛应用于图论中 的图的表示和性质研究。
最优化问题
映射和函数为解决最优化问题提 供了数学建模的基础。
ห้องสมุดไป่ตู้
什么是复合函数?
复合函数是将两个函数结合在 一起形成一个新的函数。
复合函数的性质
复合函数的定义域和值域取决 于两个函数的定义域和值域。
示例
通过具体的数学表达式和图形 展示复合函数的概念和性质。
高数上D11映射与函数课件
如果对于任意x1<x2，有f(x1)<f(x2)，则称函数在区间内单调递增；如果对于任意x1<x2，有f(x1)>f(x2) ，则称函数在区间内单调递减。单调性是函数的一个重要性质，它可以帮助我们判断函数的趋势和变化 规律。
函数的表示方法
解析表示法
通过数学表达式来表示函数，如f(x)=x^2+2x+1。解析表示法能够 精确地描述函数的对应关系，但有时难以理解和操作。
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和 的极限。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分中 值定理等性质。
定积分的几何意义
定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积，即曲线 下方的面积。
微积分基本定理
微积分基本定理的内容
01
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则定积分∫(上限b，下限
函数极限的精确定义
对于任意小的正数$epsilon$，存在 一个正数$delta$，当自变量满足$0 < |x - x_0| < delta$时，函数值的差 的绝对值小于$epsilon$，即$|f(x) L| < epsilon$。
函数极限的性质
唯一性
若函数在某点的极限存在，则该极限值是唯 一的。
表格表示法
通过表格的形式来表示函数，将输入值和对应的输出值列出。表格 表示法直观易懂，但难以表示复杂的函数关系。
图象表示法
通过绘制函数图象来表示函数。图象表示法直观地展示了函数的形态 和变化规律，但有时难以精确描述复杂的函数关系。
03
函数的极限与连续性
函数极限的定义
函数极限的描述性定义
高等数学映射与函数PPT课件
y
反函数 x f 1( y)
y0
W
o
y0
W
x0
x
o
D
第33页/共52页
x0
x
D
34
映射与函数
说明
反函数的习惯表示法 若直接函数 y=f (x)，x∈D， 则反函数记为 y f 1( x), x f (D).
A
B I
A B I
AB
AB
2
第2页/共52页
映射与函数
差,
} A\B={x|xA且xB
补, AC I \ A ( A I );
I
A B
B A
I
A\B
B = AC(或A)
直积或笛卡儿乘积:
A B {(x, y) x A and y B}.
3
第3页/共52页
4
映射与函数
(2)运算法则
交换律: A B B A, A B B A ; 结合律: ( A B) C A (B C ) ,
补例2 设A、B两地之间的长途电话费在最初的3分 钟是6.60(元), 以后的每分钟(不足一分钟按一分钟 计)另加1.20(元).
显然长途电话费C(单位:元)是通话时间t(单位: 分钟)的函数.试写出函数的公式表示,并描绘它的
图形。
解：记长途电话费为C(t)．由于t>0，于是函数 的定义域为(0, +)．从给出的信息，我们有
(1)定义 设X、Y是两个非空集合，若存在一个法则 f，使得对X中每个元素x，按照法则f，在Y 中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为 从X到Y的映射，记作
f:X→Y
如，X={三角形}，Y={圆}，f：X → Y,对每个 xX,有唯一确定的y(x的外接圆)Y与之对应.
高考数学知识点解析映射与函数的关系
高考数学知识点解析映射与函数的关系高考数学知识点解析：映射与函数的关系在高考数学中，映射与函数是非常重要的概念，理解它们之间的关系对于解决相关问题至关重要。
首先，咱们来聊聊什么是映射。
映射就像是一个“对应规则”，它把一个集合中的元素与另一个集合中的元素对应起来。
比如说，有集合A 和集合 B，通过某种规则，集合 A 中的每一个元素都能在集合B 中找到唯一对应的元素，这就是映射。
那函数又是什么呢？函数其实是一种特殊的映射。
它特殊在哪里呢？函数要求集合 A（通常称为定义域）中的每一个元素，在集合 B（通常称为值域）中都有唯一确定的元素与之对应。
为了更清楚地理解，咱们来看几个例子。
假设集合A ＝｛1, 2, 3}，集合 B ＝｛4, 5, 6}。
如果我们规定映射规则是：1 对应 4，2 对应 5，3 对应 6，那么这就是一个映射。
但如果规定 1 对应4 和 5，那就不是函数了，因为 1 对应的元素不唯一。
再比如，我们有一个函数 f(x) ＝ 2x，当 x 取 1 时，f(1) ＝ 2；当 x取 2 时，f(2) ＝ 4。
对于定义域中的每一个 x，都有唯一确定的 f(x)与之对应，这就是函数的特点。
从定义上看，函数是映射的一种，但映射不一定是函数。
可以说函数是“规矩”的映射，必须满足每一个输入都有唯一的输出。
映射和函数在数学中的应用非常广泛。
在解决实际问题时，我们常常需要建立映射或函数关系来描述事物之间的联系。
比如在物理学中，路程和时间的关系可以用函数 s ＝ vt 来表示（其中 s 表示路程，v 表示速度，t 表示时间）。
通过这个函数，我们可以根据给定的速度和时间计算出路程，或者已知路程和时间求出速度。
在经济学中，成本和产量之间的关系、收益和销售量之间的关系等也常常可以用函数来描述。
对于高考来说，掌握映射与函数的关系，能够帮助我们更好地解决各种类型的题目。
比如在求函数的定义域和值域时，就需要清楚函数的定义和映射的规则。
高数上册第一章第一节映射与函数一.ppt
一.区间和邻域
⑴【区间】是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
开区间 ( a , b ) x a x b
oa
b
x
闭区间 [ a , b ] x a x b
oa
b
x
半开区间 无限区间
有限区间
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a 1)
3.【对数函数】 y loga x (a 0, a 1) y ln x
y log a x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
4.【三角函数】
正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
【说明】通常 f 称为外层函数，g 称为内层函数.
2【注意】 1）构成复合函数的条件 g(D) D1 不可少.
（即：内层函数在复合函数定义域D内的值域g(D) 一定包含在外层函数的定义域D1内）
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
D : (,), 奇函数.
② 双曲余弦chx e x e x 2
D : (,), 偶函数.
y chx
y 1ex 2
y shx
y 1ex 2
③
双 曲 正 切 thx
shx chx
ex ex
ex ex
D : (,) 奇函数, 有界函数,
【双曲函数常用公式】
sh( x y) shxchy chxshy; ch( x y) chxchy shxshy; ch2 x sh2 x 1;
高中数学知识点：函数、映射的概念
高中数学知识点：函数、映射的概念1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。
（2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。
2、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x∈A}叫做函数f （x）的值域。
显然值域是集合B的子集。
3、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。
4、函数的表示方法：（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。
映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。
高等数学PPT课件：映射与函数
描述法
{ x x2 2 x 3 0 }.
4
映射与函数
注 对几个常用的数集规定记号如下
自然数的集合 N {0,1,2, ,n, };
正整数的集合 N+ {1,2, ,n, };
整数的集合 Z { , n, , 2, 1,0,1,2, ,n, };
5
映射与函数
有理数的集合
Q
p q
p Z, q N+ 且p与q互质 ;
33
映射与函数
例 取整函数 y [ x]表示不超过x的最大整数
y [x] n, 当 n x n 1 , n Z
y
阶
3•
梯
2•
曲
线
1•
o • •
21
•
•
•
•
123 4
x
• 1
• 2
定义域 D (,), 值域 Rf {整数}.
34
映射与函数
例 狄利克雷(Dirichlet)函数
y
D(
(A∩B)C = AC ∪ BC ;
13
映射与函数
直积 (乘积集或笛卡儿乘积)
设 A,B 是两个集合, 则称 A B { ( x, y) x A 且y B } 为 A, B 的 直积.
y
B AB
O
A
x
14
映射与函数
如, A (1,1), B [0,1], 则A B {( x, y) 1 x 1, 0 y 1}
有界.
36
映射与函数
函
数f
(
x)
1
x x
2
在
定
义
域
内
为(
C
).
高等数学映射与函数笔记
高等数学映射与函数笔记一、引言高等数学是理工科学生的一门重要基础课程，其中映射与函数是其中的重要组成部分。
本笔记旨在帮助读者梳理映射与函数的基本概念、性质、应用以及常见问题，为进一步学习高等数学打下坚实的基础。
二、映射的基本概念1. 映射的定义：给定两个集合A和B，如果存在一个从A到B的函数f，则称f为从A到B的映射。
2. 映射的性质：映射具有像集和原像集等基本性质，同时映射还可以进行复合、逆映射等操作。
三、函数的定义与性质1. 函数的定义：给定一个数集A，以及一个集合B上的运算，如果这个运算满足函数的基本性质，那么这个运算就可以被称为A到B的函数。
2. 函数的性质：函数具有单调性、奇偶性、周期性、有界性等基本性质，这些性质在解决函数问题时非常重要。
四、常见函数类型1. 一次函数：形如y=kx+b（k≠0）的函数，其中k为一次项系数，b为常数项。
2. 二次函数：形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a为二次项系数，b、c为常数项。
3. 指数函数：形如y=a^x（a＞0且a≠1）的函数。
4. 对数函数：形如y=log(a) x（a＞0且a≠1）的函数。
5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，是描述周期性现象的重要工具。
五、映射与函数的应用1. 函数在数学建模中的应用：在解决实际问题时，常常需要建立数学模型，而函数是建模的重要工具之一。
例如，在物理中的速度与时间的关系，就可以用一次函数或二次函数来表示。
2. 映射在算法中的应用：在计算机科学中，映射可以用于实现数据结构（如映射表和哈希表）以及算法（如最短路径算法和排序算法）等。
3. 映射与函数在经济学中的应用：在经济学中，函数被用于描述经济变量之间的关系，如生产函数、消费函数等；而映射可以用于实现数据库和数据挖掘等应用。
六、常见问题与解答1. 问：什么是映射？答：给定两个集合A和B，如果存在一个从A到B的函数f，则称f为从A到B的映射。
《高数映射与函数》课件
04
高数中的映射与函数
高数中的映射
映射的基本概念
映射是从一个集合到另 一个集合的对应关系， 它描述了元素之间的对 应关系。
映射的表示方法
通常使用箭头或等号来 表示映射关系，例如 f: A → B 表示从集合 A 到集合 B 的映射。
单射与满射
单射是指每个元素在集 合 A 中都有唯一的元素 与之对应，而满射则是 指集合 B 中的每个元素 都有至少一个元素与之 对应。
03
对应法则是函数的核心，它规定了输入集合中的每 一个元素如何与输出集合中的元素对应。
函数的性质
有界性
函数在某个区间上的取值范围是有限的。
单调性
函数在某个区间上随着自变量的增加，函数值也单调增加或减少。
周期性
函数在一定周期内的取值具有重复性。
可导性
函数在某一点的切线斜率存在。
函数的分类
代数函数
三角函数
答案4
函数的极限、连续性和可导性之 间的关系是密切相关的。极限存 在是连续的必要条件，连续是可 导的必要条件。一个函数在某点 可导，则一定在该点连续，同时 也存在极限。
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Байду номын сангаас
指数函数
对数函数
由代数方程定义的函数，如 多项式、分式、根式等。
与三角学相关的函数，如正 弦、余弦、正切等。
形如$a^x$的函数，其中 $a>0$且$aneq1$。
以数$a$的$n$次方等于$x$记 作$a^n=x$（$a>0,a≠1$）， 数$a$称为这函数的底数，$n$ 称为这函数的指数，作为表示 形式记作对数函数的自变量写
01
高数课件-映射与函数
2.逆映射与复合映射
设∱是X到Y的单射，则由定义，对每个y∈Rf，有唯一的χ∈X，适合∱（χ）=y。于是， 我们可定义一个从Rf到X的新映射ℊ,即
ℊ:Rf→X， 对每个y∈Rf，规定ℊ(y)=χ，这χ满足∱（χ）=y。这个映射 ℊ称为∱的逆映射，记作∱-1， 其定义域Df-1=Rf，值域Rf-1=X。
义的一切实数组成的合集，这种定义域称为函数的自ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定义域。在这种约定之下，一
般的用算是表达的函数可用“y=∱（x）”表达，而不必再出Df。
例如，函数y=
1- x 2 的定义域是封闭间 -1，1 ，函数y=
1 的定义域是开区间 1- x2
（-1，1）。
表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公 式法）。其中，用图形法表示函数是基于函数图形的概念，
（3）函数的奇偶性 设函数∱（x）的定义域D关于原点对称。如果对于任一x∈D， ∱（-x）= ∱（x）
恒成立，那么称∱（x）为偶函数，如果对于任一x∈D， ∱（-x）= - ∱（x）
恒成立，那么称∱（x）为奇函数 。 偶函数的图形是关于y轴对称的。因为若是 ∱（x）为偶函数，则 ∱（-x）= ∱（x）。 所以如果A是图形上的点，那么与它关于远点对称的点A’也在图形上。 奇函数的图形是关于远点对称的。因为若 ∱（x）是奇函数，则 ∱（-x）= - ∱（x）， 所以如果A是图形上的点，那么关于与它y轴对称的点A’’也在图形上。幻灯片 14
Rf=∱（D）= yIy=∱（x）,x∈D
需要指出，按照上述定义，记号∱和∱（x）的含义是有区别的：前者表示自变量x 和因变量y之间的对应法则，而后者表示与自变量对应的函数值。但为了叙述方便， 习惯上常用记号“∱（x），x∈D”或“y=∱（x）,x∈D”来表示定义在D 上的函数， 这时应理解为由它所确定的函数∱。
高数第一章 映射与函数
对应法则f
(
W
y f (x0 )
自变量 ) 因变量
数
极 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义
限 的一切实数值.
连
续 例如，y 1 x2
D :[1,1]
例如，y 1 1 x2
D : (1,1)
- 15 -
第一节 映射与函数
如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应 的函数值总是只有一个，这种函数又称为单值函数.
( a 0)
一
章 运算性质:
ab a b;
函
数 极 限
a a; bb
a b a b a b.
连 续
绝对值不等式:
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
- 12 -
第一节 映射与函数
二、函数概念
1 函数的定义
第一节 映射与函数
第一节 映射与函数
第 一 集合与映射
一 章
二
函数的概念
函 三 函数的几种特性
数 四 反函数与复合函数
极
限 五 初等函数
连 续
六
建立函数关系举例
-1-
第一节 映射与函数
一、集合与映射
1.集合
集合：具有某种特定性质的事物的总体.
第 一
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
章
a A,
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x)
章
则称函数f ( x)为偶函数.
函
数
y y f (x)
极
限
连
续
f (x)
高数映射与函数
高数映射与函数高等数学是大学数学的一个重要基础课程，其中涉及到映射与函数的概念和相关性质。
映射与函数是高数中的重要内容，对于理解和应用高等数学知识具有重要意义。
我们来了解一下映射的概念。
映射是两个集合之间的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
在映射中，我们通常用字母x表示第一个集合中的元素，用字母y表示第二个集合中的元素。
如果元素x被映射到了元素y，我们可以用符号y=f(x)来表示，其中f表示映射的规则或者函数。
接下来，我们来了解一下函数的概念。
函数是一种特殊的映射，它有且仅有一个自变量和一个因变量。
函数中的自变量表示输入值，因变量表示输出值。
我们可以将函数看作是一种输入和输出之间的对应关系。
在函数中，自变量的取值范围称为定义域，因变量的取值范围称为值域。
映射与函数有许多重要的性质。
首先是定义域和值域。
在映射中，每个元素都有其对应的值，因此定义域和值域是映射的重要性质。
在函数中，自变量的取值范围决定了定义域，而函数的性质决定了值域。
其次是单射、满射和双射。
单射是指映射中不同的自变量对应不同的因变量，也就是说每个因变量最多只有一个自变量与之对应。
满射是指映射中的每个因变量都有至少一个自变量与之对应，也就是说每个因变量都有元素与之对应。
双射是指既是单射又是满射的映射，即每个因变量都有唯一的自变量与之对应。
再次是反函数。
反函数是指将函数的自变量和因变量互换位置得到的新函数。
如果原函数为f(x)，那么它的反函数为f^(-1)(x)。
反函数的定义域和值域与原函数相反，即原函数的定义域为反函数的值域，原函数的值域为反函数的定义域。
最后是复合函数。
复合函数是指将两个函数按照一定的规则组合在一起得到的新函数。
如果函数f(x)和g(x)都是定义在实数集上的函数，那么它们的复合函数为f(g(x))，表示先对自变量应用函数g(x)，再对结果应用函数f(x)。
在高等数学中，映射与函数的概念和性质是许多数学理论和方法的基础。
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u g ( x ) g ( D) xD u D1 则当 g ( D) D1 时, 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复
合映射 , 记作 或 f g ( x), x D.
g f
g (D )
注意: 构成复合映射的条件 g ( D) D1 不可少. 以上定义也可推广到多个映射的情形.
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(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若 若 则称 f (x) 为偶函数; 则称 f (x) 为奇函数.
y
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当
x o
y x e
xx
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
例如,
e x e x y f ( x) 偶函数 2
o 1
y th x x
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(4) 周期性
x D, l 0 , 且 x l D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
2
o 2 x
周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 f ( x) C 狄里克雷函数
2
解: 当 1 x 0 时, y x ( 0 , 1] , 则 x y , y ( 0 , 1] 当 0 x 1 时, y ln x ( e
2
1 1 o 1
当 1 x 2 时, y 2 e x 1 ( 2 , 2 e ] , y 则 x 1 ln 2 , y ( 2 , 2 e ] 反函数 y
c BA
A \ B ( 其中B A )
直积
A B ( x , y) x A , y B
Ac BA
B
B
特例:
R R
记
R
2
A B A
为平面上的全体点集
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二、 映射
1. 映射的概念 引例1. 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号
某班学生的集合 按一定规则入座
f
为单射, 则存在一新映射
其中
D
f 1
习惯上 , y f ( x) , x D
的逆映射记成
f (D)
y f 1 ( x) , x f ( D)
例如, 映射 其逆映射为
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(2) 复合映射
引例.
D1
D
手电筒
D2
D 复合映射
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定义. 设有映射链
性质: 1) y＝f (x) 单调递增 (减) 其反函数 且也单调递增 (减) .
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2) 函数 对称 .
与其反函数 的图形关于直线
y yx
Q(b, a) y f (x)
例如 ,
指数函数 y e x , x ( , ) 对数函数 它们都单调递增, 其图形关于直线
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f (x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 f (X ) f ( x) x X
称为 f 的 值域 .
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
记
e x
y ch x
ch x
双曲余弦
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o
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x
结束
e e 又如, y f ( x) 2
x
x
奇函数
e
x
y
ex
y sh x
x
记
sh x 双曲正弦
奇函数
y 1
o
sh x e x e x x 再如, y ch x e e x
记
th x 双曲正切
r
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说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
名称. 例如,
X (≠ ) X (≠ )
f f
Y (数集)
X
f 称为X 上的泛函 f 称为X 上的变换
X (数集 或点集 )
f
R
f 称为定义在 X 上的为函数
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2. 逆映射与复合映射 (1) 逆映射的定义 定义: 若映射 使 称此映射 f 1 为 f 的逆映射 .
第一章
函数
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一章
映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数 四、极坐标下的函数表示
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一、 集合
1. 定义及表示法
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 . 元素 a 属于集合 M , 记作 a M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . 注: M 为数集
定义域 值域
又如, 绝对值函数
定义域 值 域
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2 x , 0 x 1 例4. 已知函数 y f ( x) 1 x , x 1
求 f ( 1 ) 及 f ( 1 ) , 并写出定义域及值域 . 2 t 解: f ( 1 ) 2 2
1 2
o
x
互为反函数 , 对称 .
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(2) 复合函数 — 复合映射的特例 设有函数链
y f (u ), u D1
则
且 g ( D) D 1
① ②
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 g ( D) D 1 不可少.
例如, 函数链 : y arcsinu , 函数 但函数链 y arcsin u , u 2 x 2 不能构成复合函数 .
周期为
1, 0,
x 为有理数
x 为无理数
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3. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质 若函数 为单射, 则存在逆映射
称此映射 f 1 为 f 的反函数 . 习惯上, y f ( x) , x D 的反函数记成
y f 1 ( x) , x f ( D)
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可定义复合
两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0 u cot v , v k (k 0, 1, 2 ,) x v , x (, ) 2 可定义复合函数:
nZ
x x k k 时 , cot 0 2 2 2
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三、函数
1. 函数的概念
定义4. 设数集 D R , 则称映射 D 上的函数 , 记为 定义域 自变量 为定义在
y f ( x) , x D
因变量 f ( D ) 称为值域 函数图形:
y y
C ( x , y ) y f (x) , x D D f (D)
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半开区间 无限区间
a a a
点的 邻域 去心 邻域 其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
(
)
左 邻域 :
右 邻域 :
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2. 集合之间的关系及运算 定义2 . 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B .
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4. 初等函数
(1) 基本初等函数
幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 (2) 初等函数
由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则称为非初等函数 .
x , x 0 可表为 y x 2 , 故为初等函数. 例如 , y x, x0 又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
n i 1
自然数集 N 0 , 1 , 2 , , n , n
例: 整数集合 Z x x N 或 x N p p Z , q N , p 与 q 互质 有理数集 Q q 实数集合 R x x 为有理数或无理数 开区间 ( a , b ) x a x b 闭区间 [ a , b ] x a x b
某教室座位 的集合
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引例2.
引例3.
(点集) (点集)
向 y 轴投影
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定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
若 例如 , 且 , 则称 A 与 B 相等, 记作 A B . ,