【错题精讲】智慧比拼——容斥原理
数字运算——容斥原理
20=124=50-x
答案为A选项
若问题之近视不超重，或只超重不近视的，则不可解
容斥原理
【例2】（天津2013-12）有70 名学生参加数学、语文考 试，数学考试得60 分以上的有56 人，语文考试得60 分 以上的有62 人，都不及格的有4 人，则两门考试都得60 分以上的有多少人？（ ） A. 50 B. 51 C. 52 D. 53
数字运算——容斥原理
2015038
容斥原理
“容斥原理”一共有五种小题型，分别用五种不同的思 路来解答。
对于“两集合容斥原理”：
1. 如果题目涉及的是这样五个量①满足条件A的数目② 满足条件B的数目③同时满足条件A和B的数目④条件A、 B都不满足的数目⑤总数，那么选用“两集合标准型”的 标准公式作答；
A. 7 B. 10 C. 15 D. 20
100=x+y+z
120=x+2y+3z (120=50+40+30)
题干求的是 y+z，通过判断得出答案B选项
判断1：消z，得出方程180=2x+y，则x<=90，当x为90最 大值时，y=0，则100=x+y+z的等式中y+z为10；
判断2：消x，得方程20=y+2z，则y+z=20-z，求y+z最小值， 则要求z最大，根据20=y+2z，z最大为10；
答案为B选项
容斥原理
【例4】（国考2014-67）工厂组织职工参加周末公益活 动，有80%的职工报名参加，报名参加周六活动的人数 与报名参加周日活动的人数比为2：1，两天的活动都报 名参加的人数为只报名参加周日活动的人数的50%。问 未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的？ A. 20% B. 30% C. 40% D. 50%
小学四年级奥数第35讲 容斥原理(含答案分析)
第35讲容斥原理一、专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－N ab。
Nab NbNa二、精讲精练：例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
练习一1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？2、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？练习二1、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。
那么，有多少人两个小组都没有参加？2、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。
两种报纸都没有订阅的有多少人？例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？练习三1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？2、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。
容斥原理之三者容斥问题
容斥原理之三者容斥问题浙江行测答题技巧：容斥原理之三者容斥问题中公教育考试研究院宋丽娜：容斥原理是行测数学运算中常考知识点。
容斥原理是指在计数时，必须注意无一重复，且无遗漏。
这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
例1：一个班级的学生数学和语文每人至少喜欢其中一种，其中喜欢数学课的有49人，喜欢语文课的有52人，二者都喜欢的有21人，则这个班级有多少人?中公点拨：本题就是一个容斥问题，解决此问题的方法就是先算：49+52=101(把含于某内容中的所有对象的数目先计算出来)，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去即：101-21=80人，则整个班级的人数就有80人。
三者容斥问题是行测数学运算中常考也相对较复杂的容斥问题。
所谓三者容斥是指在题干中有三种集合(集合就是具有共同属性所以元素的的整体，例如上题中喜欢数学的人构成一个集合)。
三者容斥问题有一个基本公式：A，B，C代表三个集合，则有A∪BUC=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C这个公式表达的含义是，A+B+C再减去两两相交之后，中间E(即A∩B∩C)这部分被减没了。
而容斥原理的基本思想是计数时不重复不漏掉，故要再加回来，所以又加了一个A∩B∩C。
例2. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。
结果显示：他们都至少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人。
篮球和排球都喜欢的多少人?中公教育解析：由题意可画图如下：则有上述公式可知：58+68+62-45-33-篮球和排球都喜欢+12=100人故喜欢篮球和排球的人有22人。
例3. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。
实用的计数原理之容斥原理(内含大量实例和详细分析)
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
例1 、一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类或B类元素个数”的总和。
试一试：某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？（并说一说你的想法。
）容斥原理（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
例2某校六（1）班有学生54人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人？分析：仿照例1的分析，你能先说一说吗？例3 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。
我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。
容斥原理(数学技巧点拨系列)
容斥原理【知识点讲解】1、原理容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
2、解释由图可以直接看出各部分之间的关系由Venn图可知：（A∪B=A+B-A∩B)由Venn图可知：（A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C）3、应用两类如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
三类如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
4、解题导语使用容斥原理一般用于集合相关问题中，但是此类思想在数学学习中仍有巨大作用。
例如在计数原理中使用间接法等等。
因此学习此类问题对数学能力的提升是有很大帮助的，它可以帮助你换一个角度看数学题，从而找到更简单的办法。
【例题详析】例1、（2020宁夏）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，六盘水市第七中学为了解我校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为（）A ．80B ．70C ．60D ．50【参考答案】B【详解】因为阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，所以《西游记》与《红楼梦》两本书中只阅读了一本的学生共有90-60=30位，因为阅读过《红楼梦》的学生共有80位，所以只阅读过《红楼梦》的学生共有80-60=20位，所以只阅读过《西游记》的学生共有30-20=10位，故阅读过《西游记》的学生人数为10+60=70位，【方法解析】由两类的容斥原理得：总人数=阅读过《西游记》+阅读过《红楼梦》-阅读过《红楼梦》和《西游记》的，由此得阅读过《西游记》的学生人数=90+60-80=70（位）例2：某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有（）名．A ．62B ．56C ．46D ．42【参考答案】C【详解】喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别记为A ，B ，依题意，集合A ，B ，A B 中元素个数分别为：()60,()82,()96n A n B n A B ==⋃=，则()()()()60829646n A B n A n B n A B ⋂=+-⋃=+-=，所以中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有46名.例3．某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（）A ．120B ．144C ．177D ．192【参考答案】A 【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合,,A B C 表示，则()63,()89,()47,()24card A card B card C card A B C ===⋂⋂=不妨设总人数为n ，韦恩图中三块区域的人数分别为,,x y z即()24,()24,()24card A B x card A C y card B C z ⋂=+⋂=+⋂=+46x y z ++=，由容斥原理：15()()()()()()()n card A card B card C card A B card A C card B C card A B C -=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂638947(24)(24)(24)24x y z =++-+-+-++解得：120n =【跟踪训练】一、单选题1．某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（）A ．27B ．23C ．15D ．72．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有（）．A．25种B．27种C．29种D．31种3．为了丰富同学们的课外生活，某班58名同学在选课外兴趣小组时，选择篮球小组的有28人，选择乒乓球小组的有36人，既没有选择篮球小组又没有选择乒乓球小组的有12人，那么选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为（）A．8B．10C．18D．204．某班有50名同学，有20名同学既不选修足球课程也不选修篮球课程，有18名同学选修了足球课程，28名同学选修了篮球课程，则既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有（）名A．10B．12C．14D．165．中共一大会址、江西井冈山、贵州遵义、陕西延安是中学生的几个重要的研学旅行地.某中学在校学生3000人，学校团委为了了解本校学生到上述红色基地研学旅行的情况，随机调查了500名学生，其中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共有40人，到过井冈山研学旅行的20人，到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅行的恰有10人，根据这项调查，估计该学校到过中共一大会址研学旅行的学生大约有（）人A．240B．180C．120D．606．某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：等级优秀合格合计项目除草301545植树202545若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（）A．5B．10C．15D．207．高考“33 ”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了100位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有40位，选择化学的学生共有30位，选择物理也选择化学的学生共有10位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.48．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.89．某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为45％，电视机拥有率为55％，洗衣机拥有率为65％，拥有上述三种电器的任意两种的占35％，三种电器齐全的为25％，那么一种电器也没有的农户所占比例是（）A．20％B．10％C．15％D．12％10．某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8B．7C．6D．5二、填空题11．学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则该班学生数为______．12．某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为__________．13．某单位共有员工85人，其中68人会骑车，62人会驾车，既会骑车也会驾车的人有57人，则既不会骑车也不会驾车的人有___________人.14．高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另外有5人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有___.人．15．某班有学生48人，经调查发现，喜欢打羽毛球的学生有35人，喜欢打篮球的学生有20人.设既喜欢打羽毛球，又喜欢打篮球的学生的人数为x，则x的最小值是_________.16．网络流行词“新四大发明’’是指移动支付､高铁､网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100名学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90名，使用过移动支付的学生共有80名，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60名，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为___________. 17．某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________. 18．某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则只喜欢其中一项运动的人数为________19．某班有45名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有20人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有9人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学有15人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有11人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人___________.20．某班进行集体活动，为活跃气氛，班主任要求班上60名同学从唱歌、跳舞、讲故事三个节目中至少选择一个节目、至多选两个节目为大家表演，已知报名参加唱歌、跳舞、讲故事的人数分别为40，20,30，同时参加唱歌和讲故事的有15人，同时参加唱歌和跳舞的有10人，则同时只参加跳舞和讲故事的人数为__________．21．对班级40名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A、B都赞成的学生有________人. 22．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________【参考答案】1．B【详解】设高三（1）班有50名学生组成的集合为U ,参加田赛项目的学生组成的集合为A ，参加径赛项目的学生组成的集合为B由题意集合A 有15个元素，B 有20个元素，A B 中有8个元素所以A B 有15+20827-=个元素.所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为5027=23-故选：B2．C【详解】解：因为前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出且第二天没有售出的商品有19316-=（种)；同理第三天售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出；所以三天商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数是1416129+-=（种)；分别用集合A 、B 、C 表示第一、第二和第三天售出的商品，则商品数最少时，如图所示．故选：C ．3．B【详解】设既选择篮球小组又选择乒乓球小组的有x 人，则选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的有()28x -人，选择乒乓球小组但没有选择篮球小组的有()36x -人.由题意可得()()12283658x x x +-+-+=，解得18x =，所以选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为2810x -=.【详解】设既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有x 名，由容斥原理得20182850x ++-=，解得16x =.故选：D.5．B【详解】如下图所示，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为x ，由题意可得()102040x -+=，解的30x =，因此，该学校到过中共一大会址研学旅行的学生的人数为303000180500⨯=.6．C【详解】用集合A 表示除草优秀的学生，B 表示植树优秀的学生，全班学生用全集U 表示，则U A ð表示除草合格的学生，则U B ð表示植树合格的学生，作出Venn 图，如图，设两个项目都优秀的人数为x ，两个项目都是合格的人数为y ，由图可得203045x x x y -++-+=，5x y =+，因为max 10y =，所以max 10515x =+=．故选：C ．【详解】选择物理的学生人数为40301020-+=，即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为200.2100=．故选：B8．C【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值700.7100=，故选C.9．A【详解】解：设农户总共为100家，则有55家农户有电视机，45家农户有电冰箱，65家农户有洗衣机，有25家农户同时拥有这三种电器，另外75家只有其中两种或一种或没有电器．设只有电冰箱和电视机的农户有a 家，只有电冰箱和洗衣机的农户有b 家，只有洗衣机和电视机的农户有c 家，只有电视机、电冰箱、洗衣机的分别有d 、e 、f 家，没有任何电器的农户有x 家．那么对于拥有电冰箱的农户可得出：2545a b e +++=①那么对于拥有电视机的农户可得出：2555a c d +++=②那么对于拥有洗衣机的农户可得出：2565b c f +++=③把上面三个式子相加可得：()290a b c d e f +++++=④对于拥有上述三种电器的任意两种的占35%，得到：35a b c ++=⑤把⑤代入④可得到20d e f ++=⑥因为农户共有100家，所以25100a b c d e f x +++++++=，把⑤和⑥代入上式得到20x =，即一种电器也没有的农户所占比例为20%，10．C【详解】解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A ，B ，C ，集合A ，B ，C 中元素个数分别为n A ．，n B ．，n C ．，则n A ．14=，n B ．10=，n C ．8=，()20n A B C ⋃⋃=，因为()n A B C n ⋃⋃=A ．n +B ．n +C ．()()()()n A B n A C n B C n A B C -⋂-⋂-⋂+⋂⋂，且()()n A B n A B C ⋂⋂⋂ ，()()n A C n A B C ⋂⋂⋂ ，()()n B C n A B C ⋂⋂⋂ ，所以1410820()3()n A B C n A B C ++-+⋂⋂⋂⋂ ，即1410820()62n A B C ++-⋂⋂= ．故选：C ．11．52【详解】解：设参加羽毛球赛为集合A ，参加乒乓球赛为集合B ，依题意可得如下韦恩图：所以该班一共有1762952++=人；故答案为：5212．23【详解】由题意，15名参加田赛的同学中有7名没有参加径赛，20名参加径赛的同学中有12名没有参加田赛，所以参加田赛和径赛的同学共有781227++=人，综上，该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为502723-=人.13．12【详解】设会骑车的人组合的集合为A ，会驾车的人组成的集合为B ，既会骑车也会驾车的人组成的集合为集合C ,易知A B C = ，记card()A 表示集合A 中的元素个数，则有()()()()68625773card A B card A card B card A B =+-=+-= ，所以既不会骑车也不会驾车的人为857312-=.故答案为：1214．20【详解】设该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生人数为x ，以集合U 表示该班集体，集合A 表示参加数学竞赛的学生组成的集合，集合B 表示参加物理竞赛的学生组成的集合，如下图所示：由题意可得()()322856545x x x x -++-+=-=，解得20x =.故答案为：20.15．7【详解】设既不喜欢打羽毛球，又不喜欢打篮球的学生的人数为y ，则352048x y +-+=，即7x y -=，因为0y，所以7x .因为20x ，所以720x .故答案为：7.16．710##0.7【详解】根据题意，将使用过移动支付､共享单车的人数用如图所示的韦恩图表示，所以该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为6010710010+=.故答案为：710.17．5【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为A ，B 、C ，同时参加数学和化学小组的人数为x ，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为0，如图所示：由图可知：20654939x x x -+++++-=，解得5x =，所以同时参加数学和化学小组有5人.故答案为：5.18．28【详解】6 人这两项运动都不喜欢，∴喜欢一项或两项运动的人数为40634-=人；∴喜欢两项运动的人数为：2416346+-=人，∴喜欢篮球的人数为24618-=人；喜欢乒乓球的人数为16610-=人；∴只喜欢其中一项运动的人数为181028+=人.故答案为：28.19．5【详解】以集合A 、B 、C 表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，如下图所示：设同时参加这三个兴趣小组的同学有x 人，由图可得()()()209111555245x x x x x +-+-+-+=-=，解得5x =.故答案为：5.20．5【详解】参加唱歌、跳舞、讲故事的人分别用集合,,A B C 表示，作出Venn 图，如图，图中字母表示相应区域人数，则0n =，又40a b m ++=，20b c d ++=，30d e m ++=，15m =，10b =，60a b c d e m +++++=，则()()()a b m b c d d e m b m ++++++++--2a b c d e m =+++++，∴4020301510605d =++---=，∴同时只参加跳舞和讲故事的人数为5人．故答案为：5．21．18【详解】赞成A 的人数为340245⨯=，赞成B 的人数为24327+=，设对A 、B 都赞成的学生有x ，则112724403x x x x ++-++-=，解得18x =.故答案为：18.22．3【详解】把大学社团50人形成的集合记为全集U ，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有214638---=(人)，因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有234739---=(人)，因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有2667310---=(人)，因此，至少看了一支短视频的有3467891047++++++=(人)，-=所以没有观看任何一支短视频的人数为50473。
最新北师大版小学五年级数学下册奥数专题讲座第十二课(容斥原理)
五年级下册数学奥数专题讲座第十二课《容斥原理》难题练习及题目答案
五年级奥数下册：第十二讲容斥原理
五年级奥数下册：第十二讲容斥问题习题
五年级奥数下册：第十二讲容斥问题习题解答
课外延伸
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小学数学三年级难点问题——容斥原理
小学数学三年级难点问题——容斥原理容斥原理是小学数学的难点之一，对于三年级的同学来说，这个知识点比较新，会有一些不适应，今天我们就用一道例题来介绍一下容斥原理及其计算方法。
文氏图三（2）班共有60人，其中，喜欢足球的23人，喜欢跑步的30人，既喜欢足球又喜欢跑步的有6人，问既不喜欢足球，也不喜欢跑步的有几人？首先，我们把喜欢足球的23人列出来。
喜欢踢球的23人再将喜欢跑步的30人列出来。
喜欢踢球的23人和喜欢跑步的30人注意，有6个同学既喜欢踢球又喜欢跑步，我们用红色标记出来。
6个人既喜欢踢球又喜欢跑步这样的话，我们可以看得出来，喜欢踢球，喜欢跑步的同学就是上图中所有的圆点，其中包括蓝色圆点、棕色圆点和红色圆点，它们一共有23+30-6=47个，也就是有47人喜欢踢球或者喜欢跑步，那么既不喜欢踢球，又不喜欢跑步的同学就是总数减去这47人，即60-47=13人，他们是不是在教室里当学霸呢？实际上，容斥原理问题我们可以用画图的方法很快的计算出来，具体地说，就是画一个文氏图，对于此题，我们先画一个椭圆，表示喜欢踢球的人，如下图所示。
用一个椭圆表示喜欢踢球的人（抽象画法）然后再画一个与刚才的椭圆有重叠的椭圆，表示喜欢跑步的同学。
喜欢踢球和喜欢跑步的同学两个椭圆重叠的部分就是既喜欢踢球又喜欢跑步的同学。
题目问的是既不喜欢踢球又不喜欢跑步的人数，从图中可以看出，蓝色部分就是要求的既不喜欢踢球又不喜欢跑步的人。
显然，我们通过图形可以看出，蓝色部分等于整个长方形减去两个椭圆遮住的部分，而两个椭圆遮住的部分等于黄色区域+绿色区域-重叠区域，这样看是不是一目了然啊。
因此，列出算式就是60-（23+30-6）=13人。
容斥问题解题技巧易错点及重点教学反馈
容斥问题解题技巧易错点及重点教学反馈【最新版4篇】目录（篇1）一、引言：容斥问题的定义与重要性二、容斥问题的解题技巧1.直接法2.间接法3.容斥原理三、容斥问题易错点1.容斥原理理解错误2.间接法运用不当3.忽略特殊情况四、重点教学反馈1.强调容斥原理的理解2.强化间接法的运用3.注意特殊情况的处理正文（篇1）一、引言容斥问题是组合数学中的一个重要内容，它在解决计数问题中起着关键作用。
掌握容斥问题的解题技巧，不仅可以帮助我们更好地理解组合数学的基本概念，还能提高解决实际问题的能力。
本文将对容斥问题的解题技巧、易错点以及重点教学反馈进行探讨。
二、容斥问题的解题技巧1.直接法：直接法是解决容斥问题的一种直接方法，它通过分析问题本身的结构，找到解决容斥问题的关键。
2.间接法：间接法是另一种解决容斥问题的方法，它通过引入辅助元素，将问题转化为更容易解决的形式。
3.容斥原理：容斥原理是解决容斥问题的核心原理，它能够有效地处理计数问题中的重叠情况。
三、容斥问题易错点1.容斥原理理解错误：在解决容斥问题时，对容斥原理理解不清可能会导致解题错误。
2.间接法运用不当：在运用间接法解决容斥问题时，若对问题的分析不够准确，可能会导致解题错误。
3.忽略特殊情况：在解决容斥问题时，若忽略了特殊情况，可能会导致解题结果不准确。
四、重点教学反馈1.强调容斥原理的理解：在教学过程中，要重点强调容斥原理的理解，帮助学生掌握解决容斥问题的核心方法。
2.强化间接法的运用：间接法是解决容斥问题的一种有效方法，教学过程中要强化间接法的运用，提高学生的解题能力。
3.注意特殊情况的处理：在解决容斥问题时，要注意特殊情况的处理，避免因忽略特殊情况导致解题结果不准确。
总之，掌握容斥问题的解题技巧，了解易错点，注重教学反馈，有助于提高解决容斥问题的能力。
目录（篇2）一、引言：容斥问题在数学中的重要性和应用范围二、容斥问题的基本概念和解题方法1.容斥原理2.容斥问题的解题技巧三、容斥问题易错点分析1.容斥原理的理解误区2.计算过程中的粗心错误四、重点教学反馈1.提高学生对容斥原理的理解2.加强对学生的计算能力训练3.培养学生的细心和耐心五、结论：容斥问题在教学中的重要性和对学生的指导意义正文（篇2）一、引言容斥问题是数学中的一个重要领域，它在组合数学、概率论、统计学等领域中都有着广泛的应用。
【小高数学知识点】容斥原理
容斥原理一、知识结构图容斥原理二、方法讲解1、容斥原理Ⅰ：两量重叠问题A 类与B 类元素个数的总和=A 类元素的个数+B 类元素个数—既是A 类又是B 类的元素个数用符号可表示成：A ∪B=A+B-A ∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思。
）则称这一公式为包含于排除原理，简称容斥原理。
图示如下：A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A ∩B ，即阴影面积。
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A 、B 的并集A ∪B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A 、B 的元素个数，然后加起来，即先求A+B （意思是把A 、B 的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=A ∩B （意思是“排除”了重复计算的元素个数）。
2、容斥原理Ⅱ：三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和=A 类元素的个数+B 类元素个数+C 类元素个数—既是A 类又是B 类的元素个数—既是B 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数。
用符号表示为：A ∪B ∪C=A+B+C-A ∩B-B ∩C-A ∩C+A ∩B ∩C 图示如下：3、解答有关包含排除问题的一般方法在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考。
三、例题精讲例题1、把面积35cm ²和面积27cm ²的大小两个圆平放在桌面上，有一部分重叠，重叠部分面积为8cm ²，求被盖住桌面的面积？ 答案：面积为35+27-8=54cm 2练习1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有 28 人，参加数学兴趣小组的有 29 人，有12 人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ 答案：参加的人有：28+29-12=45人例2、某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加，那么有多少人两个小组都不参加？ 答案：参加兴趣小组：15+18-10=23（人） 都不参加：40-23=17（人）40 航模 数学1810 15练习2、四(二)班有 48 名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有 30 人，写完数学作业的有 20 人，语文数学都没写完的有 6 人． ⑴ 问语文数学都写完的有多少人？ ⑵ 只写完语文作业的有多少人？ 答案：（1）至少完成一科作业：48-6=42人 两科都写完：30+20-42=8人 （2）只写完语文：30-8=22人∩CC ∩1． 先包含——A +B +C重叠部分A ∩B 、B ∩C 、C ∩A 重叠了2次，多加了1次. 2． 再排除——A +B +C -A ∩B -B ∩C -A ∩C 重叠部分A ∩B ∩C 重叠了3次，但是在进行A +B +C -A ∩B -B ∩C -A ∩C 计算时都被减掉了.C B A 例3、在 1—100 的全部自然数中，不是 3 的倍数也不是 5 的倍数的数有多少个？ 答案：3的倍数：100÷3=33个···1 5的倍数：100÷5=20个既是3又是5的倍数：100÷15=6个···10 所以3或5的倍数：33+20-6=47个既不是3也不是5的倍数：100-47=53个练习3、50 名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按 1，2，3，...，49，50 依次报数；再让报数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名? 答案：4的倍数：50÷4=12人...2 6的倍数：50÷6=8人 (2)既是4又是6的倍数：50÷12=4人···2 所以4或6的倍数：12+8-4=16人既不是4也不是6的倍数：50-16=34人最后向前的同学包含：既不是4和6的倍数和同时是4和6的倍数 共有：4+34=38人例4、在桌面上放置着三个两两重叠的近圆形纸片（如图，三个纸片等大），它们的面积都是100 cm ²，并知A 、B 两圆重叠的面积是20 cm ²，A 、C 两圆重叠的面积为45 cm ²，B 、C 两圆重叠的面积为31 cm ²,三个圆共同重叠的面积为15 cm ²，求盖住桌子的总面积。
第8讲容斥原理
第8讲容斥原理容斥原理是概率论和组合数学中的重要概念之一，它是一种用于计算多个事件的概率的推理方法。
容斥原理的核心思想是通过减去不重叠的事件的概率来计算多个事件的概率，从而得到它们的交集的概率。
容斥原理的一般形式可以表示为：P(A_1∪A_2∪A_3...)=S(A_1)+S(A_2)+S(A_3)-S(A_1∩A_2)-S(A_1∩A_3)-S(A_2∩A_3)+S(A_1∩A_2∩A_3)+...其中，P表示概率，A_i表示事件，S(A_i)表示事件A_i的概率，∪表示事件的并集，∩表示事件的交集。
容斥原理的核心思想是通过减去重叠部分的概率来计算多个事件的概率。
在上述公式中，第一项表示单独发生每个事件的概率，第二项表示两个事件同时发生的概率，第三项表示三个事件同时发生的概率，以此类推。
最后，通过交替相加和相减，得到多个事件的交集的概率。
容斥原理可以用来解决各种计数问题，如排列组合问题、集合的计数问题等。
它在概率论、组合数学、数论等领域里都有广泛的应用。
下面通过一个例子来理解容斥原理的具体应用。
例题：已知集合A中有n个元素，集合B中有m个元素，求集合A和集合B的并集中元素个数的期望值。
解答：首先，我们计算集合A中的元素在并集中出现的概率。
由于A中的每个元素在并集中的出现概率都相同，所以我们只需要计算一个元素出现的概率即可。
假设元素i出现在并集中的概率为p_i，那么由于每个元素的出现概率都相同，所以p_1+p_2+...+p_n=1而当一个元素出现在并集中时，它同时也是集合A和集合B中的元素，所以我们可以用容斥原理来计算元素i出现在并集中的概率。
通过容斥原理，我们可以得到集合A和集合B的并集中元素i出现的概率为：p_i=P(A_i)+P(B_i)-P(A_i∩B_i)其中P(A_i)表示元素i出现在集合A中的概率，P(B_i)表示元素i出现在集合B中的概率，P(A_i∩B_i)表示元素i同时出现在集合A和集合B中的概率。
初一数学竞赛系列讲座(15)容斥原理
初一数学竞赛系列讲座(15)容斥原理一、知识要点1、容斥原理在计数时，常常遇到这样的情况，作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，需要加上，这就是容斥原理。
它的基本形式是： 记A 、B 是两个集合，属于集合A 的东西有A 个，属于集合B 的东西有B 个，既属于集合A 又属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个；属于集合A 或属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个，则有：B A =A +B -B A容斥原理可以用一个直观的图形来解释。
如图，左圆表示集合A ，右圆表示集合B ，两圆的公共部分表示B A ，两圆合起来的部分表示B A ， 由图可知：B A =A +B -B A 容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原则。
二、例题精讲例1 在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个？ 分析：根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数。
解：在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2⨯1，2⨯2，…，2⨯100，共100个；在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3⨯1，3⨯2，…，3⨯66，共66个； 在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为： 6⨯1，6⨯2，…，6⨯33，共33个；所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为： 200-100-66+33=67(个)例2 求1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S 。
解：1到100的自然数中，所有自然数的和是：1+2+3+…+100=50501到100的自然数中，所有2的倍数的自然数和是：2⨯1+2⨯2+…+2⨯50=2⨯(1+2+3+…+50)= 2⨯1275=25501到100的自然数中，所有3的倍数的自然数和是：3⨯1+3⨯2+…+3⨯33=3⨯(1+2+3+…+33)= 3⨯561=16831到100的自然数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的自然数和是：6⨯1+6⨯2+…+6⨯16=6⨯(1+2+3+…+16)= 6⨯136=816所以，1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和 S=5050-2550-1683+816=1633例3求不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数。
数学竞赛中容斥原理的应用
数学竞赛中容斥原理的应用1. 容斥原理概述容斥原理是组合数学中重要的计数原理之一，常被用于解决重叠计数问题。
数学竞赛中，容斥原理常常应用于排列组合、概率与计数等方面的问题。
2. 容斥原理的基本思想容斥原理的基本思想是通过减去重合部分来计算两个或多个集合的并集的元素个数。
在数学竞赛中，需要正确理解并掌握容斥原理的应用方法，才能在题目中灵活运用。
3. 容斥原理的一般表述对于n个集合$A_1,A_2,\\ldots,A_n$，容斥原理可以表述如下：$|\\bigcup_{i=1}^{n}A_i|=\\sum_{i=1}^{n}|A_i|-\\sum_{1 \\leq i < j \\leq n}|A_i\\cap A_j|+\\sum_{1 \\leq i < j < k \\leq n}|A_i \\cap A_j \\cap A_k|-\\ldots+(-1)^{n-1}|A_1 \\cap A_2 \\cap \\ldots \\cap A_n|$4. 容斥原理的应用方法4.1 两个集合的容斥对于两个集合A和B，根据容斥原理，可以得到以下关系式： $|A \\cup B| = |A| + |B| - |A \\cap B|$4.2 三个集合的容斥对于三个集合A、B和C，根据容斥原理，可以得到以下关系式： $|A \\cup B \\cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \\cap B| - |A \\cap C| - |B \\cap C| + |A \\cap B \\cap C|$4.3 多个集合的容斥对于更多个集合的情况，容斥原理的应用方法与前面的方法类似，可以通过逐步加减交集的方式计算并集的元素个数。
5. 容斥原理的示例题目5.1 示例题目一有一个集合S，其中包含1至100的整数。
求能被2或3整除的数的个数。
解答：根据容斥原理的应用，可以使用以下计算公式： $|A \\cup B| = |A| + |B| - |A \\cap B|$其中，A表示能被2整除的数的集合，B表示能被3整除的数的集合。
行测理-容斥原理(标准含讲解过程)
2.图解法 求只A/只B，在公式中没有——>画图（从里向外、注意去重）
......
容斥原理
x = 34
容斥原理
◆例题5◆
某研究室有 12 人，其中 7 人会英语，7 人会德语，6 人会法语，4 人既会英语又
会德语，3 人既会英语又会法语，2 人既会德语又会法语，1 人三种语言都会。会且只
会一种语言的有多少人？
A.8
B.4
√C.5
D.6
A+B+C -A∩B-B∩C-A∩C +A∩B∩C=全-都不 A+B+C-满足两项 - 满足三项×2=全-都不
B.15
C.5
100
√D.3
A + B- A∩B = 全 - 都不
15 73 ？
图解法：
都=88-15 =73
?=76-73 =3
求只A/只B，在公式中没有——>画图
容斥原理
2.三集合
标准型公式：A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C=全-都不
B
A
+2 -1
+3 -1
-1 -1
+2 -1
+2 -1
2.三集合
非标准型公式：A+B+C-满足两项 - 满足三项×2=全-都不
B
满足两项：只具有其中两个属性（灰色区域）
A
+2
+3
+2
+2
A+B+C - 满足两项 - 满足三项×2 +都不 = 全 A+B+C-满足两项 - 满足三项×2=全-都不
C
都不
数量关系解题技巧：容斥原理问题
行测数量关系解题技巧：容斥原理问题【京佳教育】通过对近年来公务员考试和各地市公务员考试行政职业能力测验真题的分析，不难发现，计数性质的试题经常出现在数量关系部分的数学运算中。
而此类试题在运算的过程中又因为容易遗露某个条件而漏计或重复计数出现错误。
今天，京佳教育专家结合具体的试题来和大家一起探讨解决此类试题的方法。
例题：某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。
则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？（）A. 34B. 35C. 36D. 37为便于解决此类计数问题，不妨先让我们引入小学奥数中经常用到的一个原理，即容斥原理：在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先容纳(计算)进去，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去(减去)，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理中经常用到的有如下两个公式：两集合的容斥关系公式：A∪B＝A＋B－A∩B。
如果被计数的事物有A、B两类。
那么所有属于A类或属于B类的元素个数总和＝A类元素个数＋属于B类元素个数－既属于A类又属于B类的元素个数。
用文氏图表示为：三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C＋A∩B∩C。
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么所有属于A类或属于B类或属于C类的元素的个数总数＝A 类元素的个数＋B类元素的个数＋C类元素的个数－既是A类又是B类元素的个数－既是B类又是C类元素的个数－既是A类又是C类元素的个数＋同时是A类B类C类元素的个数。
用文氏图表示为：运用上述两个公式需要注意以下情况：这两个公式分别主要针对两种情况：第一个公式是针对涉及到计算两类事物的个数，第二个公式是针对涉及到三类事物的个数。
【错题精讲】智慧比拼——容斥原理ppt课件
答案： A
12
判断题。 小红班有24人学书法，18人学美术，两样都学的有8人，学书法 和美术的一共有34人。 A.错 B.对
13
答案： 正确
14
单选题。 某小学有72人参加植树活动。有43人去植松树，48人去植柏树， 既植松树又植柏树的同学有( )人。 A. 19 B. 91 C. 24
【错题精讲】智慧比拼——容斥原理
五年级 数学 相一
1
单选题。 淘气班里进行一次数学测试，第1题答对的有37人，第2题答对 的有25人，两道题都答对的有18人，如果每人至少答对一道题， 淘气班里一共有( )人。 A. 62 B. 43 C. 44
2
答案： C
3
1、在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数 方法：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计 算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既 无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 2、计算方法：
19
答案： 48－(21＋17－5)＝15(人)
20
解决问题。 淘气班里有56人，一次测试中，数学得优的有27人，语文得优 的有24人，两科都得优的有9人，一个优也没有的有( ______ ) 人。
21
答案： 14 解析： 56－(27＋24－9)＝14(人)
22
填空题。 五(2)班有24人买了数学卷，28人买了语文卷，既买语文卷又买 数学卷的有14人，如果每人至少买一样卷，五(2)班一共有 ( ______ )人。
7
答案： 31
8
填空题，这些人 最多只参加一项活动，既不跳舞又不玩漂移板的有( ______ ) 人。
9
答案： 133 解析：380-163-84=133（人）
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算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既
无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 2、计算方法：
填空题。 五(1)班15人读了《狼图腾》，26人读了《金银岛》，其中有8
人两本书都读了，读两本书的一共有( ______ )人。
答案： 33
解析：15+26-8=33（人）
填空题。 五(3)班有24人参加了书法比赛，18人参加了绘画比赛，其中两
每人至少参加一个队，则两个队都参加的有(
A. 14 B. 20 C. 11
)人。
答案： A
判断题。 小红班有24人学书法，18人学美术，两样都学的有8人，学书法
和美术的一共有34人。
A.错 B.对
答案： 正确
单选题。 某小学有72人参加植树活动。有43人去植松树，48人去植柏树，
既植松树又植柏树的同学有(
A. 19 B. 91 C. 24
)人。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 答案： A
解决问题。 某制药厂举行文艺汇演，某车间共有42人，有21人参加歌唱表
演，有15人参加舞蹈表演，这些人每人最多只参加一个节目，
既不参加歌唱表演又不参加舞蹈表演的有( ______ )人。
答案： 6
解析：
42－21－15＝6(人)
解决问题。 五(1)班有学生48人，其中没读《红楼梦》的同学有21人，没读
样都参加的有11人，一共有( ______ )人参加了比赛。
答案： 31
填空题。 广场上有380人，有163人在跳舞，有84人在玩漂移板，这些人
最多只参加一项活动，既不跳舞又不玩漂移板的有( ______ )
人。
答案： 133
解析：380-163-84=133（人）
单选题。 五(2)班有45人，有34人参加歌唱队，有25人参加舞蹈队，如果
【错题精讲】智慧比拼——容斥原理
五年级 数学 相一
单选题。 淘气班里进行一次数学测试，第1题答对的有37人，第2题答对
的有25人，两道题都答对的有18人，如果每人至少答对一道题，
淘气班里一共有( A. 62 B. 43 C. 44 )人。
答案： C
1、在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数 方法：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计
去过的同学有多少人?
答案： 32＋26－(48－8)＝18(人)
单选题。 五(4)班有56人，在一次测验中，数学得优的有37人，语文得优
的有29人，两科都得优的有16人，两科都没得优的有(
A. 6 B. 10 C. 40
)人。
答案： A
解析：56-（37+29-16）=6（人）
1、在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种 新的计数方法：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所
丝，吃香辣肉丝的同学有( ______ )人。
答案： 11
解析：38-12-15=11（人）
单选题。 育红小学有40人参加绳和踢毽子比赛，其中参加跳绳比赛的有
26人，参加踢毽子比赛的有31人，既参加跳绳又参加踢毽子比
赛的有( A. 17 B. 40 C. 57 )人。
答案： A
解析：26+31-40=17（人）
有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排
斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法 称为容斥原理。 2、计算方法：
填空题。 五(2)班有24人买了数学卷，28人买了语文卷，既买语文卷又买
数学卷的有14人，如果每人至少买一样卷，五(2)班一共有
( ______ )人。
答案： 38
解析：24+28-14=38（人）
填空题。 六年一班有38人一同去食堂吃饭，每人只选一种菜。吃韭菜炒
鸡蛋的有12人，吃麻辣豆腐的有15人。其余的同学都吃香辣肉
《水浒传》的同学有17人，两本书都没读的有5人，两本书都读
的有多少人?
答案： 48－(21＋17－5)＝15(人)
解决问题。 淘气班里有56人，一次测试中，数学得优的有27人，语文得优
的有24人，两科都得优的有9人，一个优也没有的有( ______ )
人。
答案： 14
解析：
56－(27＋24－9)＝14(人)
判断题。 联欢会上，吃橘子的同学有18人，吃香蕉的同学有22人，两样
都吃的有9人。如果联欢会上一共有50人，有19人既没吃橘子也
没吃香蕉。 A.错 B.对
答案： 正确
解析：50-（18+22-9）=19（人）
解决问题。 全班48名同学中，去过吊水壶旅游的有32人，去过双阳湖旅游
的有26人，吊水壶和双阳湖都没去过的有8人。那么两个地方都