人教数学二次函数的专项培优易错试卷练习题含详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）

（1）求该函数的关系式；

（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；

（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.

【解析】

【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；

（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；

（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．

【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，

将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，

∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；

（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），

令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，

即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；

（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），

由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），

当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，

故A'（2，4），B'（5，﹣5），

∴S△OA′B′=1

2

×（2+5）×9﹣

1

2

×2×4﹣

1

2

×5×5=15．

【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的

求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.

2．如图，已知抛物线y =x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C （0，－3），对称轴是直线x =1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求直线BC 的函数表达式；

（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．

①当线段PQ =34

AB 时，求tan ∠CED 的值； ②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．

【答案】（1）抛物线的函数表达式为y =x 2－2x －3．（2）直线BC 的函数表达式为y =x －3．（3）①

23．①P 1（122），P 2（16，74）． 【解析】

【分析】

已知C 点的坐标，即知道OC 的长，可在直角三角形BOC 中根据∠BCO 的正切值求出OB 的长，即可得出B 点的坐标．已知了△AOC 和△BOC 的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO 与OB 的比．由此可求出OA 的长，也就求出了A 点的坐标，然后根据A 、B 、C 三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．

【详解】

（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴− 221

b

b a

-⨯＝＝1 ∴b=-2 ∵抛物线与y 轴交于点C （0，-3），

∴c=-3，

∴抛物线的函数表达式为y=x 2-2x-3；

（2）∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，

当y=0时，x2-2x-3=0．

∴x1=-1，x2=3．

∵A点在B点左侧，

∴A（-1，0），B（3，0）

设过点B（3，0）、C（0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m，

则

03

3

k m

m

＝

＝

+

⎧

⎨

-

⎩

，

∴

1

3 k

m

⎧

⎨

-⎩

＝

＝

∴直线BC的函数表达式为y=x-3；

（3）①∵AB=4，PQ=3

4 AB，

∴PQ=3

∵PQ⊥y轴∴PQ∥x轴，

则由抛物线的对称性可得PM=3

2

，

∵对称轴是直线x=1，∴P到y轴的距离是1

2

，

∴点P的横坐标为−1

2

，

∴P（−1

2，−

7

4

）

∴F（0，−7

4

），

∴FC=3-OF=3-7

4

=

5

4

∵PQ垂直平分CE于点F，

∴CE=2FC=5 2

∵点D在直线BC上，

∴当x=1时，y=-2，则D（1，-2），过点D作DG⊥CE于点G，

∴DG=1，CG=1，

∴GE=CE-CG=5

2

-1=

3

2

．

在Rt△EGD中，tan∠CED=

2

3 GD

EG

＝．

②P1（2，-2），P2（6

-

5

2

）．

设OE=a，则GE=2-a，

当CE为斜边时，则DG2=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），

∴1=1×（2-a），

∴a=1，

∴CE=2，

∴OF=OE+EF=2

∴F、P的纵坐标为-2，

把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：2或2∵点P在第三象限．

∴P1（2-2），

当CD为斜边时，DE⊥CE，

∴OE=2，CE=1，

∴OF=2.5，

∴P和F的纵坐标为：-5

2

，

把y=-5

2

，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1-

6

2

1+

6

2

∵点P在第三象限．

∴P2（6-5

2

）．

综上所述：满足条件为P1（2-2），P2（6

-

5

2

）．

【点睛】