流体力学第四章 动力学

图4-4
因为渐变流的流线是几乎平行的直线，则沿n向的加速
度 an 0 ，于是，微小液柱沿n向的运动方程为： • u dA ( d )dA rdndwcos 0 (4.12)
• 整理得：
2
dz dn cos
dp dz 0
p z 常数
(4.13) （4.14）
2）几何意义图 理想流体微元流束的伯努利方程式（4-7）中，左端 前两项的几何意义，同样在静力学中已有阐述，即第一项 z表示单位重量流体的位置水头，第二项p/(ρ g)表示单位 重量流体的压强水头，第三项u2/(2g)与前两项一样也具 有长度的量纲。它表示所研究流体由于具有速度V，在无 阻力的情况下，单位重量流体所能垂直上升的最大高度， 称之为速度水头。位置水头、压强水头和速度水头之和称 为总水头。由于它们都表示某一高度，所以可用几何图形 表示它们之间的关系，如4-2所示。 因此伯努利方程也可叙述为：理想不可压缩流体在 重力作用下作定常流动时，沿同一流线(或微元流束)上各 点的单位重量流体所具有的位置水头、压强水头和速度水 头之和保持不变，即总水头是一常数。
逐项积分：
dW Xdx Ydy Zdz
1 p p p 1 ( dx dy dz) dP x y z duy dux duz 1 2 2 2 1 2 dx dy dz d (ux u y uz ) du dt dt dt 2 2
假设质量力只有重力，X=0，Y=0，Z=-g，即z轴垂直向上，oxy为 水平面。则式(4-6)可写成
2
2g
• ②外力作功 • a．表面力作功（包括动水压与摩擦阻力作功） 断面１－１ˊ和２－２ˊ上的动水压力与水流方向平 行，所以要做功；而元流侧壁上的动水压力由于与流动方 向相垂直，所以不做功，两断面上动水压力所做的功为：
•
p1dA 1 ds1 p2 dA 2 ds2 ( p1 p2 )dV
1）物理意义
理想流体微元流束的伯努利方程式（4-7）中，左端
前两项的物理意义，在静力学中已有阐述，即 第一项z表示单位重量流体所具有的位势能；
第二项p/(ρ g)表示单位重量流体的压强势能；
第三项u2/(2g)理解如下：由物理学可知，质量为m的物体以速度V运 动时，所具有的动能为Mv2/2，则单位重量流体所具有的动能为V2/(2g)
(4.8)
• •
• • • dV 2 (u 2 u12 ) ( p1 p 2 )dV dV ( z1 z 2 ) dV hw • 2g (4.10)
液流的摩擦阻力由于与流动方向相反，所以对液流做 负功，以表示摩阻力对单位重量的液流所做的功，则对重 为γ dV的水体来说，摩阻力所做的功是： dVhw b．质量力作功（作用在液体上的质量力只有重力） 重力作功可视为从１－１ˊ移至２－２ˊ时重力所做的功， 因而重力作功 dV ( z1 z 2 ) （重力做正功） (4.9) 应用功能原理得
1 p p 2 y dy dxdz
1 p dz dxdy p 2 z
1 p dzdxdy p 2 z
作用在流体微团上的外力除静压力外，还有质量力。若流体微
团的平均密度为ρ，则质量力沿三个坐标轴的分量为 ：
Xdxdydz
图 4-2 总水头线和静水头线
二、由功能原理推导恒定流实际液体的能量方程
如图4-3 ：在恒定流中取一段元流，任截取其中断面１ －１与断面２－２之间的流段来研究，各参数标于图上。
据功能原理，外力对物体所做的功等于物体动能的增量。
• ① 动能的增量 由于是恒定流，在时段内，１ˊ－２这部分的质量和 各点流速都没有变化，即动能的变化为零，所以整个流段 的动能增量可看作是２－２ˊ段的动量和１－１ˊ段动能 的差值。 因为流体不可压缩：Ｖ１－１ˊ＝Ｖ２－２ˊ＝dＶ
(4.19) 设总流的流量为Ｑ，则时段通过总流的液体重量为 Qdt， 将上式除以 Qdt ，即得： p1 1 1 u13 ( z1 )u1dA1 dA1 Q A1 Q A1 2 g
(4.18) 总流是由无数元流组成的，对上式在两边水断面A1、A2 上积分，便得到 dt 时段内通过总流的液体的能量守恒关系 为： 2 2
1 2 gdz dp du 0 2
又假设为不可压缩均质流体，即ρ =常数，积分后得
1
或
u2 gz 常数 2 2 p u z 常数 g 2 g p
(4-7)
式（4-7）称为理想流体微元流束的伯努利方程。方程右边的常数对不 同的流线有不同的值。
该方程的适用范围是：理想不可压缩均质流体在重力作用下作定 常流动，并沿同一流线（或微元流束）。若1、2为同一条流线（或微Leabharlann Baidu元流束）上的任意两点，则式（4-6）也可写成
标为x、y、z，压强为p。
先分析x方向的运动，在垂直于x轴的左右两个平面中 心点上的压强各等于
p dx p x 2
p dx p x 2
由于是微元面积，所以这些压强可以作为各表面上的平 均压强。设在六面体形心上的单位质量的质量力分量为
图 4-1 推导欧拉运动微分方程用图
1 p dx dydz p 2 x
• 积分（4.13）得：

上式说明，缓变流过水断面方向上
z
p

常数
。
但沿流程各断面的势能不可能是同一常数，这是由于液流 摩阻力耗能，运动过程中一部分势能转化为其它形式的能。 在急变流断面上，由于流线弯曲大或相互不平行，在过水 断面向上存在离心力，即沿n方向的加速度不能忽略，因而 断面上各点的单位势能不等于常数。
四、恒定总流能量方程
如图4-4所示，元流的流量
dQ u1dA 1 u 2 dA 2
则 dt 时段流过元流的液体重量为：
（4.15） (4.16)
dQdt u1dA1dt u2 dA2 dt
p1
2 u12 p2 u 2 z1 z2 hw 因为元流能量方程： 2g 2g 表示元流单位重量液体的能量守恒关系，对元流能量方程两边 都乘上 dQdt 后，可得时段 dt 内，通过元流总的能量守恒关系 2 2 为： p u p u ( z1 1 1 )u1dA1dt ( z 2 2 2 )u 2 dA2 dt hwdQdt 2g 2g （4.17） 总流是由无数元流组成的，对上式在两边水断面A1、A2上 分，便得到时段内通过总流的液体的
• 两边除以 dV ，并移项得
2 u12 2 u2 z1 z2 hw 2g 2g
p1
(4.11)
•
——单位重量不可压缩的实际液体恒定元流能量方程
• 三、渐变流用渐断面压强分布规律
• 1.渐变流与急变流 • 渐变流（缓变流）： • 在实际水流中，若流线之间的夹角很小而近于平行或 流线弯曲的曲率很小，流速在大小和方向上都变化很缓慢， 这种流动称之为缓变流。 • 反之，则称为急变流。 • 2.渐变流过水断面上动水压强的分布规律 • 渐变流和急变流的比较，最大的差别是动水压强分布规律 不同。对渐变流，在缓变流过水断上任一两相邻流线间取 一微分柱体（如图4-4） • 作用在该微小柱体上的力： • 表面力：①柱体两端的动水压强和； • ②与柱体轴n－n垂直的柱体侧面的动水压强； • ③柱体侧面和两端的摩擦力，（垂直于n－n轴）。 • 质量力：只有重力
Ydxdydz
Zdxdydz
处于运动状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡条件是：
例如，对于x方向，则为
F ma
1 p 1 p dx dydz p dx dydz Xdxdydz max p 2 x 2 x du x dxdydz dt
整理上式，并把各项都除以微元平行六面体的质量ρ dxdydz则得
1 p dux X x dt
1 p duy Y y dt
1 p duz Z z dt
§3-5 理想流体微元流束的伯努利方程
一、理想流体微元流束的伯努利方程 1.公式推导
理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下 才能求解。在下列几个假定条件下：
1 p p dx 2 x
1 p p dx 2 x
1 p dx dydz p 2 x
垂直于x轴的左、右两微元面上的总压力分别为：
1 p dx dydz p 2 x
同理，可得到垂直于y轴与z轴的微元面上的总压力分别为：
1 p p 2 y dy dxdz
p
1 p dx dydz p 2 x
图2-4 微元平行六面体x方向的受力分析
p dx 1 2 p dx 1 3 p dx p 2 3 x 2 2 x 2 6 x 2
2
3
略去二阶以上无穷小量后，分别等于知识点链接
即(mV2/2)/(mg)= V2/(2g) 。所以该项的物理意义为单位重量流体具
有的动能。位势能、压强势能和动能之和称为机械能。 因此，伯努利方程可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作
定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的单位重量流体所具
有的位势能、压强势能和动能之和保持不变，即机械能是一常数，但 位势能、压强势能和动能三种能量之间可以相互转换，所以伯努利方 程是能量守恒定律在流体力学中的一种特殊表现形式。
p1 u1 p2 u2 z1 z2 g 2 g g 2 g
p z 常数 g
2
2
(4-7)
在特殊情况下，绝对静止流体u=0，由式(4-7)可以得到静力学基本方程
2. 方程的物理意义和几何意义
为了进一步理解理想流体微元流束的伯努利方程，现来叙述该 方程的物理意义和几何意义。
图 3-10 流场中的微元平行六面体
§4-1 理想流体的运动微分方程
在流动的理想流体中，取出一个微元平行六面体的微团， 它的各边长度分别为dx、dy和dz，如图4-1所示。由于是
理想流体，没有黏性，运动时不产生内摩擦力，所以作用在
流体微团上的外力只有质量力和压强。该压强与静压强一样， 垂直向内，作用在流体微团的表面上。假设六面体形心的坐
图4-3
返回本章首页
• 这块水体的质量：
rdV dm dV g
• 因为体积微小，可以认为１－１ˊ和２－２ˊ各点流速是 均布的，分别为 u 1 u 、 ，则动能的增量为： 2 • 1 rdV 2 2 2 2 dm ( u u ) ( u u 2 1 2 1 ) • (4.8)
假如流体微团沿流线的微小位移ds在三个坐标轴上的
投影为dx、dy和dz。现用dx、dy和dz分别乘以式（4-3） 的第一式、第二式和第三式，则可得到
1 p p p ( Xdx Ydy Zdz) ( dx dy dz) x y z duy dux duz dx dy dz dt dt dt
能量守恒关系为:
2 u12 p2 u 2 ( z1 )u1dA1dt ( z 2 )u 2 dA2 dt hwdQdt 2g 2g
p1
u1 p1 u 2 A1 ( z1 2g )u1dA1dt A2 ( z 2 2g )u2 dA2 dt Q hwdQdt
(1)不可压缩理想流体的定常流动； (2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分；
dx ux dt
dy u y dt dz uz dt
(3)质量力只有重力。
因此式(4-2)可写成
1 p dux X x dt
1 p duy Y y dt
(4-3)
1 p duz Z z dt