12.2周期函数分解为傅里叶级数

Em -Em
0t T 2
T t T 2
f
(t)
4Em
s in(1t )
1 3
s
in(31t
)
1 5
s in(51t )
假设 Em=1， ω1t=π/2，得
1
4
1
1 3
1 5
1 7
取到11次谐波时，结果为0.95;取到13次谐波时，结 果为1.05;取到35次谐波时，结果为0.98,误差为2%
矩形信号f(t)的频谱
叠加定理
三、f(t)的频谱
傅里叶级数虽然详尽而又准确地表达了周期 函数分解的结果，但不很直观。
为了表示一个周期函数分解为傅氏级数后包 含哪些频率分量以及各分量所占“比重”，
用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段， 按频率的高低顺序把它们依次排列起来， 得到的图形称为f(t)的频谱。
1、幅度频谱 各次谐波的振幅用相应线段依次排列。 Akm
第二种形式 f (t) A0 Akm cos(k1t k ) k 1
A0=a0
Akm ak2 bk2
ak=Akmcosψk
bk=- Akmsinψk
k
arctan( bk ak
)
4、傅里叶分解式的数学、电气意义
+ 傅氏分解 u(t) -
+ A0
U1 u(t)
U2 …-
分解后的电源相当于无限个电压源串联 对于电路分析应用的方法是
1、偶函数 f(t)=f(-t) 纵轴对称的性质
f(t)
f(t)
O
t
O
t
1、偶函数 纵轴对称的性质 f(t)=f(-t)
可以证明： bk=0
f (t) a0 [ak cos(k1t) bk sin( k1t)] k 1
展开式中只含有余弦项分量和直流分量
f (t) a0 ak cos(k1t) k 1
bk
4Em
k
f (t) a0 [ak cos(k1t) bk sin( k1t)] k 1
a0 0
ak 0
当k为偶数时： cos(kπ)=1 bk=0
当k为奇数时：
cos(kπ)=-1 bk
4Em
k
代入求得
f
(t)
4Em
s in(1t )
1 3
sin(31t
)
1 5
s in(51t )
O ω1 3ω1
2ω1 4ω1
kω1
2、相位频谱
把各次谐波的初相用相应线段依次排列。
例：求周期性矩形信号的傅里叶级数展开式及其频谱
f(t)
Em
T
2T
t
O π 2π
ω1t
-Em
解：f(t)在第一个周期内的表达式为
T
Em f(t) =
0t 2
-Em
T t T 2
根据公式计算系数
f(t)
Em
T
2T
t
2、奇函数 f(t)=-f(-t) 原点对称的性质
f(t)
O
t
f(t)
O
t
2、奇函数 原点对称的性质 f(t)=-f(-t) 可以证明： a0=0, ak=0
f (t) a0 [ak cos(k1t) bk sin( k1t)] k 1 展开式中只含有正弦项分量
f (t) bk sin( k1t) k 1
图形曲线分析:
f
(t)
4Em
s in(1t )
1 3
s
in(31t
)
1 5
s in(51t )
f(t)
Em
O
ω1t
-Em
取到11次谐波时合成的曲线 f(t)
Em
O
ω1t
-Em
比较两个图可见，谐波项数取得越多，合 成曲线就越接近于原来的波形。
f(t)
Em
T
2T
O π 2π
-Em
t f(t) = ω1t
A0称为周期函数的恒定分量（或直流分量）； A1mcos(ω1t+ψ1)称为1次谐波（或基波分量）， 其周期或频率与原周期函数相同； 其他各项统称为高次谐波， 即2次、3次、4次、……
3、两种形式系数之间的关系
第一种形式 f (t) a0 [ak cos(k1t) bk sin( k1t)] k 1
§12.2 周期函数分解为傅里叶 级数
一、周期函数
f(t)=f(t+kT)
T为周期函数f(t)的周期， k=0，1，2，…… 如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，它就 能展开成一个收敛的傅里叶级数。 电路中的非正弦周期量都能满足这个条件。
二、傅里叶级数的两种形式
1、第一种形式
f (t) a0 [a1 cos(1t) b1 sin(1t)] [a2 cos(21t) b2 sin(21t)] [ak cos(k1t) bk sin(k1t)]
f(t)
O
t
1、只含有余弦分量
f(t)应是偶函数
关于纵轴对称
f(t)
O
t
2、只含有正弦分量
f(t)应是奇函数
关于原点对称
f(t)
O
t
3、只含有奇次谐波分量
f(t)应是奇谐波函数
镜象对称
f(t)
O
t
2
f (t) sin( k1t)dt
1
2
0
f (t)sin(k1t)d(1t)
1
f (t) sin( k1t)d (1t)
2、第二种形式
f (t) A0 A1m cos(1t 1)
A2m cos(21t 2 )
Akm cos(k1t k )
A0 Akm cos(k1t k ) k 1
展开式中只含k 1有奇次谐波分量
f(t)= [a1 cos(1t) b1 sin( 1t)] [a3 cos(31t) b3 sin( 31t)]
判断下面波形的展开式特点 f(t)
O
t
f(t)是奇函数 展开式中只含有正弦分量
f(t)又是奇谐波函数 展开式中只含有奇次谐波
f(t)= b1 sin( 1t) b3 sin( 31t)
4、系数和计时起点的关系
系数Akm与计时起点无关（但ψk是有关的）， 这是因为构成非正弦周期函数的各次谐波的振 幅以及各次谐波对该函数波形的相对位置总是一定的， 并不会因计时起点的变动而变动； 因此，计时起点的变动只能使各次谐波的初相 作相应地改变。 由于系数ak和bk与初相ψk有关，所以它们也随计 时起点的改变而改变。
4、系数和计时起点的关系
由于系数ak和bk与计时起点的选择有关，所以 函数是否为奇函数或偶函数可能与计时起点的选择 有关。
但是，函数是否为奇谐波函数却与计时起点 无关。
因此适当选择计时起点有时会使函数的分解 简化。
例：已知某信号半周期的波形，在下列不同条件下 画出整个周期的波形
1、只含有余弦分量 2、只含有正弦分量 3、只含有奇次谐波分量
3、奇谐波函数: 满足 f(t)=-f(t+T/2),称为奇谐波函数
f(t)=-f(t+T/2),叫做 镜对称的性质 f(t)
t
OT
T
2
3、奇谐波函数 判断:利用镜对称的性质 f(t)= - f(t+T/2)
可以证明： a2k =b2k =0
f (t) a0 [ak cos(k1t) bk sin( k1t)]
a0 [ak cos(k1t) bk sin( k1t)] k 1
式中：K=1，2，3…
系数的计算公式
f (t) a0 [ak cos(k1t) bk sin( k1t)]
k 1
1
a0 T
T 0
f (t)dt 1 T
T
2 T
2
f (t)dt
2
ak T
T 0
f (t) cos(k1t)dt
2
0
f (t)sin(k1t)d (1t)
1 [
0 Em sin(k1t)d (1t)
2
Em sin(k1t)d (1t)]
2Em
0
sin(k1t)d (1t)
2Em
1 k
cos(k1t)0
2Em [1 cos(k )] k
当k为偶数时： cos(kπ)=1 bk=0
当k为奇数时：
cos(kπ)=-1
O π 2π
ω1t
-Em
a0
1 T
T 0
f (t)dt 0
f(t)
Em
T
2T
t
O π 2π
ω1t
-Em
ak
1
2
0
f (t) cos(k1t)d(1t)
1 [
0
Em cos(k1t)d (1t)
2
Em cos(k1t)d (1t)]
2Em
0 cos(k1t)d (1t)
=0
1
bk
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
T
T
2 T
2
f (t) cos(k1t)dt
1
2
0
f (t) cos(k1t)d (1t)
1
f (t) cos(k1t)d (1t)
f (t) a0 [ak cos(k1t) bk sin( k1t)] k 1
bk
2 T
T 0
f (t)sin(k1t)dt
2
T
T
2 T
f
(t)
4Em
s in(1t )
1 3
s in(31t )
1 5
s in(51t )
Akm
O ω1 3ω1 5ω1 7ω1 kω1
3、频谱与非正弦信号特征的关系 波形越接近正弦波， 谐波成分越少； f(t)=10cos(314t+30°)
Akm
O
ω1
kω1
四、非正弦函数波形特征与展开式的系数之 间的关系