校车的最优化安排问题

乘车点 21 21 21 21 15 15 15 15 15
距离（m） 630 230 1080 530 655 625 455 285 340
区 18 19 20 21 22 23 24 25 26
乘车点 15 21 21 21 21 21 21 15 15
6
距离（m） 300 320 180 0 300 270 370 480 380
, C (50, kn )]
找出 n 个最优乘车点以及 n 2,3 时乘车点位置，如下表所示： 乘车点数 n=2 n=3 乘车点位置 27 区、38 区 27 区、32 区、38 区 总体满意度 D 188.7915 275.3579
针对问题 3：首先，根据该问的满意度与问题 2 的满意度成正比，与车辆数成反比， 建立总体满意度函 E D / d 。然后, 结合车辆约束条件，建立教师和工作人员总体满意 度模型
依据模型一，利用 MATLAB 软件(程序见附录中问题一程序)求得结果如下 ①当 n 2 时： 乘车点设立在 18 区和 31 区， 各个区域到各自最近乘车点的最短距离之和为 S=24492 米。 选择 18 区域的有:1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、 18、19、20、21、24、25、26、27、47、49。 选择 31 区域的有:22、23、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、 40、41、42、43、44、45、46、48、50。 在此方案中，各区的最近乘车点选择及到最近乘车点距离如表 1：
四、符号说明
a(i, j )
表示区域 i 到区域 j 的距离 表示区域 i 到区域 j 的最短距离 表示区域之间最短距离矩阵 表示各个区域的人数 各个区域到各自最近乘车点的最短距离之和 总车辆数 表示到 i ， j ， k 乘车点的人数 表示在 i ， j ， k 乘车点的车辆数。 考虑最短距离和乘车人数的满意度 考虑最短距离，乘车人数和车辆数的满意度
区 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
乘车点 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 18 31 18 31
距离 （m ） 370 260 530 570 440 400 540 370 450 550 660 900 874 890 1074 210
结果在模拟图 1 中表示如下：
图1
n=2 时乘车点分布
②当 n 3 时： 乘车点设立在 15 区、21 区和 31 区，各个区域到各自最近乘wk.baidu.com点的最短距离之和 S=19660 米。 在此方案中，各区的最近乘车点选择及到最近乘车点距离如表 2：
表 2 各区到最近乘车点距离
区 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a(i, j )( n )
An ni
S
b
xi ， x j ， xk
yi ， y j ， yk
D E
k1 , , kn
n 个乘车点
共要建的站点数
3
n
五、问题一的建立与求解
5.1 最短路模型 要求建立 n 个乘车点，使各区人员到最近乘车点的距离最小。我们采用了 Floyd 算 法。 5.1.1 Floyd 算法的基本思想 对于任何一个顶点 vk V，顶点 vi 到顶点 v j 的最短路经过顶点 vk 或者不经过顶点 比较 d ij 与 dik + d kj 的值。 若 d ij > dik + d kj ， 则 d ij = dik + d kj ， 保持 d ij 是当前搜索的顶点 vi vk 。 到顶点 v j 的最短距离。重复这一过程，最好当搜索完所有顶点 vk 时， d ij 就是顶点 vi 到 顶点 v j 的最短距离。
区 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
乘车点 18 18 18 18 31 31 18 18 18 18 31 31 31 31 31 31 31
5
距离 （m） 0 204 344 524 710 400 350 180 650 510 450 190 240 0 230 420 630
区 35 36 37 38 39 40 41 42 43
表 1 各区到最近乘车点距离
区 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
乘车点 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18
距离 （m） 1154 754 1114 514 360 480 160 330 530 460 610 750 950 490 300 130 270
二、模型假设
1、每区的人员只遵循最近乘车点乘车原则。 2、两区之间有路直接相连或者通过其他区中转相连。 3、 教师及工作人员到各站点乘车的满意度与到该站点的距离有关系，距离近则满意度 高，距离远则满意度低，当乘车点在本区时最满意，满意度为 1。 4、校车在离开乘车点到新校区途中不再载人。 5、假设所有人员均乘车。 6、乘车点均建在各区内，不考虑区与区之间。 7、在乘车点区内的人员乘车距离为零。 8、假设每辆车只载一次人。
承
诺
书
我们仔细阅读了工程学院数学建模选拔赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道， 抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
a(1,1)( n ) a(2,1)( n ) An (n) a(50,1)
5.2 建立最短路模型
a(1, 2)( n )
a(50, 2)( n )
a(1,50)( n ) a(2,50)( n ) (n) a(50,50)
在上述最短路距离矩阵 An = [a(i, j )( n ) ]nxn 的基础上分析
① 当只有一个乘车点 k1 时，则乘客到乘车点最短距离之和为
S1 =
a(i, k )
i 1 1
50
(n)
（ 1）
其中 a(i, k1 )( n ) 表示区域 i 到区域 k1 的距离 ② 当有两个乘车点 k1 ， k 2 时，则乘客到乘车点最短距离之和为
S 2 = min[a(i, k1 )( n ) , a(i, k2 )( n ) ]
针对问题 2：根据满意度随距离增大而减小的关系，建立满意度函数
C 1/ a(i, j ) n (i, j )
考虑到每个区的乘车人数，并对乘车人数进行归一化处理，建立总体满意度模型
max D(k1 , k2 ...kn ) n1 max[C (1, k1 ) ,
, C (1, kn )] n50 max[C (50, k1 ) ,
2
据表 1，建立各区之间的距离矩阵。我们采用了 Floyd 算法求出了最短路距离矩阵，选 取 n 个乘车点，求出所有 50 个区域到这 n 个乘车点的最短距离，找出各个区域对应的 最优乘车点，所有 50 个区域到他们最优乘车点的最短距离即为所求解，以此建立模型。 根据模型编写程序对设立 2 个和 3 个乘车点时的校车安排问题进行求解。 对于问题二，在考虑每个区的人数时，要使教师和工作人员满意度最大的条件下， 求出最优乘车点， 这就需要建立关于满意度的函数， 分析得到满意度与最短距离成反比， 建立最大总满意度模型。 根据模型编写程序对设立 2 个和 3 个乘车点时的校车安排问题 进行求解。 对于问题三，要求建立 3 个乘车点，考虑安排的车辆数最少同时又要使教师和工作 人员尽量满意，则在问题二总满意度函数的基础上增加车辆因素建立模型，根据模型编 写程序求出最优乘车点位置和乘车数。 对于问题四，实际情况有很多干扰影响满意度和成本，如：天气，节假日，乘客因 故不能上班等问题， 我们结合前三个问题的结果和实际情况对车辆的安排情况提出了建 议。
满意度
1
一、问题重述
许多学校都建有新校区，常常需要将老校区的教师和工作人员用校车送到新校区。 由于每天到新校区的教师和工作人员很多，往往需要安排许多车辆。如何有效的安排车 辆及让教师和工作人员尽量满意是个十分重要的问题。现有如下四个问题需要设计解 决。 假设老校区的教师和工作人员分布在 50 个区， 各区的距离见附录表 1 。 各区人员分 布见附录表 2。 问题 1：如要建立 n 个乘车点，为使各区人员到最近乘车点的距离最小，应将校车 乘车点应建立在哪 n 个点。建立一般模型，并给出 n 2,3 时的结果。 问题 2：若考虑每个区的乘车人数，为使教师和工作人员满意度最大，该将校车乘 车点应建立在哪 n 个点。建立一般模型，并给出 n 2,3 时的结果。 问题 3： 若建立 3 个乘车点，为使教师和工作人员尽量满意，至少需要安排多少辆 车？给出每个乘车点的位置和车辆数。设每辆车最多载客 47 人。 问题 4 ：关于校车安排问题，你还有什么好的建议和考虑。可以提高乘车人员的满 意度，又可节省运行成本。
三、问题分析
本题主要在三种不同情况下，研究校车安排问题。联系实际，学校在安排校车时主 要考虑各区教师和工作人员到最近乘车点的距离及其浮动范围、校车的拥挤程度等因 素。为题设要求，按照对不同因素的重视程度，分别确定不同的校车安排方案。 对于问题一，要求建立 n 个乘车点，使各区人员到最近乘车点的距离最小。首先根
我们参赛选择的题号是（B）： 所属系队： 三系五队 贾跃强 柳 洋
参赛队员 (打印并签名) ： 1. 2. 3.
董文斌
日期：
2011 年 4 月 24 日
工程学院数学建模竞赛指导组
校车的最优化安排问题
摘 要
本文就如何合理安排车辆并让教师和工作人员满意的问题，根据题目的不同要求， 结合图论最短路矩阵并利用 MATLAB 进行建模求解，对校车进行了最优安排。 针对问题 1：利用 Floyd 算法求出了最短路距离矩阵，在此基础上，以各区域到乘 车点的总距离最小为目标函数，对 50 个区域进行遍历分析，建立最短路模型，找出 n 个最优乘车点以及 n=2,3 时乘车点位置，如下表所示： 乘车点数 n=2 n=3 乘车点位置 18 区、31 区 15 区、21 区、31 区 最短距离之和 24492 米 19660 米
a(i, j ) ：表示区域 i 到区域 j 的距离，设区域 i, j 之间有区域 k，如果
a(i, k ) + a(k , j ) < a(i, j ) ,则 a(i, j ) = a(i, k ) + a(k , j ) ，经过这样 n 次简化后得到区域 i, j 之间
最短距离： a(i, j )( n ) 。建立区域之间最短距离矩阵：
, a(i, kn )( n ) ]
（ 3）
所以目标函数： min S n = min[a(i, k1 )( n ) ,
i 1
, a(i, kn )( n ) ]
（4） （5） （6）
s.t.： k1 k2 ...kn
k1 , k2 ...kn (1, 2...50)
5.3 模型求解
i 1
50
（ 2）
其中 min[a(i, k1 )
(n)
, a(i, k2 )( n) ] 表示区域 i 到区域 k1 和 k 2 的距离中较短的距离
4
③ 当有个 n 乘车点 k1 ,
, kn 时，乘客到乘车点最短距离之和为：
50
S n = min[a(i, k1 )( n ) ,
i 1 50
max E D(i, j, k ) / b(i, j, k )
求得满意度最大的情况下的 3 个乘车点车辆使用情况：最少需要 54 辆，最优三个乘车 点 17、22、31 分别需 19，17，18 辆车。 针对问题 4，结合实际情况对校车的安排问题提供了建议。
关键词 ： 校车安排
Floyd 算法
最短路模型