弹性力学预备知识-浙江大学

y C1 y1 C2 y2 Cn yn
例1 求方程 y 4y 4y 0 的通解
解： 特征方程为 r2 4r 4 0
解得
r1 r2 2
故所求通解为 y (C1 C2 x)e2x
例2 求方程 y(5) y(4) 2y(3) 2y y y 0 的通解 解： 特征方程为 r5 r4 2r3 2r2 r 1 0
齐次方程 特征方程
y py qy 0 r 2 pr q 0
特征根的情况
通解的表达式
实根 r1 r2
实根 r1 r2
复根 r1，2 i
y C1er1x C2er2x
y C1er1x xC2er2x
y ex C1 cos x C2 sin x
y f (x) P
o
xx
由 y |x0 0, 得 C 6,
所求曲线为 y 3(2ex x2 2x 2).
§3－3 高阶常系数线性微分方程
一、定义
n 阶常系数线性微分方程的标准形式
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
三、 一阶线性微分方程
1、一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0, 当Q( x) 0,
2、一阶线性微分方程的解法
1） 线性齐次方程
dy P( x) y 0. dx
齐次方程 非齐次方程
(使用分离变量法)
dy P( x)dx, y

0的解.
并求满足初始条件 x
t0

A,
dx dt
t0

0的特解.
解

dx dt

kC1
sin kt

kC2
cos kt,
d2 dt
x
2

k
2C1
cos
kt

k
2C2
sin
kt ,
将
d2 dt
x
2
和x的表达式代入原方程,
k 2(C1 cos kt C2 sin kt) k 2(C1 cos kt C2 sin kt) 0.
故 x C1 cos kt C2 sin kt 是原方程的解.
x A, t0
dx 0, dt t0
C1 A,
所求特解为 x Acos kt.
C2 0.
§1－2 一阶常微分方程的解法
一、可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f (x)dx 的方程为可分离变量的微分方程.
(3) 若是特征方程的重根,即 2 p q 0, 2 p 0
可设 Q(x) x2Qm (x), 则 y* x2Qm (x)ex
0
综上讨论可设 y* xkexQm (x) , k 1
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐 2
不是根 是单根 是重根
二阶常系数线性方程的标准形式
y py qy 0 (齐次) y py qy f ( x) (非齐次)
二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法
设 y erx , 将其代入上述齐次方程, 得
(r 2 pr q)erx 0 Q erx 0， r 2 pr q 0

dy y


P(
x)dx,
ln y P( x)dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
2）线性非齐次方程
dy P( x) y Q( x). dx
讨论

dy y

Q( x) y

P(
x ) dx ,
两边积分
ln
y


Q( x)dx y
新未知函数 u( x) 原未知函数 y( x),
作变换 y u( x)e P( x)dx
y u( x)e P( x)dx u( x)[ P( x)]e , P( x)dx 将y和y代入原方程得u( x)e P( x)dx Q( x),
积分得 u( x) Q( x)e P( x)dxdx C ,
第一章 数学预备知识
§1-1 微分方程的一般概念 §1-2 一阶常微分方程的基本解解法 §1-3 高阶线性常微分方程解法 §1-4 变分法的基本概念 §1-5 矩阵代数的基础知识 §1-6 函数的级数展开
§1－1 微分方程的一般概念
一、微分方程的定义及分类
凡含有未知函数的导数（偏导数）或微分的方程叫微分方程.是联系
(a)有两个相等的实根 ( p2 4q 0)
特征根为百度文库
r1

r2


p 2
,
一特解为
y1 er1x
另一特解设为 y2 u(x)er1x 代入原方程可求得
u 0, 取 u(x) x ,则 y2 xer1x
得齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)er1x
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
通解结构 y Y y* （Y 齐次方程通解，y-非齐次方程特解）
讨论：f (x) exPm (x), （其中Pm (x)为多项式）型的特解
设非齐方程特解为 y* Q(x)ex 代入原方程
Q(x) (2 p)Q(x) (2 p q)Q(x) Pm x
若是 k 重共轭 [(C0 C1x Ck1xk1)cosx
复根 i
(D0 D1 x Dk1 xk1 )sinx]ex
结论: 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的 方法称为特征方程法。n 次代数方程有 n 个根, 而特征方程 的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常 数.

1
y5

2 x3
C
3
二、齐次方程
1.定义： 形如 dy f ( y)
dx x
的微分方程称为齐次方程.
2.解法 作变量代换
dy u x du ,
dx
dx
u y , 即 y xu,
x 代入原式 u x du f (u),
dx
即 du f (u) u . 可分离变量的方程
例如 解法
dy

4
2x2 y5
dx

4
y 5dy

2x2dx
设函数 g( y)和 f ( x)是连续的,
g( y)dy f ( x)dx 分离变量法
设函数G( y)和F ( x)是依次为 g( y)和 f ( x)的原函数,
G( y) F ( x) C 为微分方程的解。上例方程的解为
从而得到特征值
r1,2 p
p2 4q , 2
特征方程
讨论:
(a)有两个不相等的实根 ( p2 4q 0)
特征根为
r1 p
p2 4q , 2
r2 p
p2 4q , 2
两个线性无关的特解 y1 er1x , y2 er2x ,
齐次方程的通解为 y C1er1x C2er2x
常微分方程组
二、微分方程的求解
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之微分方程的
解. 设 y (x) 在区间 I 上有 n 阶导数，使得 F[x,(x),(x),L ,(n) (x)] 0
则称 y (x) 为方程 F(x, y, y,L , y(n) ) 0. 的解
微分方程的解概念
自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式。微分 方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之微分方程的阶,
根据组成方程的未知函数个数,微分的性质,幂次等,可分为常微分方 程、偏常微分方程、线性与非线性微分方程以及微分方程组，等等
y xy , y P(x) y Q(x) 一阶常微分方程
三、n阶常系数齐次线性方程解法
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y 0 特征方程为 r n P1r n1 Pn1r Pn 0
特征方程的根
通解中的对应项
若是 k 重根 r
(C0 C1 x Ck1 xk1 )erx
(1) 若不是特征方程的根 2 p q 0
可设 Q(x) Qm (x) (m次多项式）,则 y* Qm (x)ex
(2) 若λ是特征方程的单根
2 p q 0, 2 p 0
可设 Q(x) xQm (x), 则 y* xQm (x)ex ;
dx
x
当 f (u) u 0时,得
du
f u u ln C1x ,
即 x Ceu
其中(u)
du
， 将u

y
代入，可得通解x


Ce

y x

f (u) u
x
当存在u0,使 f (u0 ) u0 0，则u u0是新方程的解，
代回原方程 , 得齐次方程的解为 y u0x。
y 2y 3y ex
二阶常系数非其次微分方程.
x( y)2 2yy x 0
一阶非线性常微分方程.
y(n) f (x, y, y,L , y(n1) )
n阶常微分方程.
z x y x
偏微分方程.
y 3y 2z z 2 y z
y x3 ( x 0) 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面
积, 求曲线 f ( x).
解:
x
f ( x)dx
( x3 y)2 ,
0
x ydx x3 y,
0
两边求导得 y y 3x2 ,
解此微分方程
y
y x3
Q
y e dx C 3x2e dxdx Cex 3x2 6x 6,
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数 的个数与微分方程的阶数相同.
例 y y, 通解 y cex
y y 0 通解 y c1 sin x c2 cos x
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解。
（3）解的图象: 微分方程的积分曲线(族)
（4）初始条件: 用来确定任意常数的条 （5）初值问题: 求微件分方程满足初始条件的解的问题


P( x)dx,
设
Q( x)dx为v( x), y
ln
y

v(x)

P( x)dx,
即 y e v( x)e P( x)dx . 非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比 C u(x) evx
常数变易法
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.
实质: 未知函数的变量代换.
Y c1 c2ex y x(ax2 bx c)
一阶:
y f (x, y)

y
x
x0

y0
过定点的积分曲线;
二阶:
y f ( x, y, y)

y
x
x0

y0 ,
yx x0

y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。
例：
验证:函数
x

C1
cos
kt

C2
sin
kt
是微分方程d 2 dt
x
2

k
2
x
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx
对应齐次
非齐次方程特解
方程通解
例: 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲线 y f ( x) 与
(r 1)(r2 1)2 0 特征根为 r1 1, r2 r3 j, r4 r5 j
故所求通解为
y C1ex (C2 C3x) cos x (C4 C5x) sin x
四、二阶常系数非齐次线性微分方程
非齐次线性方程 y py qy f (x) 对应齐次方程 y py qy 0
次线性微分方程（k是重根次数）
特别地 y py qy Aex


2

A
p

q
ex
,
y*



A xex
2 p

A x2ex 2
不是特征方程的根 是特征方程的单根 是特征方程的重根
例 求微分方程 y y x2的通解。
解：r 2 r 0 r 0,r 1