非局部平面应变和平面应力问题界定及其精确性讨论

y
∃ xy l +
2
m = p y - ay
+
V
( | x - x | , !)
y
x
( x , y , z ) dx dy dz
ax , ay 表示 非局 部表 面残 余. 其 中 | x - x | = ( x - x ) + ( y - y ) . 可发现非局部平面应变状态与 局部情况类似, 控制方程简化为一组精确的二维方程. 1. 2 平面应力状态 在非局部弹性理论中 , 物体中各点对所受外力 的响应表现为非局部形式 , 因此平面应力状态定义 如下: 与 z 方向有关的非局部正应力及剪应力分量 t z = txz = tyz = 0 , 且其余分量 tx , ty , txy 仅与 x , y 相 关而与坐标 z 无关 . 控制方程如下: ( 1 ) 平衡方程: tx txy + + X = 0, x y txy ty + + Y= 0 x y
[ 7] [ 5, 6]
以按其几何特点进行简化, 即对于空间某固定方向 z , 弹性体中各量将简化为不随 z 坐标变化, 这时定 义域视为平面的 , 在数学上按二维问题处理. 具有这 类特点的弹性问题, 称为平面问题[ 1] , 包括平面应变 和平面应力两种 . 前者指应变状态及相应位移矢量 是平面的, 而应力状态是三维的, 但所有分量作为标 量函数均与 z 无关, 故为精确的二维问题 . 后者则指 应力状态是平面的, 由于相应的应变和位移仍是三 维场量, 且各分量并不都与 z 无关 , 只能简化为近似 的二维问题 . 经典弹性平面理论大为简化了解决问 题的途径, 在工程应用中发挥了重要的作用, 但对于 一些宏微观关联的问题, 如平面裂纹尖端应力分布 , 位错与夹杂 , 平面波散射等, 在经典理论框架下处理 始终无法得到令人满意的结果 . 因此, 一些新的思想 和方法被相继提出并用于解决平面弹性问题, 非局 部弹性理论便是其中之一 . 非局部理论是上世纪六十年代末逐渐发展起来 的一种广义化的连续介质理论 . 它摒弃了经典连续 介质力学中的局部化假设 [ 2] , 认为物体内某一点的 物理性质与其它各点的状态均有关 , 即材料内部微 观结构间长程相互作用不可忽略 , 具体表现在本构
非局部两类平面问题的控制方程
平面应变状态 在此状态下 , 弹性体内与某方向 z 有关的位移 也为零, 且其余位
txy = ∃ xy +
( | x - x | , ! ) ∃xy ( x , y ) d x d y
∃ xy = 2 # % xy ( 5)
x
分量 w 为零 , 则 z 方向正应变 ( 1) 平衡方程 : tx txy + + X = 0, x y ( 2) 本构方程 : tx =
*
,
寻找非局部核函数的合理表示形式 , 非局部应力 及其边界条件的 表述[ 8, 9] 等 . 经过几十 年的探索研 究 , 非局部弹性力学业已形成比较完善的体系, 用于 解决宏微观相联的平面弹性问题可以得到令人满意 的结果 . 尽管如此 , 非局部弹性理论仍存在一些基本 问题尚待澄清或解决 , 一个典型的例子就是如何在 非局部弹性理论框架下对平面问题分类 , 即分别对 平面应变和平面应力状态重新定义, 推导其在各自 基本假设下的控制方程 , 并讨论在非局部状态下两 类问题中解的精确性 . 而这样一个基本的理论问题 却一直很少有研究涉及 . 考虑到非局部理论自身具 有的一系列特征, 两类平面状态的若干性质与经典
z
边界条件和平面应变状态下相同 . 其中 | x- x | = ( x - x ) 2+ ( y - y ) 2+ ( z - z ) 2
z
V
( | x - x | , !) z ( x , y , z ) d x d y d z = 0 = ∀ (
x
+
y
+
z
) + 2# z ( 8d)
可以看出, 由于非局部核函数的作用 , 非局部平面应 力状态下的控制方程要考虑 z 方向的影响 .
( 1 ) 第三式可得 与 z 无关. ∀ , # 为拉梅常数. 由假 设可知所有非局部应力、 局部应力、 应变及位移分量 均仅与 x , y 相关, 故各控制方程简化为 : tx txy + + X = 0, x y tx =
x x
txy ty + + Y= 0 x y
x
( 4)
+
V x
( | x - x | , !) +
2
= ∀ ( x+
y
) + 2# x
ty =
y
+
V
( | x - x | , !) y ( x , y , z ) dx dy dz
y
= ∀ ( x+
z
) + 2# y
tz =
z
+
V x
( | x - x | , ! ) z ( x , y , z ) dx dy dz +
V y
= ∀ (
)
txy = ∃ xy +
摘
要
在非局部弹性理论框架下对平面应变和平 面应力 状态重新 界定 . 首先 , 分别 在其相 应简化 假设下 推
导控制方 程 , 并与经典局部情况进行比较 . 然后 , 引入 变形协 调条件对 两类非 局部平 面问题 的精确 性进行 讨论 . 其 中 , 对于非局部平面应力状态 , 通过应变 协调方 程的 Fo ur ier 变 换形 式来进 行研 究 , 使问题 得以 简化 . 通过 以上 分 析 , 最终得到一些有价值的结论 . 关键词 非局部弹性 , 平面应变 , 平面应力 , F ourier 变换
x x
z
=
移分量 u, v 仅与 x , y 有关 . 此时的控制方程为: txy ty + + Y= 0, x y tz = 0 ( 1) z
u , x
y
=
v , y u= u v= v
x源自文库
% xy =
1 2
u v + y x
( 6)
边界条件: 在位移边界上 : 在应力边界上 :
l+ ∃ xy m = p x - a x
y
= ∀ (
+
y
+
z
) + 2#y ( 8b )
∃ xy = 2 # % xy ( 17)
x
txy = ∃ xy +
v
( | x - x | , ! ) ∃xy ( x , y , z ) d x d y d z ( 8c)
= u, x
y
=
v, y
1 % xy = 2
u+ v y x
( 18)
∃ xy = 2 # % xy +
式( 1 ) ( 3 ) 中 tx , t y , t z , 表示 x , y , z 方向的三个非局 部正应力分量, txy 表示平行于 x y 平面的非局部剪 应力分量 ,
y x
,
y
,
z
,∃ xy 为相应的局部应力分量 ,
x
,
xy 为相应的应变分量 . X , Y 为 x , y 方向的体力 ,%
第 31 卷 第 4 期 2010 年 8 月
固体力学学报 CH INESE JOU RNAL OF SOLID M ECH AN ICS
Vol. 31 N o. 4 August 2010
非局部平面应变和平面应力问题 界定及其精确性讨论
*
姚
寅
**
黄再兴
( 南京航空航天大学结构强度研究所 , 南京 , 210016)
( | x - x | , !) ∃ xy ( x , y , z ) dx dy dz
∃ xy = 2# % xy ( 2) ( 3) 几何方程 :
x
( 7)
=
u , x
y
=
v , y
% xy =
1 2
u v + y x
( 3)
( 2 ) 本构方程: 在局部状态下 , 通常通过限制 z 向的尺寸来保证各局部应力及应变分量与厚度方向 的影响无关, 使其为一个近似的二维问题, 但对于非 局部情况, 物体内部微观结构间 z 方向长程相互作 用将通过非局部核函数表现出来, 可以证明此时由 于非局部核函数的影响, 除非局部应力分量 tx , ty , txy 外 , 其它所有不为零的局部应力、 应变、 位移分量
y
( x , y ) dx dy
= ∀ (
y
) + 2# x
y
ty =
y
+
V x
( | x - x | , !) +
y
( x , y ) d x dy
= ∀ (
z
) + 2# y
tz =
z
+
V x
( | x - x | , !) z ( x , y ) d x d y +
V y
= ∀ (
)
1
1. 1
∃ yz +
V
( | x - x | , !) ∃ yz ( x , y , z ) dx dy dz = 0 ( 8e )
2
局部平面问题精确性的讨论
由于两类非局部平面问题均引入了一定的简化假
∃ yz = 2 # % yz ∃ zx + ( | x - x | , ! ) ∃zx ( x , y , z ) dx dy dz = 0 设, 有必要对其解的精确性进行讨论. 首先, 在非局部 平面应变状态下, 由于 z 向位移为零, 且平面内各位移 和应变分量均与 z 无关, 可知应变协调方程仅有:
分量 . 为非局部核函数, ! 表示内部特征长度, 由式
! 334 ! 均必与 z 有关, 表现为三维场量. 则本构方程为: tx =
x x
固体力学学报
2010 年第 31 卷
ty=
y
+
y
V
( | x - x | , !)
y
y
( x , y , z ) d x dy d z
+
V
( | x - x | , !)
方程中通过非局部核函数引入物体内部长程相互作
0
引言
众所周知, 在经典弹性理论中 , 一些实际问题可
用和尺度效应
[ 3, 4]
, 由整体描述替代了局域描述, 表
现为一个卷积型的积分式 . 由于非局部理论强调了 物体微观结构对宏观性质的影响, 使其在研究某些 具有原子尺度的问题时具有经典局部理论无可比拟 的优越性. 上世纪七、 八十年代 , Edelen 和 Eringen[ 2, 3] 建 立了非局部弹性理论 , 完整推导了非局部线弹性状 态下的控制方程, 并将其用于二维裂纹, 平面波传播 等经典弹性理论难以处理的平面问题 , 取得了一系 列有价值的成果. 在此基础上 , At kinson 、 Alt an、P i cut 和 H uang 等研究者相继进行了大量深入细致的 工作, 如讨论非局部线弹性边值问题的适定性
x
x
( x , y , z ) dx dy dz ( 8a )
= ∀ ( +
+
y
+
z
) + 2#x ( x , y , z ) dx dy d z
# ( x+ = 2∀ ∀ + 2#
V
) + 2# y ( 16)
ty =
y
y
V
( | x - x | , !)
x
txy = ∃ xy +
( | x - x | , !) ∃xy ( x , y , z ) d x d y d z
! 333 !
局部情况相比将有一定的变化 , 因此就有必要对其 进行详细的讨论 . 本文在非局部弹性理论框架下对平面应变和平 面应力状态重新定义. 首先在两类平面问题的基本 假设下分别推导其各自的控制方程 , 并与经典局部 情况进行对比. 然后引入变形协调条件讨论非局部 平面应变和平面应力问题解的精确性. 其中在平面 应力状态下, 通过应变 协调方程的 Fo urier 变换 形 式对问题进行分析, 从而证明此时解与前提简化假 设不相容, 其精确性无法保证 , 且准确程度取决于非 局部核函数形式的选择. 通过上述分析, 最后得到一 些有价值的结论 .
国家自然科学基金项目 ( 10472135) 资助 . 2009 05 11 收到第 1 稿 , 2009 11 25 收到修改稿 . 通讯作者 . T el: 025 84896453, E m ail: yaoyin104@ yahoo. com. cn.
**
第4期
姚
寅等 :
非局部平面 应变和平面应力问题界定及其精确性讨论
xx, yy
V
∃ zx = 2 # % zx ( 8f) v w z= , ( 9) y z 1 u+ v % xy = 2 y x 1 w v % yz = + ( 10) 2 y z 1 u w % zx = + 2 z x 式中 z , % xz , % yz 表示与 z 方向相关的正应变及剪应 变分量. 对式( 8d ) , ( 8e) , ( 8f ) 的第一式利用拉氏变 换可证明: ∀ ( x+ y) z = 0, z= ( 11) ∀ + 2# ∃ yz = 0, % yz = 0 ( 12) ∃ zx = 0, % zx = 0 ( 13) 控制方程简化为 : tx txy txy ty + + X = 0, + + Y = 0 ( 14) x y x y