ch4polya定理1(组合数学)
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17
1. 群的概念
• 前两例群元素的个数是有限的，所以是有 限群；后一例群元素的个数是无限的，所 以是无限群。 • 有限群G的元素个数叫做群的阶,记做|G|。 • 若群G的任意二元素a,b恒满足ab=ba。责 称G为交换群，或Abel群。 • 设G是群,H是G的子集,若H在G原有的运算 之下也是一个群,则称为G的一个子群。
2
引论
考虑下面的计数问题：把一个22的方格棋盘用 绿或白两色涂色，如果棋盘可以随意转动，问 有多少种不同的涂色方案？
1
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3
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3
引论
且看上图，若棋盘固定不 动，每个方格 都可以涂上绿或白色，有两种选择，根 据乘法法则，共有2⁴=16种不同的涂色方 案。但当棋盘可转动时，其中的一些方 案可以变成另一些方案。如方案3逆时针 旋转90º 即得方案4。同样，方案也可以 变成方案5和6，于是我们说方案3，4， 5，6是同一类方案。为真正求出不同的 方案数。我们需要新的工具。
7
1. 群的概念
拉格朗日(Lagrange)在1770年猜测: 这样的求根公式不存在. 1824年, 挪威数学家阿贝尔(Abel)证明了拉格朗日的 看法. 但是虽然没有通用公式, 有些特殊的五 次方程有求 根公式, 那么自然会问: 如何判定一个给定的五次方 程是否有这样的求根公式? 阿贝尔去世(1829年, 26岁)前一直在竭尽全力地研究 这个问题.
20
2
置换群
置换群是最重要的有限群，所有的有限群都可以 用之表示。
置换：[1,n]到自身的1-1变换:[1,n][1,n],
p: i ai=i
p
,
(aiaj, i j)
于是, a1 a2… an是[1,n] 的一个全排列。称此
置换为n阶置换，它 可如下表示
1 2 ... n p a1 a 2 ... a n
n阶置换共有n!个，n阶置换又可看作[1,n]上的 一元运算，一元函数。
21
2 置换群
置换的乘法运算
先看一个例子，设
1 2 p1 3 1 3 2 4 1 , p2 4 4 2 3 3 2 4 1
定义
1 p1p 2 3 1 = 3
2 3 4 1 1 2 4 4 2 3 4 3 1 2 4 2
2 3 4 3 2 1 1 2 4 4 3 1
1 2 3 4 2 4 3 1
22
2 置换群
这表示先作p1的置换，再作p2的置换：
1 3 2, 2 1 4,
p1 p2 p1 p2
1 2 3 4 p1p 2 2 4 3 1 类似的有 1 2 3 4 1 2 3 4 p 2 p1 4 3 2 1 3 1 2 4 1 2 3 4 4 3 2 1 1 2 3 4 = 4 3 2 1 4 2 1 3 4 2 1 3 23
15岁参加声望很高的巴黎高等工科大学的入学考试 时, 伽罗华失败了, 不得不进入较普通的师范学校. 就是在这所学校, 伽罗华写出了他的第一篇关于连 分数的数学论文, 显示了他的能力. 他的下两篇关于多项式方程的论文遭到法国科学院 的拒绝. 更遭的是, 两篇论文手稿还莫名其妙地被 丢失了.
10
1. 群的概念
15
1. 群的概念
群的定义
给定一个集合G={a,b,c,…}和集合G上的二元运 算•，满足如下条件： (i) 封闭性：若a,bG,则存在c G使得a • b=c (ii)结合律：(a •b) •c=a •(b •c) (iii)存在单位元: G中存在一个元素e,使得对于G的 任意元素a,恒有 a •e=e •a=a (iv)存在逆元:对G的任意元素a,恒有一个bG,使得 a •b=b • a=e , 元素b称为元素a的逆元，记为 a 1 则称集合G在运算•之下是一个群，或称G是一个群。
13
1. 群的概念
7月4日, 他终于打听到他给科学院的那篇论文的命 运: 因“无法理解”而遭拒绝. 审稿人是著名的数学家泊松(Poisson). 7月14日他又遭逮捕并被判了六个月监禁, 因为他在 公共场所身着已被解散的国民卫队的制服. 在获释不久, 他陷入了与斯特凡妮小姐的恋情. 这导 致了他的早亡. 这次恋爱事件不知何故引出了一 场决斗.
令P={Pi|ai∈G},则P≈G
1 1映射 Pi a i
27
2 置换群
1
例
等边三角形的运动群。 绕中心转动120，不动， 绕对称轴翻转。
2
3
1 p1 1 1 p4 1
1829年7月, 他在巴黎高等工科大学的入学考试中再次 失败.怀着沮丧之情, 伽罗华于1830年初又向科学院 提交了另一篇论文, 这次是为竞争一项数学大奖. 科学院秘书傅立叶(Fourier)将其手稿 拿回家去审 读, 不料在写出评审报告前去世了, 此文再也没有找到.
11
1. 群的概念
三失手稿, 加之考巴黎高等工科大学两度失败, 伽罗 华遂对科学界产生排斥情绪, 变成了学生激进分 子, 被学校开除. 担任私人辅导教师谋生, 但他的数学研 究工作依然相当活跃. 在这一时期写出了最著名的 论文“关于方程可根式求解的条件”, 并于1831 年1月送交科学院. 到3月, 科学院方面仍杳无音讯, 于是他写信给院长 打听他的文章的下落, 结果又如石沉大海.
Ch4 Polya计数定理
1，群的定义与基本性质 2，置换群 3，循环、奇循环与偶循环 4，Burnside引理 5，Polya定理 6，带权形式与母函数形式的Polya定理 7，Polya定理的推广和应用
1
引论
在组合计数问题中经常碰到两大困难: (1) 找出问题通解表达式的困难.这个困难通过引 入生成函数能够克服. (2) 区分所讨论的问题类型的困难,即哪些问题是 相同的,哪些是不同的.解决这个困难,就能在计数 过程中避免重复或遗漏.
24
2 置换群
于是我们定义乘法如下：
1 2 ... n p1 , a1 a 2 ... a n 1 2 ... n a1 a 2 ... a n p2 b1 b 2 ... b n ba1 b a 2 ... b a n 1 2 ... n a1 a 2 ... a n p1p 2 b b ... b a2 an a1 a 2 ... a n a1 2 ... n 1 = b b ... b a2 an a1
19
1. 群的概念
(e) 若G有限，a∈G，则存在最小正整数r， r-1 -1 r 使得a = e.且a = a . g g+1 2 证 设|G|=g,则a,a ,…,a ,a ∈G,由鸽巢原理 m l 其中必有相同项。设a =a ,1≤m＜l≤g+1, r r-1 e=a l-m,1≤l-m≤g，令l-m=r.则有a =a a=e.即a -1 r-1 r =a .既然有正整数r使得a =e,其中必有最小 者，不妨仍设为r. r称为a的阶。易见 r-1 r 2 H={a,a ,…a ,a =e}在原有运算下也是一个 群。
18
1. 群的概念
基本性质 (a)单位元唯一 e1e2=e2=e1 (b)消去律成立 ab=ac → b=c, ba=ca → b=c -1 -1 (c)每个元的逆元唯一 aa =a a = e, ab = ba = e , aa-1 = ab , a-1 = b -1 -1 -1 -1 (d)(ab….c) =c …b a . -1 -1 -1 c …b a ab…c = e
26
2 置换群
我们称此群为置换群，记为Sn,称为n个文字的对称群。
任一n阶有限群同构于一个n个文字的置换群。
设G={a1,a2,…,an}，指定G中任一元ai, 任意aj∈G， Pi：aj → aj ai ，则Pi是G上的一个置换。
a1 a 2 ... a n pi a1a i a 2 a i ... a n a i
6
1. 群的概念
1545年, 卡尔达塔(Cardano)在他的《大术》(Ars Magna)一书中公开发表了丰塔那的方法. 这部书还 讲述了费拉里( Ferrari)求解四次方程的方法. 但事情的发展似乎突然停了下来. 虽然有很多数学家 作出了努力, 其中包括18世纪中叶伟大的瑞士数学家 欧拉(Euler), 但没有一个人能找出五次方程的求根 公式.
故
p1 p2 p1 p2 3 2 3, 4 4 1.
2 置换群
可见
评注：
p1p2 p2 p1
i p1p2 (i p1 )p2 1 2 ... n i1 p a1 a 2 ... a n a i1
i2 a i2
... i n ... a in
25
2 置换群
可以证明，[1,n]上所有的置换按上述乘法构成一个 群。即满足 1）封闭性 2）结合律 3）有单位元 4）有逆元
1
1 2 ... n p , a1 a 2 ... a n
1
1 2 ... n a1 a 2 ... a n p a a ... a 1 2 ... n n 1 2
16
1. 群的概念
由于结合律成立，(a· b)· c=a· (b· c)可记做 a· b · c. a1,a2,…,an的乘积，结合律成立. 例 对于 a· a·…·a=a n (共n个a相乘) 例 G={1,-1}在普通乘法下是群。 例 G={0,1,2,…,n-1}在mod n的加法下是群
例 二维欧式空间中的刚体旋转变换集合 T= {T }构成群，其中 x 1 cos T : y 1 sin sin x cos y
12
1. 群的概念
他放弃了一切希望, 参加了国民卫队. 在那里和 他在数学界一样运气不佳. 他刚加入不久, 卫 队即遭控告阴谋造反而被解散. 在1831年5月10日进行的一次抗议聚宴上, 伽罗 华手中举着出鞘的刀提议为国王干杯, 这一手 势被同伙们解释成是要国王的命；第2天他就 被捕了. 后来被判无罪, 并于6月15日获释.
8源自文库
1. 群的概念
在这一时期, 碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这 个问题, 而且最终取得了成功, 他就是伽罗华(Galois). 可是这位年轻人获得的非凡成果, 在他因决斗去世11 年后才开始得到数学界的承认. 伽罗华1811年10月降生于巴黎近郊. 14岁那年因考试不及格而重上三年级.
9
1. 群的概念
14
1. 群的概念
1832年5月29日, 决斗的前夜, 伽罗华写了封很长的信 给他的朋友舍瓦利耶(A.Chevalier), 其中大致描述 了他的数学理论, 从而给数学界留下了唯一一份它 将蒙受何等损失的提要. 在第二天的决斗中(离25步远用手枪射击), 伽罗华的 胃部中弹, 24小时后去世. 享年不足21岁. 伽罗华留给世界的最核心的概念是(置换)群, 他成了 群论的创始人.
4
1. 群的概念
群论是现代数学非常重要的分支, 群论产生的开 端非常平凡, 但是群论的创立者却充满了传奇.
我们熟知的公式 是二次方程
2
b b 2 4ac x 2a
ax bx c 0
的求根公式.
5
1. 群的概念
人们试图对次数更高的方程得到类似的求解公式. 公元前1600年的巴比伦数学家已知道如何解二 次方程, 尽管他们没有使用我们现在的代数符号 去表达方程及其解. 形如 ax3+bx2+cx+d=0的三次方程的求根公式直至 16世纪才被发现.它是由意大利数学家费罗(Ferro) 和丰塔那(Fontana) 彼此独立得到的.
1. 群的概念
• 前两例群元素的个数是有限的，所以是有 限群；后一例群元素的个数是无限的，所 以是无限群。 • 有限群G的元素个数叫做群的阶,记做|G|。 • 若群G的任意二元素a,b恒满足ab=ba。责 称G为交换群，或Abel群。 • 设G是群,H是G的子集,若H在G原有的运算 之下也是一个群,则称为G的一个子群。
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引论
考虑下面的计数问题：把一个22的方格棋盘用 绿或白两色涂色，如果棋盘可以随意转动，问 有多少种不同的涂色方案？
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引论
且看上图，若棋盘固定不 动，每个方格 都可以涂上绿或白色，有两种选择，根 据乘法法则，共有2⁴=16种不同的涂色方 案。但当棋盘可转动时，其中的一些方 案可以变成另一些方案。如方案3逆时针 旋转90º 即得方案4。同样，方案也可以 变成方案5和6，于是我们说方案3，4， 5，6是同一类方案。为真正求出不同的 方案数。我们需要新的工具。
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1. 群的概念
拉格朗日(Lagrange)在1770年猜测: 这样的求根公式不存在. 1824年, 挪威数学家阿贝尔(Abel)证明了拉格朗日的 看法. 但是虽然没有通用公式, 有些特殊的五 次方程有求 根公式, 那么自然会问: 如何判定一个给定的五次方 程是否有这样的求根公式? 阿贝尔去世(1829年, 26岁)前一直在竭尽全力地研究 这个问题.
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置换群
置换群是最重要的有限群，所有的有限群都可以 用之表示。
置换：[1,n]到自身的1-1变换:[1,n][1,n],
p: i ai=i
p
,
(aiaj, i j)
于是, a1 a2… an是[1,n] 的一个全排列。称此
置换为n阶置换，它 可如下表示
1 2 ... n p a1 a 2 ... a n
n阶置换共有n!个，n阶置换又可看作[1,n]上的 一元运算，一元函数。
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2 置换群
置换的乘法运算
先看一个例子，设
1 2 p1 3 1 3 2 4 1 , p2 4 4 2 3 3 2 4 1
定义
1 p1p 2 3 1 = 3
2 3 4 1 1 2 4 4 2 3 4 3 1 2 4 2
2 3 4 3 2 1 1 2 4 4 3 1
1 2 3 4 2 4 3 1
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2 置换群
这表示先作p1的置换，再作p2的置换：
1 3 2, 2 1 4,
p1 p2 p1 p2
1 2 3 4 p1p 2 2 4 3 1 类似的有 1 2 3 4 1 2 3 4 p 2 p1 4 3 2 1 3 1 2 4 1 2 3 4 4 3 2 1 1 2 3 4 = 4 3 2 1 4 2 1 3 4 2 1 3 23
15岁参加声望很高的巴黎高等工科大学的入学考试 时, 伽罗华失败了, 不得不进入较普通的师范学校. 就是在这所学校, 伽罗华写出了他的第一篇关于连 分数的数学论文, 显示了他的能力. 他的下两篇关于多项式方程的论文遭到法国科学院 的拒绝. 更遭的是, 两篇论文手稿还莫名其妙地被 丢失了.
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1. 群的概念
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1. 群的概念
群的定义
给定一个集合G={a,b,c,…}和集合G上的二元运 算•，满足如下条件： (i) 封闭性：若a,bG,则存在c G使得a • b=c (ii)结合律：(a •b) •c=a •(b •c) (iii)存在单位元: G中存在一个元素e,使得对于G的 任意元素a,恒有 a •e=e •a=a (iv)存在逆元:对G的任意元素a,恒有一个bG,使得 a •b=b • a=e , 元素b称为元素a的逆元，记为 a 1 则称集合G在运算•之下是一个群，或称G是一个群。
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1. 群的概念
7月4日, 他终于打听到他给科学院的那篇论文的命 运: 因“无法理解”而遭拒绝. 审稿人是著名的数学家泊松(Poisson). 7月14日他又遭逮捕并被判了六个月监禁, 因为他在 公共场所身着已被解散的国民卫队的制服. 在获释不久, 他陷入了与斯特凡妮小姐的恋情. 这导 致了他的早亡. 这次恋爱事件不知何故引出了一 场决斗.
令P={Pi|ai∈G},则P≈G
1 1映射 Pi a i
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2 置换群
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例
等边三角形的运动群。 绕中心转动120，不动， 绕对称轴翻转。
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1 p1 1 1 p4 1
1829年7月, 他在巴黎高等工科大学的入学考试中再次 失败.怀着沮丧之情, 伽罗华于1830年初又向科学院 提交了另一篇论文, 这次是为竞争一项数学大奖. 科学院秘书傅立叶(Fourier)将其手稿 拿回家去审 读, 不料在写出评审报告前去世了, 此文再也没有找到.
11
1. 群的概念
三失手稿, 加之考巴黎高等工科大学两度失败, 伽罗 华遂对科学界产生排斥情绪, 变成了学生激进分 子, 被学校开除. 担任私人辅导教师谋生, 但他的数学研 究工作依然相当活跃. 在这一时期写出了最著名的 论文“关于方程可根式求解的条件”, 并于1831 年1月送交科学院. 到3月, 科学院方面仍杳无音讯, 于是他写信给院长 打听他的文章的下落, 结果又如石沉大海.
Ch4 Polya计数定理
1，群的定义与基本性质 2，置换群 3，循环、奇循环与偶循环 4，Burnside引理 5，Polya定理 6，带权形式与母函数形式的Polya定理 7，Polya定理的推广和应用
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引论
在组合计数问题中经常碰到两大困难: (1) 找出问题通解表达式的困难.这个困难通过引 入生成函数能够克服. (2) 区分所讨论的问题类型的困难,即哪些问题是 相同的,哪些是不同的.解决这个困难,就能在计数 过程中避免重复或遗漏.
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2 置换群
于是我们定义乘法如下：
1 2 ... n p1 , a1 a 2 ... a n 1 2 ... n a1 a 2 ... a n p2 b1 b 2 ... b n ba1 b a 2 ... b a n 1 2 ... n a1 a 2 ... a n p1p 2 b b ... b a2 an a1 a 2 ... a n a1 2 ... n 1 = b b ... b a2 an a1
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1. 群的概念
(e) 若G有限，a∈G，则存在最小正整数r， r-1 -1 r 使得a = e.且a = a . g g+1 2 证 设|G|=g,则a,a ,…,a ,a ∈G,由鸽巢原理 m l 其中必有相同项。设a =a ,1≤m＜l≤g+1, r r-1 e=a l-m,1≤l-m≤g，令l-m=r.则有a =a a=e.即a -1 r-1 r =a .既然有正整数r使得a =e,其中必有最小 者，不妨仍设为r. r称为a的阶。易见 r-1 r 2 H={a,a ,…a ,a =e}在原有运算下也是一个 群。
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1. 群的概念
基本性质 (a)单位元唯一 e1e2=e2=e1 (b)消去律成立 ab=ac → b=c, ba=ca → b=c -1 -1 (c)每个元的逆元唯一 aa =a a = e, ab = ba = e , aa-1 = ab , a-1 = b -1 -1 -1 -1 (d)(ab….c) =c …b a . -1 -1 -1 c …b a ab…c = e
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2 置换群
我们称此群为置换群，记为Sn,称为n个文字的对称群。
任一n阶有限群同构于一个n个文字的置换群。
设G={a1,a2,…,an}，指定G中任一元ai, 任意aj∈G， Pi：aj → aj ai ，则Pi是G上的一个置换。
a1 a 2 ... a n pi a1a i a 2 a i ... a n a i
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1. 群的概念
1545年, 卡尔达塔(Cardano)在他的《大术》(Ars Magna)一书中公开发表了丰塔那的方法. 这部书还 讲述了费拉里( Ferrari)求解四次方程的方法. 但事情的发展似乎突然停了下来. 虽然有很多数学家 作出了努力, 其中包括18世纪中叶伟大的瑞士数学家 欧拉(Euler), 但没有一个人能找出五次方程的求根 公式.
故
p1 p2 p1 p2 3 2 3, 4 4 1.
2 置换群
可见
评注：
p1p2 p2 p1
i p1p2 (i p1 )p2 1 2 ... n i1 p a1 a 2 ... a n a i1
i2 a i2
... i n ... a in
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2 置换群
可以证明，[1,n]上所有的置换按上述乘法构成一个 群。即满足 1）封闭性 2）结合律 3）有单位元 4）有逆元
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1 2 ... n p , a1 a 2 ... a n
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1 2 ... n a1 a 2 ... a n p a a ... a 1 2 ... n n 1 2
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1. 群的概念
由于结合律成立，(a· b)· c=a· (b· c)可记做 a· b · c. a1,a2,…,an的乘积，结合律成立. 例 对于 a· a·…·a=a n (共n个a相乘) 例 G={1,-1}在普通乘法下是群。 例 G={0,1,2,…,n-1}在mod n的加法下是群
例 二维欧式空间中的刚体旋转变换集合 T= {T }构成群，其中 x 1 cos T : y 1 sin sin x cos y
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1. 群的概念
他放弃了一切希望, 参加了国民卫队. 在那里和 他在数学界一样运气不佳. 他刚加入不久, 卫 队即遭控告阴谋造反而被解散. 在1831年5月10日进行的一次抗议聚宴上, 伽罗 华手中举着出鞘的刀提议为国王干杯, 这一手 势被同伙们解释成是要国王的命；第2天他就 被捕了. 后来被判无罪, 并于6月15日获释.
8源自文库
1. 群的概念
在这一时期, 碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这 个问题, 而且最终取得了成功, 他就是伽罗华(Galois). 可是这位年轻人获得的非凡成果, 在他因决斗去世11 年后才开始得到数学界的承认. 伽罗华1811年10月降生于巴黎近郊. 14岁那年因考试不及格而重上三年级.
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1. 群的概念
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1. 群的概念
1832年5月29日, 决斗的前夜, 伽罗华写了封很长的信 给他的朋友舍瓦利耶(A.Chevalier), 其中大致描述 了他的数学理论, 从而给数学界留下了唯一一份它 将蒙受何等损失的提要. 在第二天的决斗中(离25步远用手枪射击), 伽罗华的 胃部中弹, 24小时后去世. 享年不足21岁. 伽罗华留给世界的最核心的概念是(置换)群, 他成了 群论的创始人.
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1. 群的概念
群论是现代数学非常重要的分支, 群论产生的开 端非常平凡, 但是群论的创立者却充满了传奇.
我们熟知的公式 是二次方程
2
b b 2 4ac x 2a
ax bx c 0
的求根公式.
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1. 群的概念
人们试图对次数更高的方程得到类似的求解公式. 公元前1600年的巴比伦数学家已知道如何解二 次方程, 尽管他们没有使用我们现在的代数符号 去表达方程及其解. 形如 ax3+bx2+cx+d=0的三次方程的求根公式直至 16世纪才被发现.它是由意大利数学家费罗(Ferro) 和丰塔那(Fontana) 彼此独立得到的.