函数的微分及其应用ppt课件
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函数的应用课件ppt课件ppt
然后根据复合函数的解析式确定图像的变换方式。
03
复合函数的性质
复合函数具有一些特殊的性质，如周期性、奇偶性、单调性等。这些性
质可以通过分析复合函数的解析式和基本初等函数的性质来得出。
03
函数在实际问题中应用
经济学中函数应用
需求分析
通过构建需求函数，描述 商品价格与需求量之间的 关系，帮助企业预测市场 变化。
不等式在解决实际问题中的应用
通过建立不等量关系式，即不等式，来求解实际问题中的范围或最优解。例如，求解经 济中的最优化问题、工程中的约束条件问题等。
方程和不等式在解决实际问题中的综合应用
有些问题既需要建立等量关系又需要建立不等量关系，这时就需要综合运用方程和不等 式来求解。例如，求解金融中的投资组合问题、物流中的运输优化问题等。
分析和设计。
04
微分学在函数研究中应用
微分学基本概念与性质
微分定义
微分是函数局部变化率的线性近似，描述了函数 在某一点附近的变化趋势。
微分性质
微分具有线性性、可加性、乘法法则等基本性质 ，这些性质在解决复杂问题时非常有用。
高阶微分
高阶微分描述函数更高层次的变化率，如加速度 、加加速度等。
微分法在函数研究中应用
函数与方程关系探讨
函数与方程的联系
方程是函数值为零的特殊情况，函数图像与x轴的交点即为方程的 解。
函数与方程的区别
函数表示一种对应关系，而方程则表示一种等量关系。
函数思想在解方程中的应用
通过构造函数，利用函数的性质（如单调性、连续性等）来求解方 程。
函数与不等式关系探讨
函数与不等式的联系
不等式可以看作是函数值大于或小于零的情况，函数图像在x轴上 方的部分对应不等式大于零的解集，下方的部分对应小于零的解
微分 PPT课件
3.复合函数的微分及微分形式不变性 性质3.9 设y f(u),u g(x)可微,则y f[g(x)]关于x可微, 且df[g(x)] f [g(x)] g(x)dx
微分形式的不变性
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
(2) 若x是中间变量时, 即另一变量t的可 微函数x g(t), 则 dy f (x)g(t)dt
证 (1) 必要性 f ( x)在点x0可微,
y A x o(x),
y A o(x) ,
x
x
则 lim y A lim o(x) A.
x0 x
x0 x
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x
微分 dy叫做函数增量y的线性主部.
y A x o(x) dy o(x)(其中A与x无关)
y与dy的关系 (1) y dy o(x);(dy为y的线性主部) (2) 当A 0时,y ~ dy; (3) 当x很小时,y dy .
3.可微的条件
性质3.7 函数f (x)在点x0可微 f (x)在点x0处可导, 且 A f (x0 ).
d(secx) _s_e_c_x_ta_n__x__dx d(cscx) _-c_s_c_x_c_o_t_x_dx
d(_a_x_) ax lnadx 1
d(loga x) _x__ln__a1dx
d(_e_x_) exdx
1
d(l_n_x_) 1 dx,
x
d(lnx1) _x___dx
x 0.02
x 0.02
4.微分的几何意义
微分形式的不变性
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
(2) 若x是中间变量时, 即另一变量t的可 微函数x g(t), 则 dy f (x)g(t)dt
证 (1) 必要性 f ( x)在点x0可微,
y A x o(x),
y A o(x) ,
x
x
则 lim y A lim o(x) A.
x0 x
x0 x
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x
微分 dy叫做函数增量y的线性主部.
y A x o(x) dy o(x)(其中A与x无关)
y与dy的关系 (1) y dy o(x);(dy为y的线性主部) (2) 当A 0时,y ~ dy; (3) 当x很小时,y dy .
3.可微的条件
性质3.7 函数f (x)在点x0可微 f (x)在点x0处可导, 且 A f (x0 ).
d(secx) _s_e_c_x_ta_n__x__dx d(cscx) _-c_s_c_x_c_o_t_x_dx
d(_a_x_) ax lnadx 1
d(loga x) _x__ln__a1dx
d(_e_x_) exdx
1
d(l_n_x_) 1 dx,
x
d(lnx1) _x___dx
x 0.02
x 0.02
4.微分的几何意义
《微分及其计算》课件
投入产出分析中的微分方程建模
微分方程：描述经 济系统中的动态变 化
投入产出模型：描 述经济系统中的生 产和消费关系
微分方程建模：将 投入产出模型转化 为微分方程形式
求解微分方程：得 到经济系统的动态 变化规律
微分在社会科学中 的应用
社会学中的演化模型
社会演化模型：描 述社会变迁的动态 过程
微分方程：描述社 会演化模型的数学 工具
添加副标题
微分及其计算
汇报人：
目录
PART One添加目录标题PAR Three微分的计算方法
PART Two
微分的定义
PART Four
微分的应用
PART Five
微分在物理中的应 用
PART Six
微分在经济学中的 应用
单击添加章节标题
微分的定义
微分的概念
微分是函数在某一点的切线斜率 微分是函数在某一点的增量 微分是函数在某一点的变化率 微分是函数在某一点的导数
社会演化模型的应 用：预测社会变迁 、分析社会现象
微分方程在社会演 化模型中的应用： 求解社会演化模型 的动态过程
心理学中的认知过程建模
微分在认知心理学中的应用：用于描述认知过程的动态变化
微分在认知心理学中的作用：帮助理解认知过程的复杂性和动态性
微分在认知心理学中的具体应用：用于建模认知过程中的信息处理、决 策制定等过程 微分在认知心理学中的挑战：如何将微分方法与心理学理论相结合，以 更好地描述认知过程
微分在物理、工程等领域中的应用
误差估计
微分在误差估计中的应用 误差估计的方法和步骤 误差估计的准确性和可靠性 误差估计在实际问题中的应用
函数的单调性判断
微分定义：函数在某点处的微分是函数在该点处的切线斜率
微分ppt课件
微分PPT课件
目录
微分的定义与性质导数的概念与性质导数在研究函数中的应用微分中值定理微分的应用
01
CHAPTER
微分的定义与性质
总结词
微分是一种数学运算，表示函数在某一点的局部变化率。
详细描述
微分是微积分的基本概念之一，它表示函数在某一点的切线的斜率。具体来说，如果函数在某一点的导数存在，那么这个导数就是函数在该点的微分。微分可以看作是函数值的增量与自变量增量的比的极限。
极值点是函数的重要特征点，利用导数研究函数的极值有助于找到这些关键点。
1
2
3
4
通过求二阶导数，可以找到函数的拐点。
二阶导数为0的点可能是拐点，需要进一步判断三阶导数的符号来确定是向上凸还是向下凸。
对于函数$f(x) = x^4$，其二阶导数$f''(x) = 12x^2$，令其为0得到拐点$x=0$，进一步求三阶导数$f'''(x) = 24x$，在$x=0$处为非正值，因此$x=0$为向下凸的拐点。
举例
单调性是函数的一个重要性质，利用导数研究函数的单调性有助于理解函数的述
举例
应用
通过求导数，可以找到函数的极值点。
一阶导数为0的点可能是极值点，需要进一步判断二阶导数的符号来确定是极大值还是极小值。
对于函数$f(x) = x^3$，其一阶导数$f'(x) = 3x^2$，令其为0得到极值点$x=0$，进一步求二阶导数$f''(x) = 6x$，在$x=0$处为非负值，因此$x=0$为极小值点。
罗尔定理是数学分析中的一个基本定理，由法国数学家罗尔发现。该定理在微分学、积分学等领域有着广泛的应用。它提供了一个判断函数是否存在导数为零的点的方法，对于研究函数的极值和拐点等问题具有重要的意义。
目录
微分的定义与性质导数的概念与性质导数在研究函数中的应用微分中值定理微分的应用
01
CHAPTER
微分的定义与性质
总结词
微分是一种数学运算，表示函数在某一点的局部变化率。
详细描述
微分是微积分的基本概念之一，它表示函数在某一点的切线的斜率。具体来说，如果函数在某一点的导数存在，那么这个导数就是函数在该点的微分。微分可以看作是函数值的增量与自变量增量的比的极限。
极值点是函数的重要特征点，利用导数研究函数的极值有助于找到这些关键点。
1
2
3
4
通过求二阶导数，可以找到函数的拐点。
二阶导数为0的点可能是拐点，需要进一步判断三阶导数的符号来确定是向上凸还是向下凸。
对于函数$f(x) = x^4$，其二阶导数$f''(x) = 12x^2$，令其为0得到拐点$x=0$，进一步求三阶导数$f'''(x) = 24x$，在$x=0$处为非正值，因此$x=0$为向下凸的拐点。
举例
单调性是函数的一个重要性质，利用导数研究函数的单调性有助于理解函数的述
举例
应用
通过求导数，可以找到函数的极值点。
一阶导数为0的点可能是极值点，需要进一步判断二阶导数的符号来确定是极大值还是极小值。
对于函数$f(x) = x^3$，其一阶导数$f'(x) = 3x^2$，令其为0得到极值点$x=0$，进一步求二阶导数$f''(x) = 6x$，在$x=0$处为非负值，因此$x=0$为极小值点。
罗尔定理是数学分析中的一个基本定理，由法国数学家罗尔发现。该定理在微分学、积分学等领域有着广泛的应用。它提供了一个判断函数是否存在导数为零的点的方法，对于研究函数的极值和拐点等问题具有重要的意义。
《微分及其应用》课件
成本函数：描述成本与产量的关系
边际成本：增加一单位产量所增加的成 本
边际收益：增加一单位产量所增加的收 益
边际成本和边际收益的关系：决定企业 是否继续生产
成本和收益分析在经济学中的应用：帮 助企业做出最优决策
微分在物理学中 的应用
速度和加速度的计算
微分在物理学中的应用：速度和加速度的计算 速度的定义：物体在单位时间内通过的距离 加速度的定义：物体速度的变化率 微分在速度和加速度计算中的应用：通过微分方程求解速度和加速度
微分及其应用
汇报人：
目录
微分的概念
01
微分的应用
02
微分在经济学中的应 用
03
微分在物理学中的应 用
04
微分在工程学中的应 用
05
微分的进一步学习建 议
06
微分的概念
微分的定义
微分是函数在某一点的切线斜 率
微分是函数在某一点的增量
微分是函数在某一点的变化率
微分是函数在某一点的导数
微分的几何意义
阻抗匹配在通信工程中的应用：在通信系统中，阻抗匹配可以减少信号损失，提高传输效率
阻抗匹配在电力电子工程中的应用：在电力电子设备中，阻抗匹配可以减少功率损耗，提高设备 效率
机械振动中的频率分析
微分在机械振动中的应用：通过微分方程求解振动频率 振动频率的定义：振动物体在单位时间内振动的次数 振动频率的测量：通过传感器和信号处理技术进行测量 振动频率的应用：在机械设计中用于优化结构、提高性能和降低噪声
弹性碰撞中的动量守恒和能量守恒
动量守恒定律： 在弹性碰撞中， 系统的总动量
保持不变
能量守恒定律： 在弹性碰撞中， 系统的总能量
保持不变
动量守恒和能量 守恒的关系：动 量守恒和能量守 恒是相互关联的， 动量守恒是能量
边际成本：增加一单位产量所增加的成 本
边际收益：增加一单位产量所增加的收 益
边际成本和边际收益的关系：决定企业 是否继续生产
成本和收益分析在经济学中的应用：帮 助企业做出最优决策
微分在物理学中 的应用
速度和加速度的计算
微分在物理学中的应用：速度和加速度的计算 速度的定义：物体在单位时间内通过的距离 加速度的定义：物体速度的变化率 微分在速度和加速度计算中的应用：通过微分方程求解速度和加速度
微分及其应用
汇报人：
目录
微分的概念
01
微分的应用
02
微分在经济学中的应 用
03
微分在物理学中的应 用
04
微分在工程学中的应 用
05
微分的进一步学习建 议
06
微分的概念
微分的定义
微分是函数在某一点的切线斜 率
微分是函数在某一点的增量
微分是函数在某一点的变化率
微分是函数在某一点的导数
微分的几何意义
阻抗匹配在通信工程中的应用：在通信系统中，阻抗匹配可以减少信号损失，提高传输效率
阻抗匹配在电力电子工程中的应用：在电力电子设备中，阻抗匹配可以减少功率损耗，提高设备 效率
机械振动中的频率分析
微分在机械振动中的应用：通过微分方程求解振动频率 振动频率的定义：振动物体在单位时间内振动的次数 振动频率的测量：通过传感器和信号处理技术进行测量 振动频率的应用：在机械设计中用于优化结构、提高性能和降低噪声
弹性碰撞中的动量守恒和能量守恒
动量守恒定律： 在弹性碰撞中， 系统的总动量
保持不变
能量守恒定律： 在弹性碰撞中， 系统的总能量
保持不变
动量守恒和能量 守恒的关系：动 量守恒和能量守 恒是相互关联的， 动量守恒是能量
(完整版)函数的微分及其应用
微分与导数的本质区别：
1. 导数是切线斜率，微分是切线对 x 的增量； 2. 导数只与 x 有关，而微分不仅与是切 x 有关，
也与 x 有关；
3.导数多用于理论研究，微分多用于近似计算。
利用 dy f ( x)dx 很容易求出基本初等函数的微分：
d(sin x) cos xdx ; d(C) 0 ;
§5 函数的微分及其应用
❖ 微分定义 ❖ 微分与导数 ❖ 微分的几何意义 ❖ 微分公式与运算法则 ❖ 微分的简单应用
一. 微分的概念
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由 x0 变到 x0 x,
正方形面积 A x02 ,
x0
x0x
x (x)2
x
A ( x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
d ln | x | 1 dx ; x
d(tan x) sec2 xdx ;
d( x ) x1dx ;
d(arcsin x) 1 dx. 1 x2
三. 微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
N
P
o(x)
M
dy y
y f (x)
x
(5) 当 x 很小时, y dy (线性主部).
二. 微分与导数( differential & derivative )
定理：函数 y f ( x) 在 x0 可微 f ( x) 在 x0 可导。
可导 可微. 证: “必要性”
已知
在点 可微 , 则
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
例4. 设 u( x),v( x) 在 x 处可微，求 y arctan u 的微分;
一元函数微分学的应用88页PPT
使得 Ff((b b)) F f((aa))F f(()).
二、洛必达法则
把 两 个 无 穷 小 量 之 比 或 两 个 无 穷 大 量 之 比 的 极 限
称 为 0型 或 型 不 定 式 (也 称 为 0型 或 型 未 定 型 )
0
ห้องสมุดไป่ตู้
0
的 极 限 ,洛 必 达 法 则 就 是 以 导 数 为 工 具 求 不 定 式 的 极 限
x
1 lx i11 m 1 x l n x ln x lx i1x m 1 2x 1 x1 2.
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
( 1 )每 次 使 用 法 则 前 ， 必 须 检 验 是 否 属 于 0 或 0
未 定 型 ， 若 不 是 未 定 型 ， 就 不 能 使 用 该 法 则 ；
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
第四章 一元函数微分学的应用
第一节 柯西（Cauchy）中值定理与 洛必达（L’Hospital）法则
(2) 如 果 有 可 约 因 子 ， 或 有 非 零 极 限 值 的 乘 积 因 子 ， 则 可 先 约 去 或 提 出 ， 以 简 化 演 算 步 骤 ；
( 3 )当 lifm ( x 不 存 )在 ( 不 包 括 的 情 况 ) 时 ， 并 不 g (x)
能 断 定 lifm (也 x 不 ) 存 在 ， 此 时 应 使 用 其 他 方 法 求 极 限 ． g(x)
π a rc ta n x
二、洛必达法则
把 两 个 无 穷 小 量 之 比 或 两 个 无 穷 大 量 之 比 的 极 限
称 为 0型 或 型 不 定 式 (也 称 为 0型 或 型 未 定 型 )
0
ห้องสมุดไป่ตู้
0
的 极 限 ,洛 必 达 法 则 就 是 以 导 数 为 工 具 求 不 定 式 的 极 限
x
1 lx i11 m 1 x l n x ln x lx i1x m 1 2x 1 x1 2.
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
( 1 )每 次 使 用 法 则 前 ， 必 须 检 验 是 否 属 于 0 或 0
未 定 型 ， 若 不 是 未 定 型 ， 就 不 能 使 用 该 法 则 ；
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
第四章 一元函数微分学的应用
第一节 柯西（Cauchy）中值定理与 洛必达（L’Hospital）法则
(2) 如 果 有 可 约 因 子 ， 或 有 非 零 极 限 值 的 乘 积 因 子 ， 则 可 先 约 去 或 提 出 ， 以 简 化 演 算 步 骤 ；
( 3 )当 lifm ( x 不 存 )在 ( 不 包 括 的 情 况 ) 时 ， 并 不 g (x)
能 断 定 lifm (也 x 不 ) 存 在 ， 此 时 应 使 用 其 他 方 法 求 极 限 ． g(x)
π a rc ta n x
高等数学第九章第六节多元函数微分学的几何应用课件.ppt
当J (F,G) 0时, 可表示为 (y, z)
, 且有
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
T 1, (x0 ), (x0 )
1 ,
1 J
(F,G) (z , x)
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
➢定义
设向量值函数 f (t )在点 t0的某一邻域内有定义, 如果
x x0 Fx (x0 , y0 , z0 )
y y0 Fy (x0 , y0 , z0 )
z z0 Fz (x0 , y0 , z0 )
T
M
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
F(x, y, z) f (x, y) z
时, 令
则在点 (x, y, z),
故当函数
在点 ( x0, y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
f (t)的三个分量函数 f1(t), f2(t), f3(t)都在 t0 可导.
当f (t)在 t0 可导时, f (t) f1(t)i f2(t) j f3(t)k.
➢运算法则
设u(t), v(t),(t)可导, C是常向量, c是任一常数，则
(1) d C 0 dt
(2) d [cu(t)] cu(t) dt
例1. 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程.
解: 由于
对应的切向量为 T (R , 0, k), 故
第八章多元函数微分学课件
四.多元函数的连续性
习题
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第一节 多元函数的基本概念
一、区域
1.邻域 设 P0(x0, y0) 是xOy平面上的一个点，δ是某一
正数.与点 P0(x0, y0) 距离小于δ的点 P(x, y) 的全体 称为P0 的邻域，记为U (P0, )，即
U (P0, ) {P PP0 }
也就是
U (P0, ) {(x, y) (x x0 )2 ( y y0 )2 }
也称为因变量,数集
{z z f (x, y),(x, y)D}
称为该函数的值域.
把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集 D.则可类似的定义n元函数 u f (x1, x2, , xn ) .当 n=1时，n元函数就是一元函数.当n≥2时n元函 数统称为多元函数.
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三、多元函数的极限
M 0Tx 对y轴的斜率.
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x
z y
2z yx
fyx (x,
y), y
z y
2z y2
fyy (x,
y)
其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数.同 样可得三阶、四阶、···以及n阶偏导数.二阶及 二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例题
定理 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏
,
x
x x0 y y0
,
zx
xx0 或fx (x0, y0 )
y y0
如果函数 z f (x, y) 在区域D内每一点(x,y)
处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是
x、y函数,它就称为函数 z f (x, y) 对自变量x
的偏导函数，记作
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多元函数微分学—全微分及其运用(高等数学课件)
典 型 例 题 讲 解
例2 求函数 z ( x y )e xy 在点（1，2）处的全微分.
z
解： e xy y ( x y )e xy (1 xy y 2 )e xy，
x
z
例2
e xy 求函数计算函数，在点（1，2）处的全微分。
x( x y )e xy (1 xy x 2 )e xy，
用公式(1):
z dz f x( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y
二、典型例题讲解
例1 有一金属制成的圆柱体，受热后发生形变，它的半径由20 cm 增大到
20.05 cm ，高由50 cm 增加到50.09cm，求此圆柱体体积变化的近似值.
解: 设圆柱体的半径、高和体积分别为 、ℎ 和, 它们的增量分别记为
多元函数的微分学
多元函数的全微分
知识点讲解
1.全微分的定义
2.可微、连续、可偏导之间的关系
3.全微分的求法
全微分的定义
1.全改变量
设函数 z f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某个邻域内有定义,自变量、在0 、0
的改变量分别为 x, y ，全增量:
z f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 )
x
y
z
由公式知：求全微分的步骤如下：
1.求偏导数；
2.套公式得全微分.
f ( x, y )
典 型 例 题 讲 解
例1 求函数 z x 2 y xy 2 的全微分.
解:
z
z
2 xy y 2 , x 2 2 xy
x
y
dz (2 xy y 2 )dx ( x 2 2 xy)dy.
《函数的微分》课件
极值问题
极值的定义和性质 极值的求解方法 极值在生活中的应用 极值问题的实际案例
曲线的切线问题
切线的定义和性质
切线的求法
切线的应用：求曲 线在某一点的切线 方程
切线的应用：求曲 线在某一点的切线 斜率
函数的单调性判断
定义：函数在某 区间内单调增加 或单调减少
单调性的判断方 法：导数法、图 像法、表格法等
微分方程及其解法
Байду номын сангаас
微分方程的基本概念
分类：根据未知函数的个数， 微分方程可以分为一阶、二 阶和高阶微分方程
定义：微分方程是包含未知 函数及其导数的方程
形式：微分方程通常可以表 示为f(x,y',y'',...) = 0
解法：常用的解法包括分离 变量法、常数变易法、降阶
法等
一阶微分方程的解法
定义：一阶微分方 程是只含有一个自 变量和一个导数的 方程
指数函数的微分规则
函数形式：指数函数的一般形式为y=a^x，其中a>0且a≠1 微分规则：指数函数的微分规则为(a^x)'=a^x*ln(a)，其中a>0且a≠1 微分性质：指数函数的微分性质包括单调性、凹凸性、极值等 应用：指数函数的微分规则在经济学、物理学等领域有着广泛的应用
链式法则
添加 标题
形式：dy/dx + p(x)y = q(x)
求解方法：分离变 量法、常数变易法 、线性微分方程的 解法
举例：y' + y = 0, y' + 2y = sin(x)等
二阶微分方程的解法
常用的解法：常数变易法、 降阶法、比较法
定义和分类
特殊类型的解法：伯努利方 程、欧拉方程
高教社2024高等数学第五版教学课件-2.5 函数的微分
故 = ′ (0 ) ⋅ + ⋅ .
当 → 0时，第一项 ′ (0 ) ⋅ 是的线性函数，第二项 ⋅ 是当
→ 0时比高阶的无穷小量.所以就近似等于 ′ (0 ) ⋅ ,即
∆ ≈ ′ (0 ) ⋅ .
例5 当一块正方形金属薄片受到温度变化的影响时，其边长会发生
例1 已知函数 = 2 ，求当 = 1， = −0.01时的微分与增量.
解
= ′ |=1 ⋅ = 2|=1 ⋅ = 2 × 1 × (−0.01) = −0.02.
= (1 − 0.01)2 − 12 = −0.0199.
可见 ≈ .
2．微分的几何意义
利用公式∆ ≈ ′ (0 ) ⋅ ，得到金属薄片面积的改变量
∆ ≈ ′ 0 ⋅ = 20 × 0.1 = 2cm2 .
2
近似计算( + )
由 = (0 + ) − (0 )可得
0 + ∆ − (0 ) ≈ ′ (0 ) ⋅ ，
第二章 导数与微分
第五节 函数的微分
在实际问题中，我们经常要计算当自变量有一微小增
量 时，相应的函数的增量 的大小. 如果函数比较复
杂，那么计算函数的增量 = (0 + ) − (0 )也会很
复杂.能否找到一个既简单，又有较高精确度的计算近
似值的方法，就是我们即将要讨论的微分.
(13) ( ) =
( )′
=
1
1
1
1−
1
1+ 2
1
( ) =
1 + 2
′
2
− 2
(15) ( ) =
(12) ( ) = −
一元函数微分学及其应用(课件)
程序运行结果为： value = 34
从而可知物体在 t 3s 时刻的瞬时速度为34 m/s。
22
第二节 导数的运算 三、复合函数求导法则
引例3 已知 y sin 2x，求 y
解 这里不能直接用公式求导，但可用求导法则求：
y (sin 2x) (2sin x cos x) 2[(sin x)cos x sin x(cos x)] 2(cos2 x sin2 x) 2 cos 2x
0.000001
0.0000001 0.00000001
…
事实上，利用极限思想， 物体在t0 时刻的瞬时速度 可以表示为
v
20.0005
20.00005
20.000005 20.0000005 20.00000005
…
v(t0 )
lim
t 0
s t
ltim0(10t0
5t)
10t0
5
第一节 导数的概念
定义3.1 设函数 y f (x)在点 x0 的某个邻域内有定义，且极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
存在，则称此极限值为函数 f (x) 在点 x0 处的导数，记作
f (x0 ) 或
y |xx0
或
dy dx
或
x x0
df (x) dx
x x0
也称函数 f (x) 在点 x0 处可导。
x0
x0
在点 x 0 处的连续性。
又 y f (0 x) f (0) x ，从而
x
x
x
lim
y
lim
x 1
x0 x x0 x
y
x
lim lim 1
从而可知物体在 t 3s 时刻的瞬时速度为34 m/s。
22
第二节 导数的运算 三、复合函数求导法则
引例3 已知 y sin 2x，求 y
解 这里不能直接用公式求导，但可用求导法则求：
y (sin 2x) (2sin x cos x) 2[(sin x)cos x sin x(cos x)] 2(cos2 x sin2 x) 2 cos 2x
0.000001
0.0000001 0.00000001
…
事实上，利用极限思想， 物体在t0 时刻的瞬时速度 可以表示为
v
20.0005
20.00005
20.000005 20.0000005 20.00000005
…
v(t0 )
lim
t 0
s t
ltim0(10t0
5t)
10t0
5
第一节 导数的概念
定义3.1 设函数 y f (x)在点 x0 的某个邻域内有定义，且极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
存在，则称此极限值为函数 f (x) 在点 x0 处的导数，记作
f (x0 ) 或
y |xx0
或
dy dx
或
x x0
df (x) dx
x x0
也称函数 f (x) 在点 x0 处可导。
x0
x0
在点 x 0 处的连续性。
又 y f (0 x) f (0) x ，从而
x
x
x
lim
y
lim
x 1
x0 x x0 x
y
x
lim lim 1
【精品PPT】微分学课件
解 y eu,u x3,
dy dy du dx du dx
eu 3x2 ex3 3x2.
例2 求函数 y ln sin x 的导数.
解 y ln u, u sin x.
dy dy du 1 cos x cos x cot x
y
y f (x)
T
M
o
x0
x
在(x0, f (x0 ))处的
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ). 每年都考、重点掌握！
法线方程为
y y0
f
1 ( x0
)
(
x
x0
)
(f (x0 ) 0).
例1、曲线 y 2x2在点(1,2)处的切线方程为：.
x
2
1
1 2
2x x2
1
y
x
2
1
1 2
2x x2
1
(
x 1)2 x2 1
说明:
对幂指函数 y uv 可用对数求导法求导 :
ln y v lnu
1 y vln u uv
y
u
y uv ( vln u uv ) u
解： y' 4 x
y' |x1 4
根据导数的几何意义, 得切线斜率为 k y x1 4 故曲线 y 2x2在点(1,2)处的切线方程为
y 2 4(x 1)
即 y 4x 2
4、 函数的可导性与连续性的关系
可导的函数一定是连续的．
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3
微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.(微分的实质)
由定义知: (1) dy 是自变量的改变量 x 的线性函数;
(2) y dy o (x) 是比 x 高阶无穷小;
(3) 当 A 0 时,dy 与 y 是等价无穷小;
y dy
1
o(x) A x
1
(x 0).
(4) A 是与 x 无关的常数,但与 f ( x) 和 x0 有关;
lim y lim ( A o(x) ) A
x0 x x0
x
故
在点 的可导, 且
5
“充分性” 已知
在点 的可导, 则
lim y x0 x
f ( x0 )
y x
f ( x0 )
( lim 0 ) x0
故
y
f
(
x0
)
x
x
f
(
x0
) x
o(
x)
线性主部
即 dy f ( x0 ) x
d(sec x) sec x tan xdx d(csc x) csc x cot xdx
11
d(a x ) a x ln adx
d (loga
x)
1 dx x lna
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
d(e x ) e xdx
d(ln x) 1 dx x
18
例4. 设 u( x),v( x) 在 x 处可微，求 y arctan u 的微分;
解: dy d(arctan u)
v
(arctan
v2 u2 v2
v u)d(u) vv 1
uv v2
uv
dx
1
u2 v
dx
vudx uvdx u2 v2
(5) 当 x 很小时, y dy (线性主部).
4
二. 微分与导数( differential & derivative )
定理：函数 y f ( x) 在 x0 可微 f ( x) 在 x0 可导。
可导 可微. 证: “必要性”
已知
在点 可微 , 则
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
函数 y f ( x)在任意点x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或df ( x), 即 dy f ( x)x.
6
通常把自变量 x 的增量 x 称为自变量的微分, 记作 dx, 即dx x.
dy f ( x)dx.
dy f ( x). dx
即函数的微分dy 与自变量的微分dx之商等于 该函数的导数. 导数也叫"微商".
2x0 x (x)2 .
(1)
(2)
A x02
x0x x0
既容易计算又是较好的近似值
(1) : x的线性函数,且为 A 的主要部分;
(2) : x的高阶无穷小,当 x 很小时可忽略.
2
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数 的改变量都有?它是什么?如何求?
定义: 设函数 y f ( x)在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x)在点 x0可微, 并且称A x为函数 y f ( x)在点 x0相应于自变量增量x的微分, 记作dy x x0 或 df ( x0 ), 即dy x x0 A x.
(1) 若 x 是自变量时, dy f ( x)dx; (2) 若 x 是中间变量时, 即另一变量 t 的可微
函数 x (t), 则 dy f ( x)(t)dt
(t)dt dx,
dy f ( x)dx.
结论：无论 x 是自变量还是中间变量, 函数 y f ( x) 的微分形式总是 dy f ( x)dx
d ln | x | 1 dx ; x
d(tan x) sec2 xdx ;
d( x ) x1dx ;
d(arcsin x) 1 dx. 1 x2
9
三. 微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
N
P
o(x)
M
dy y
y f (x)
微分形式的不变性
14
例1. y ln( x 1 x2 )，求 dy;
解:
1 y
x
x
1 x2 1 x2
1, 1 x2
dy ydx 1 dx. 1 x2
16
例2. 已知
求
解：因为
所以
17
例3. y eax cosbx,求 dy； 解: dy d(eax cosbx)
cosbx(deax ) eaxd(cosbx) cosbx eaxd(ax) eax( sinbx)d(bx) aeax cosbxdx beax sin bxdx eax(a cosbx bsinbx)dx
x
）
o
x0 x0 x
x
当 x 很小时, 在点 M 的附近,
切线段 MP 可近似代替曲线段 MN .
10
四. 微分公式与运算法则
1. 公式： dy f ( x)dx
d(C) 0
d ( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
d(cos x) sin xdx
d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
7
微分与导数的本质区别：
1. 导数是切线斜率，微分是切线对 x 的增量； 2. 导数只与 x 有关，而微分不仅与是切 x 有关，
也与 x 有关；
3.导数多用于理论研究，微分多用于近似计算。
8
利用 dy f ( x)dx 很容易求出基本初等函数的微分：
d(sin x) cos xdx ; d(C) 0 ;
§5 函数的微分及其应用
❖ 微分定义 ❖ 微分与导数 ❖ 微分的几何意义 ❖ 微分公式与运算法则 ❖ 微分的简单应用
1
一. 微分的概念
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由 x0 变到 x0 x,
正方形面积 A x02 ,
x0
x0x
x (x)2
x
A ( x0 x)2 x02
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arc
cot
x)
1
1 x
2
dx
12
2. 法则： 1). 四则运算法则
d(u v) du dv d(uv) vdu udv
d(Cu) Cdu
d
(
u) v
vdu udv v2
13
2). 复合运算法则
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.(微分的实质)
由定义知: (1) dy 是自变量的改变量 x 的线性函数;
(2) y dy o (x) 是比 x 高阶无穷小;
(3) 当 A 0 时,dy 与 y 是等价无穷小;
y dy
1
o(x) A x
1
(x 0).
(4) A 是与 x 无关的常数,但与 f ( x) 和 x0 有关;
lim y lim ( A o(x) ) A
x0 x x0
x
故
在点 的可导, 且
5
“充分性” 已知
在点 的可导, 则
lim y x0 x
f ( x0 )
y x
f ( x0 )
( lim 0 ) x0
故
y
f
(
x0
)
x
x
f
(
x0
) x
o(
x)
线性主部
即 dy f ( x0 ) x
d(sec x) sec x tan xdx d(csc x) csc x cot xdx
11
d(a x ) a x ln adx
d (loga
x)
1 dx x lna
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
d(e x ) e xdx
d(ln x) 1 dx x
18
例4. 设 u( x),v( x) 在 x 处可微，求 y arctan u 的微分;
解: dy d(arctan u)
v
(arctan
v2 u2 v2
v u)d(u) vv 1
uv v2
uv
dx
1
u2 v
dx
vudx uvdx u2 v2
(5) 当 x 很小时, y dy (线性主部).
4
二. 微分与导数( differential & derivative )
定理：函数 y f ( x) 在 x0 可微 f ( x) 在 x0 可导。
可导 可微. 证: “必要性”
已知
在点 可微 , 则
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
函数 y f ( x)在任意点x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或df ( x), 即 dy f ( x)x.
6
通常把自变量 x 的增量 x 称为自变量的微分, 记作 dx, 即dx x.
dy f ( x)dx.
dy f ( x). dx
即函数的微分dy 与自变量的微分dx之商等于 该函数的导数. 导数也叫"微商".
2x0 x (x)2 .
(1)
(2)
A x02
x0x x0
既容易计算又是较好的近似值
(1) : x的线性函数,且为 A 的主要部分;
(2) : x的高阶无穷小,当 x 很小时可忽略.
2
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数 的改变量都有?它是什么?如何求?
定义: 设函数 y f ( x)在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x)在点 x0可微, 并且称A x为函数 y f ( x)在点 x0相应于自变量增量x的微分, 记作dy x x0 或 df ( x0 ), 即dy x x0 A x.
(1) 若 x 是自变量时, dy f ( x)dx; (2) 若 x 是中间变量时, 即另一变量 t 的可微
函数 x (t), 则 dy f ( x)(t)dt
(t)dt dx,
dy f ( x)dx.
结论：无论 x 是自变量还是中间变量, 函数 y f ( x) 的微分形式总是 dy f ( x)dx
d ln | x | 1 dx ; x
d(tan x) sec2 xdx ;
d( x ) x1dx ;
d(arcsin x) 1 dx. 1 x2
9
三. 微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
N
P
o(x)
M
dy y
y f (x)
微分形式的不变性
14
例1. y ln( x 1 x2 )，求 dy;
解:
1 y
x
x
1 x2 1 x2
1, 1 x2
dy ydx 1 dx. 1 x2
16
例2. 已知
求
解：因为
所以
17
例3. y eax cosbx,求 dy； 解: dy d(eax cosbx)
cosbx(deax ) eaxd(cosbx) cosbx eaxd(ax) eax( sinbx)d(bx) aeax cosbxdx beax sin bxdx eax(a cosbx bsinbx)dx
x
）
o
x0 x0 x
x
当 x 很小时, 在点 M 的附近,
切线段 MP 可近似代替曲线段 MN .
10
四. 微分公式与运算法则
1. 公式： dy f ( x)dx
d(C) 0
d ( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
d(cos x) sin xdx
d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
7
微分与导数的本质区别：
1. 导数是切线斜率，微分是切线对 x 的增量； 2. 导数只与 x 有关，而微分不仅与是切 x 有关，
也与 x 有关；
3.导数多用于理论研究，微分多用于近似计算。
8
利用 dy f ( x)dx 很容易求出基本初等函数的微分：
d(sin x) cos xdx ; d(C) 0 ;
§5 函数的微分及其应用
❖ 微分定义 ❖ 微分与导数 ❖ 微分的几何意义 ❖ 微分公式与运算法则 ❖ 微分的简单应用
1
一. 微分的概念
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由 x0 变到 x0 x,
正方形面积 A x02 ,
x0
x0x
x (x)2
x
A ( x0 x)2 x02
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arc
cot
x)
1
1 x
2
dx
12
2. 法则： 1). 四则运算法则
d(u v) du dv d(uv) vdu udv
d(Cu) Cdu
d
(
u) v
vdu udv v2
13
2). 复合运算法则
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),