函数的微分及其应用ppt课件

d(sec x) sec x tan xdx d(csc x) csc x cot xdx
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d(a x ) a x ln adx
d (loga
x)
1 dx x lna
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
d(e x ) e xdx
d(ln x) 1 dx x
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微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.(微分的实质)
由定义知: (1) dy 是自变量的改变量 x 的线性函数;
(2) y dy o (x) 是比 x 高阶无穷小;
(3) 当 A 0 时,dy 与 y 是等价无穷小;
y dy
1
o(x) A x
1
(x 0).
(4) A 是与 x 无关的常数,但与 f ( x) 和 x0 有关;
函数 y f ( x)在任意点x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或df ( x), 即 dy f ( x)x.
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通常把自变量 x 的增量 x 称为自变量的微分, 记作 dx, 即dx x.
dy f ( x)dx.
dy f (Fra Baidu bibliotekx). dx
即函数的微分dy 与自变量的微分dx之商等于 该函数的导数. 导数也叫"微商".
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arc
cot
x)
1
1 x
2
dx
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2. 法则： 1). 四则运算法则
d(u v) du dv d(uv) vdu udv
d(Cu) Cdu
d
(
u) v
vdu udv v2
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2). 复合运算法则
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
d ln | x | 1 dx ; x
d(tan x) sec2 xdx ;
d( x ) x1dx ;
d(arcsin x) 1 dx. 1 x2
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三. 微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
N
P
o(x)
M
dy y
y f (x)
§5 函数的微分及其应用
❖ 微分定义 ❖ 微分与导数 ❖ 微分的几何意义 ❖ 微分公式与运算法则 ❖ 微分的简单应用
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一. 微分的概念
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由 x0 变到 x0 x,
正方形面积 A x02 ,
x0
x0x
x (x)2
x
A ( x0 x)2 x02
(1) 若 x 是自变量时, dy f ( x)dx; (2) 若 x 是中间变量时, 即另一变量 t 的可微
函数 x (t), 则 dy f ( x)(t)dt
(t)dt dx,
dy f ( x)dx.
结论：无论 x 是自变量还是中间变量, 函数 y f ( x) 的微分形式总是 dy f ( x)dx
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例4. 设 u( x),v( x) 在 x 处可微，求 y arctan u 的微分;
解: dy d(arctan u)
v
(arctan
v2 u2 v2
v u)d(u) vv 1
uv v2
uv
dx
1
u2 v2
u v
dx
uv u2
uv v2
dx
vudx uvdx u2 v2
2x0 x (x)2 .
(1)
(2)
A x02
x0x x0
既容易计算又是较好的近似值
(1) : x的线性函数,且为 A 的主要部分;
(2) : x的高阶无穷小,当 x 很小时可忽略.
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问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数 的改变量都有?它是什么?如何求?
定义: 设函数 y f ( x)在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x)在点 x0可微, 并且称A x为函数 y f ( x)在点 x0相应于自变量增量x的微分, 记作dy x x0 或 df ( x0 ), 即dy x x0 A x.
x
）
o
x0 x0 x
x
当 x 很小时, 在点 M 的附近,
切线段 MP 可近似代替曲线段 MN .
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四. 微分公式与运算法则
1. 公式： dy f ( x)dx
d(C) 0
d ( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
d(cos x) sin xdx
d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
(5) 当 x 很小时, y dy (线性主部).
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二. 微分与导数( differential & derivative )
定理：函数 y f ( x) 在 x0 可微 f ( x) 在 x0 可导。
可导 可微. 证: “必要性”
已知
在点 可微 , 则
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
微分形式的不变性
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例1. y ln( x 1 x2 )，求 dy;
解:
1 y
x
x
1 x2 1 x2
1, 1 x2
dy ydx 1 dx. 1 x2
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例2. 已知
求
解：因为
所以
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例3. y eax cosbx,求 dy； 解: dy d(eax cosbx)
cosbx(deax ) eaxd(cosbx) cosbx eaxd(ax) eax( sinbx)d(bx) aeax cosbxdx beax sin bxdx eax(a cosbx bsinbx)dx
lim y lim ( A o(x) ) A
x0 x x0
x
故
在点 的可导, 且
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“充分性” 已知
在点 的可导, 则
lim y x0 x
f ( x0 )
y x
f ( x0 )
( lim 0 ) x0
故
y
f
(
x0
)
x
x
f
(
x0
) x
o(
x)
线性主部
即 dy f ( x0 ) x
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微分与导数的本质区别：
1. 导数是切线斜率，微分是切线对 x 的增量； 2. 导数只与 x 有关，而微分不仅与是切 x 有关，
也与 x 有关；
3.导数多用于理论研究，微分多用于近似计算。
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利用 dy f ( x)dx 很容易求出基本初等函数的微分：
d(sin x) cos xdx ; d(C) 0 ;