第二章 流体静力学

静止流体中深度不同的点处流体的静压强是不一样的，而
流体又是连续介质，所以流体静压强仅是空间点坐标的连
续函数，即
p p(x, y, z)
（2-2）
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第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式
在静止流体中任取一边长为 dx，dy和dz的微元平行六面
体的流体微团，如图2-3所示。现在来分析作用在这流体 微团上外力的平衡条件。由上节所述流体静压强的特性知， 作用在微元平行六面体的表面力只有静压强。设微元平行 六面体中心点处的静压强为p，则作用在六个平面中心点 上的静压强可按泰勒（G.I.Taylor）级数展开，例如：在 垂直于X轴的左、右两个平面中心点上的静压强分别为：
这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地 球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时， 称流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标 系静止时，称流体处于相对静止状态。
流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性 作用，即切向应力都等于零。所以，流体静力学中所得的 结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的。
压力分别为：
p
1 2
p y
dy
dxdz和
p
1 2
p y
dy dxdz
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pz和pn，pn与x、y、z轴的夹角分别为α、β、γ，则作用在
各面上流体的总压力分别为：
Px
px
1 dydz 2
Py
py
1 dxdz 2
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作用在ACD面上 的流体静压强
px
pz 作用在BCD面
pn 上的静压强
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作用在ABD和
py 图2－2 微元四面体受力分析
上的静压 强
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其上的力是平衡的
现在来分析作用于微元四面体ABCD上各力的平衡关
系。由于静止流体中没有切应力，所以作用在微元四面体
四个表面上的表面力只有垂直于各个表面的压强。因为所
取微元四面体的各三角形面积都是无限小的，所以可以认
为在无限小表面上的压强是均匀分布的。设作用在ACD、
ABD、ABC和BCD四个面上的流体静压强分别为px、py、
7
Pz
pz
1 dxdy 2
Pn pndAn （dAn为BCD的面积）
除压强外，还有作用在微元四面体流体微团上的质量
力，该质量力分布在流体微团全部体积中。设流体微团的
平均密度为ρ，而微元四面体的体积为dV=dxdydz/6，则微
元四面体流体微团的质量为dm=ρdxdydz/6。假定作用在流 流体上的单位质量力为 f ，它在各坐标轴上的分量分别
则
Px、 0 Py、 0 P。z 0
在轴方向上力的平衡方程为：
Px Pn cos Wx 0
把px ， pn 和Wx的各式代入得：
px
1 2
dydz
p n dAn
cos
1 6
dxdydzf x
0
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因为 则上式变成
dAn
cos
1 2
dydz
px
1 dydz 2
pn
1 dydz 2
为fx、fy、fz，则作用在微元四面体上的总质量力为：
W
1
dxdydzf
6
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它在三个坐标轴上的分量为：
Wx
1 6
dxdydzf
x
Wy
1 6
dxdydzf y
由于流体的微元四面W体z处于16 平d衡xd状yd态zf z，故作用在其上
的一切力在任意轴上投影的总和等于零。对于直角坐标系，
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第一节 流体静压强及其特性
在流体内部或流体与固体壁面所存在的单位面积上的 法向作用力称为流体的压强。当流体处于静止状态时，流
体的压强称为流体静压强，用符号p表示，单位为Pa。
流体静压强有两个基本特性。
（1）流体静压强的方向与作用面相垂直，并指向作用 面的内法线方向。
这一特性可由反证法给予证明：
（2）静止流体中任意一点流体压强的大小与作用面的 方向无关，即任一点上各方向的流体静压强都相同。
为了证明这一特性，我们在静止流体中围绕任意一点
A取一微元四面体的流体微团ABCD，设直角坐标原点与A
重合。微元四面体正交的三个边长分别为dx，dy和dz，如
图2-2所示。因为微元四面体处于静止状态，所以作用在
第二章 流体静力学
• §1–1 流体静压强极其特性
• §1–2 流体平衡微分方程
• §1–3 重力作用下的流体平衡
• §1–4 流体静力学基本方程的应用
• §1–5 平面上的静水总压力
• §1–6 曲面上的静水总压力
• §1–7 浮体与潜体的稳定性
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流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态 的规律及其在工程实际中的应用。
p
p x
dx 2
1 2
2 p x 2
dx 2 2
1 6
3 p x 3
dx 3 2
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p 1 p dxdydz 2 x
p 1 p dxdydz
p
2 x
图2-3 微元平行六面体x方向的受力分析
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p
p x
dx 2
1 2
2 p x 2
dx 2
源自文库
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假设在静止流体中，流体静压强方向不与作用面相垂 直，而与作用面的切线方向成α角，如图2-1所示。
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pn
静压强
p
α pt
切向压强
图2-1
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那么静压强p可以分解成两个分力即切向压强pt和法向压 强pn。由于切向压强是一个剪切力，由第一章可知，流体
具有流动性，受任何微小剪切力作用都将连续变形，也就 是说流体要流动，这与我们假设是静止流体相矛盾。流体 要保持静止状态，不能有剪切力存在，唯一的作用力便是 沿作用面内法线方向的压强。
1 6
dxdydzf x
0
或
px
pn
1 3
f x dx
0
由于等式左侧第三项为无穷小，可以略去，故得：
px pn
同理可得
py pn
pz pn
所以
px py pz pn
（2-1）
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因为n的方向完全可以任意选择，从而证明了在静止
流体中任一点上来自各个方向的流体静压强都相等。但是，
1 6
3 p x 3
dx 2
3
略去二阶以上无穷小量后，分别等于
p 1 p dx和 p 1 p dx
2 x
2 x
和由于平行六面体是微元的，所以可以把各微元面上
中心点的压强视为平均压强。因此，垂直于x轴的左、右
两微元面上的总压力分别为：
和同理 p，可12得p到x d垂x直dy于dzy轴和的下 p、上12两px个d微x 元dy面dz上的总