利用一元二次方程解决面积问题教案

利用一元二次方程解决面积问题教案
1．能够建立一元二次方程模型解决有关面积的问题；(重点、难点)
2．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．(难点)
一、情景导入
如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m 2，道路的宽为多少？
二、合作探究
探究点：利用一元二次方程解决面积问题
如图所示，某幼儿园有一道长为16m 的墙，计划用32m 长的围栏靠墙围成一个面积为120m 2的矩形草坪ABCD ，求该矩形草坪BC 边的长．
解析：若设BC 长为x m ，则宽AB 可表示为32－x 2
m ，由矩形的面积公式“面积＝长×宽”可列方程求解．
解：设矩形草坪BC 边的长为x m ，则宽AB 为32－x 2
m. 根据题意，得x ·32－x 2
＝120. 解得x 1＝12，x 2＝20.
又由题意知BC ≤16，∴x ＝20不符合题意，应该舍去．
∴该矩形草坪BC 边的长为12m.
方法总结：(1)结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题时的关键；(2)注意检验一元二次方程的根是否符合题意．
将一条长20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
解析：做成的是两个正方形，且已知两个正方形的面积之和，只需设出正方形的边长或用未知数表示出边长，列方程解答即可．
解：设一个正方形的周长为x cm ，则另一个正方形的周长为(20－x )cm.
(1)由题意可列方程(x 4)2＋(20－x 4
)2＝17.解此方程，得x 1＝16，x 2＝4. 所以两段铁丝的长度分别为16cm 和4cm ；
(2)由题意可列方程(x 4)2＋(20－x 4
)2＝12， 此方程化为一般形式为x 2－20x ＋104＝0.
∵b 2－4ac ＝(－20)2－4×1×104＝－16<0，
∴此方程无解．
∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm 2.
方法总结：对于生活中的应用题，首先要全面理解题意，然后根据实际问题的要求，确定用哪些数学知识和方法解决，如本题用方程思想和一元二次方程的根的判定方法来解决．
三、板书设计
列一元二次方程解应用题的一般步骤可以归结为“审，设，列，解，检，答”六个步骤：
(1)审：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系；
(2)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；
(3)列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即可得到方程；
(4)解：求出所列方程的解；
(5)检：检验方程的解是否正确，是否保证实际问题有意义；
(6)答：根据题意，选择合理的答案．
经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．通过学生创设解决问题的方案，增强学生的数学应用意识和能力.
利用一元二次方程解决面积问题教案
教学目标
1、体会通过建立方程解决实际问题的意义和方法
2、会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力
知识准备
无盖的长方体是如何制作的？教学内容：
一、情境创设
一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5㎝，容积是500㎝3
的无盖长方体容器。

求这块铁皮的长和宽。

二、探索活动
如何设未知数？如何找出表达实际问题的相等关系？这个问题中的相等关系是什么？
一般情况下，应设要求的未知量为未知数；应从题中寻找未知数所表示的未知量与已知量之间的等量关系；这个问题的等量关系是“长×宽×高=容积”与“长=宽×2”。

三、典型例题
例1、一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4㎝的小正方形，做成一个无盖的盒子。

已知盒子的容积是400㎝，求原铁皮的边长。

四．知识梳理
谈谈用一元二次方程解决例1实际问题的方法。

五、目标检测设计
1．如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为（）．
【设计意图】发现几何图形中隐蔽的相等关系．
2．镇江)学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃．
（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案．
（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由．
【设计意图】考查学生的审题能力及用一元二次方程模型解决简单的图形面积问题．。