第二章光学谐振腔理论激光物理(研究生).
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第2章谐振腔理论
2.1 光学谐振腔本征模式的概念
2.1.1 本征模式与自再现变换
•本征模式是所研究谐振腔中能够存在的、不随时间改 变的、具有特定的场振幅分布的电磁场。 •不同的谐振腔有不同的本征模式。 •相位条件：驻波条件（往返一周其相位的增加为2π的 整数倍）
•振幅条件：本征模式的场振幅分布不变（往返渡越后 仍能再现的稳态光场分布为自再现模）。
式中 Rl、R2分 别为M1与M2的 曲率半径。
2L A 1 R2 L B 2 L 1 R 2 1 4 L 1 C 2 R1 R2 R R 2 1 2 L 2 L 2 L D 1 1 R1 R2 wk.baidu.comR1
（2.1.5)
• 与正整数q有关的模式称为谐振腔的纵模。 • 与正整数m、l有关的模式称为谐振腔的横模。
• 相邻纵模的频率间隔为：
c q 2L
（2.1.6)
z2 z1 相邻横模的频率 c arctan arctan ml 间隔为： 2L z0 z0
z2 z1 2kL 2m l 1 arctan z arctan z 2q 0 0
2 k c 2
（2.1.3)
mlq
c c z2 z1 m l 1 q arctan arctan 2L 2L z z 0 0
2x 2 y 0 Hl e E E0 Hm z z z
kr 2 z i [ kz m l 1arctan ] 2qz z0
（2.1.1)
• 为在腔内形成稳定的振荡，要求光波因干涉而得到 加强，即光波在腔内往返一周的总相移应等于2的 整数倍
光线能在腔内往返无限多次而不会从侧面横向逸出。
• 反之，若φ值不是实数，由于有虚部，必然导致An、
Bn、Cn、Dn以及rn+1与θn+1的值都随n增大而增大。这
样一来，傍轴光线在腔内往返有限次后便可逸出腔外。
• 由上述分析可知，φ值为实数且不等于0或π时，
谐振腔为稳定腔。φ值有虚部时，谐振腔为非稳 腔。φ等于0或π时，谐振腔是临界腔。由φ的计 算公式(2.2.4)不难得出上述结论的数学描述：
D sin n sinn 1
B sin n
n次往返后的光 线坐标有
1 arccos A D 2
(2.2.4)
rn1 An r1 Bn1
n1 Cn r1 Dn1
(2.2.2)
2 .2.2 光学谐振腔的 稳定性条件
• 如果光线在共轴球面谐振腔内能够往返任意次而
不横向逸出腔外，这样的谐振腔我们就称为稳定
谐振腔，简称稳定腔。否则就称为非稳腔。
• 只要n次往返矩阵Tn的元素An、Bn、Cn、Dn对于 任意大的n值均保持为有限大小．就可以认为这样 的谐振腔就是稳定腔。
一、稳定性条件
• φ值为实数。cosφ的值随n的增大只能在+1与-1之间变 化，从而使An、Bn、Cn、Dn的数值以及rn+1与θn+1的 数值随n的增大也只能发生振荡式的变化. • 只要反射镜的镜面横向尺寸足够大，就可以保证近轴
共轴球面谐振腔的稳定性条件可叙述如下，当 稳定腔
0 g1 g 2 1
g1 g 2 1或g1 g 2 0 g1 g 2 1或g1 g 2 0
稳定腔
1 1 A D 1 2
(2.2.5)
非稳定腔
临界腔
1 1 A D 1或 A D 1 2 2 1 1 A D 1或 A D 1 2 2
为了得到稳定性条件 的更为简明的形式， 引入谐振腔的下述几 何参数
L g1 1 凹面R取正， R1 凸面R取负 L g2 1 R2 (2.2.8)
（2.1.8)
2.2 谐振腔的特点
2.2.1 谐振腔往返一周的变换矩阵
• 球面反射镜的光学变换矩阵为：
1 2 R 0 1
对凸面镜．只要R取负即可。对平面反射 镜，R取∞。
r 2 r 1 L • 设光线从M1反射镜出发，坐标为 2 1 T1 r2 r2 r1 M2反射 r3 r1 T2 T2T1 T1 1 T2 1 2 2 3
• 光线在腔内往返一周的总的变换矩阵应 是 0 0 1 1
T T4T3T2T1 2 R1 A C B D 1 1 0 L 2 1 R2 1 1 0
L 1
• 本征模式在腔内往返一周所受到的作用，是自再
现变换
• 讨论的谐振腔是开腔。
• 几何理论：是以光学变换矩阵为基础，讨论谐振
腔的稳定性条件；
• 衍射理论的主要内容则是从菲涅耳—基尔霍夫衍
射积分公式出发，建立起谐振腔自再现模所满足 的积分方程、通过求解积分方程讨论各类谐振腔 的模式特点。
2.1.2 稳定谐振腔本征模式的 横模与纵模
(2.2.1)
• 如果光线在球面谐振腔内往返n次，则它的光学变 换短阵就应该是往返矩阵T的n次方，按照矩阵理 论 • n次往返矩阵
An Tn Cn
Bn Dn
(2.2.3)
1 A sin n sinn 1 C sin n sin
2.1 光学谐振腔本征模式的概念
2.1.1 本征模式与自再现变换
•本征模式是所研究谐振腔中能够存在的、不随时间改 变的、具有特定的场振幅分布的电磁场。 •不同的谐振腔有不同的本征模式。 •相位条件：驻波条件（往返一周其相位的增加为2π的 整数倍）
•振幅条件：本征模式的场振幅分布不变（往返渡越后 仍能再现的稳态光场分布为自再现模）。
式中 Rl、R2分 别为M1与M2的 曲率半径。
2L A 1 R2 L B 2 L 1 R 2 1 4 L 1 C 2 R1 R2 R R 2 1 2 L 2 L 2 L D 1 1 R1 R2 wk.baidu.comR1
（2.1.5)
• 与正整数q有关的模式称为谐振腔的纵模。 • 与正整数m、l有关的模式称为谐振腔的横模。
• 相邻纵模的频率间隔为：
c q 2L
（2.1.6)
z2 z1 相邻横模的频率 c arctan arctan ml 间隔为： 2L z0 z0
z2 z1 2kL 2m l 1 arctan z arctan z 2q 0 0
2 k c 2
（2.1.3)
mlq
c c z2 z1 m l 1 q arctan arctan 2L 2L z z 0 0
2x 2 y 0 Hl e E E0 Hm z z z
kr 2 z i [ kz m l 1arctan ] 2qz z0
（2.1.1)
• 为在腔内形成稳定的振荡，要求光波因干涉而得到 加强，即光波在腔内往返一周的总相移应等于2的 整数倍
光线能在腔内往返无限多次而不会从侧面横向逸出。
• 反之，若φ值不是实数，由于有虚部，必然导致An、
Bn、Cn、Dn以及rn+1与θn+1的值都随n增大而增大。这
样一来，傍轴光线在腔内往返有限次后便可逸出腔外。
• 由上述分析可知，φ值为实数且不等于0或π时，
谐振腔为稳定腔。φ值有虚部时，谐振腔为非稳 腔。φ等于0或π时，谐振腔是临界腔。由φ的计 算公式(2.2.4)不难得出上述结论的数学描述：
D sin n sinn 1
B sin n
n次往返后的光 线坐标有
1 arccos A D 2
(2.2.4)
rn1 An r1 Bn1
n1 Cn r1 Dn1
(2.2.2)
2 .2.2 光学谐振腔的 稳定性条件
• 如果光线在共轴球面谐振腔内能够往返任意次而
不横向逸出腔外，这样的谐振腔我们就称为稳定
谐振腔，简称稳定腔。否则就称为非稳腔。
• 只要n次往返矩阵Tn的元素An、Bn、Cn、Dn对于 任意大的n值均保持为有限大小．就可以认为这样 的谐振腔就是稳定腔。
一、稳定性条件
• φ值为实数。cosφ的值随n的增大只能在+1与-1之间变 化，从而使An、Bn、Cn、Dn的数值以及rn+1与θn+1的 数值随n的增大也只能发生振荡式的变化. • 只要反射镜的镜面横向尺寸足够大，就可以保证近轴
共轴球面谐振腔的稳定性条件可叙述如下，当 稳定腔
0 g1 g 2 1
g1 g 2 1或g1 g 2 0 g1 g 2 1或g1 g 2 0
稳定腔
1 1 A D 1 2
(2.2.5)
非稳定腔
临界腔
1 1 A D 1或 A D 1 2 2 1 1 A D 1或 A D 1 2 2
为了得到稳定性条件 的更为简明的形式， 引入谐振腔的下述几 何参数
L g1 1 凹面R取正， R1 凸面R取负 L g2 1 R2 (2.2.8)
（2.1.8)
2.2 谐振腔的特点
2.2.1 谐振腔往返一周的变换矩阵
• 球面反射镜的光学变换矩阵为：
1 2 R 0 1
对凸面镜．只要R取负即可。对平面反射 镜，R取∞。
r 2 r 1 L • 设光线从M1反射镜出发，坐标为 2 1 T1 r2 r2 r1 M2反射 r3 r1 T2 T2T1 T1 1 T2 1 2 2 3
• 光线在腔内往返一周的总的变换矩阵应 是 0 0 1 1
T T4T3T2T1 2 R1 A C B D 1 1 0 L 2 1 R2 1 1 0
L 1
• 本征模式在腔内往返一周所受到的作用，是自再
现变换
• 讨论的谐振腔是开腔。
• 几何理论：是以光学变换矩阵为基础，讨论谐振
腔的稳定性条件；
• 衍射理论的主要内容则是从菲涅耳—基尔霍夫衍
射积分公式出发，建立起谐振腔自再现模所满足 的积分方程、通过求解积分方程讨论各类谐振腔 的模式特点。
2.1.2 稳定谐振腔本征模式的 横模与纵模
(2.2.1)
• 如果光线在球面谐振腔内往返n次，则它的光学变 换短阵就应该是往返矩阵T的n次方，按照矩阵理 论 • n次往返矩阵
An Tn Cn
Bn Dn
(2.2.3)
1 A sin n sinn 1 C sin n sin