二阶微分方程类型及其解法

为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2)式为微分方程(7.1)
特征方程(7.2)是一个以 r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两
个根 r１，r2，称为特征根，由代数知识，特征根 r1，r2 有三种可能的情况，下面
(1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根 r１，r2，此时 er１x，er2x 是方程(7.1)
12a0 1
a 0

1 12
6a0 8a1 0
解得
a1

1 16
2a1 4a0 0
a2

9 32
~ x x2 x 9 y ＝－ ( ＋ ＋ )e－x
＋(α2＋αp＋q)u＝(x－2)
dx 2
dx
10a0x＋10a1＋6a0＝x－2
比较两边 x
10a0 1 10a1 6a0 2
1
13
解得 a0＝ ，a1＝－
10
50
~ 1 13 y ＝( x－ )e3x
10 50
所以原方程的通解是
~
1 13
y y＝Y＋ ＝C1cosx＋C2sinx＋（ x－ ）e3x
2
y y 还要设法找出另一个满足 2 ≠常数，的特解 y2，故 2 应是 x 的某个函数，设
y1
y1
y2 ＝u，其中 u＝u(x) y1
y2＝uy1＝ue r１x 对 y2
dy du du 2 ＝
er1x＋r１uer1x＝(
＋r1u)er1x
dx dx
dx
d2y2 dx 2
＝(r2１u＋2r1
du dx
式的形式，问题即可解决，为此设 y＝ueαx，其中 u＝u(x)是待定函数，对 y＝ue
αx
dy du
＝eαx
＋αueαx
dx dx
d2y d2u
du
求二阶导数
＝eαx
＋2αeαx
＋α2ueαx
dx2 dx2
dx
代入方程(7.5)
d2u du
du
dx dx dx eαx［
＋2α
2
＋α2u］＋peαx［
~
y ＝a0x2＋a1x＋a2
求导数
~
y' ＝2a0x＋a1
~
y" ＝2a0
代入方程有 2a0x2＋(2a0＋2a1)x＋（2a0＋a1＋2a２）＝x2－3
2a0 1
2a0 2a1 0
解得
2a0 a1 2a2 3
a0

1 2
a1


1 2
a2

7 4
~1 1 7 y 所以特解 ＝ x2－ x－
(2)因α＝－2 是特征方程 r2＋5r＋6＝0
~
y ＝x(a0x＋a1)e －2x
(3)因α＝－1 是特征方程 r2＋2r＋1＝0
~
y ＝x2(a0x2＋a1x＋a２)e －x
d2y
例 4. 求方程
＋y＝(x－2)e3x
dx 2
解 特征方程 r２＋1＝0
d2y
特征根 r＝±i 得，对应的齐次方程
因为
er1x ＝e (r1 r2 )x
e r2 x
所以 er1x，er2x 为线性无关函数，由解的结构定理知，方程(7.1) y＝C1er1x＋C2er2x (2)若特征方程(7.2)有两个相等的实根 r1＝r2，此时 p2－4q＝0，即
p
有 r1＝r2＝
，这样只能得到方程(7.1)的一个特解 y１＝er１x，因此，我们
意两个线性无关的特解 y1,y２ 我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它
d2y dy
的特点是
， ，y 各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数 y，
dx2 dx
d2y dy
其
， ，y 之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(7.1)的
dx2 dx
特解，在初等函数中，指数函数 erx
＋
d2u dx 2
)er1x
将它们代入方程(7.1)
du d2u
du
dx dx dx (r21u＋２r1
＋
)er1x＋p(
2
＋r1u)er1x＋quer1x＝0
d2u
du
dx dx ［ 2 ＋(2r1＋p)
＋(r２１＋pr1＋q)u］er1x＝0
p
因为 er1x≠0，且因 r1 是特征方程的根，故有 r２１＋pr１＋q＝0，又因 r1＝－
＋αu］＋queαx＝pn(x)eαx
消去 eαx
d2u
du
＋(2α＋p)
dx 2
＋(α2＋pα＋q)u＝pn（x）
dx
(7.6)
由于(7.6)式与(7.4)形式一致，于是按(7.4)
(1)如果α2＋pα＋q≠0，即α不是特征方程 r2＋pr＋q＝0 的根，则可设(7.6)
的特解 u＝Ｑn(x)，从而可设(7.5)
2
故有 2r1＋p＝0
d2u ＝0
dx 2
d2u
显然满足
＝0
dx 2
u(x)＝x
则 y2＝xerx 是方程(7.1)的另一个特解，且 y1，y2 是两个线性无关的函数，
所以方程(7.1)
y＝C1er1x＋C2xer1x＝(C1＋C2x)er1x
(3)若特征方程(7.2)有一对共轭复根
此时方程(7.1)
二阶常系数线性微分方程的解法
在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求 解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨 论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先
§7.1
d2y dy ＋p ＋qy＝0
dx2 dx
(7.1)
其中 p、q 是常数，由上节定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任
例 2. 求方程
＋4 ＝3x2＋2
dx2 dx
解 自由项 f(x)＝3x2＋2 是一个二次多项式，又 q＝0，p＝４≠0，故设特
解
~
y ＝a0x3＋a1x2＋a2x
求导数
~
y' ＝3a0x2＋2a1x＋a2
~
y" ＝6a0x＋2a1
12a0x2＋（8a1＋6a0）x＋（２a1＋4a2）＝3x2＋2，比较两边同次幂的系数
2
1 (eix－e－ix)＝sinx
2i
1
1
(y1＋y２)＝ eαx(eiβx＋e－iβx
2
2
)＝eαxcosβx
1
1
(y1－y2)＝ eαx(eiβx－e－iβx)＝eαxsinβx
2i
2i
1
1
由上节定理一知， (y1＋y2)， (y1－y2)是方程(7.1)的两个特解，也即
2
2i
eαxcosβx，eαxsinβx 是方程(7.1)的两个特解：且它们线性无关，由上节定理
10 50
d2y dy
例 5. 求方程
－2 －3y＝(x２＋1)e－x
dx2 dx
解 特征方程 r2－2r－3＝0
特征根 r1＝－1，r2＝3
d2y dy
dx dx 所以原方程对应的齐次方程
－2
2
－3y＝0 的通解 Y＝C1e－x＋C2e3x,由
于α＝－1 是特征方程的单根，又 pn(x)＝x2＋1 为二次多项式，令原方程的特解
y＝erx
(其中 r 为待定常数)
dy
d2y
将 y＝erx， ＝rerx，
＝r2erx 代入方程(7.1)
dx
dx 2
得
r2erx＋prerx＋qerx＝0
或
erx（r2＋pr＋q）＝0
因为 erx≠0
r2＋pr＋q＝0
由此可见，若 r
r2＋pr＋q＝0
(7.2)
的根，那么 erx 就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解问题，就转化
~
y ＝x2Qn(x)
下面讨论当α≠0 时，即当 f(x)＝pn(x)eαx
d2y dy dx 2 ＋p dx ＋qy＝pn(x)eαx
(7.5)
的一个特解的求法，方程(7.5)与方程(7.4)相比，只是其自由项中多了一个
指数函数因子 eαx，如果能通过变量代换将因子 eαx 去掉，使得(7.5)化成(7.4)
d2y dy
(1)
＋3 －１０y＝0
dx2 dx
d2y dy
(2)
－4 ＋4y＝0
dx2 dx
d2y dy
(3)
＋4 ＋7y＝0
dx2 dx
解 (1)特征方程 r2＋3r－10＝0
r1＝－5，r2＝2
所求方程的通解 y＝C1e －5r (2)特征方程 r2－4r＋4＝0
C2e 2x
r1＝r2＝2
所求方程的通解 y＝(C1＋C2x)e 2x (3)特征方程 r2＋4r＋7＝0
决，因此下面要解决的问题是求方程(7.3)
方程(7.3)的特解形式，与方程右边的 f(x)有关，这里只就 f(x)的两种常见
一、f(x)＝pn(x)eαx
pn(x)是 n 次多项式，我们先讨论当α＝0 时，即当
f(x)＝pn（x
d2y dy dx 2 ＋p dx ＋qy＝pn(x)
(7.4)
(1)如果 q≠0，我们总可以求得一 n 次多项式满足此方程，事实上，可设特
特征方程 r2＋pr＋q＝0 的根
d2y dy
微分方程
＋p ＋qy＝0 的通解
dx2 dx
有二个不相等的实根 r1，r2
y＝C1er1x＋C2er2x
有二重根 r1＝r2
y＝(C1＋C2x)er1x
有一对共轭复根 r1 i r2 i
例 1.
y＝eαx(C1cosβx＋C2sinβx)
2 24
~
(2)如果 q＝0，而 p≠0，由于多项式求导一次，其次数要降低一次，此时 y
＝Qn(x)不能满足方程，但它可以被一个(n＋1)次多项式所满足，此时我们可设
~
y ＝xQn(x)＝a0xn＋1＋a1xn＋…＋anx
代入方程(7.4)，比较两边系数，就可确定常数 a0，a1，…an
d2y dy
3 3 r1＝－2＋ i r2＝－2－ i
3 3 所求方程的通解 y＝e－2x(C1cos x＋C2sin x)
§7.2
d2y dy ＋p ＋qy＝f(x)
dx2 dx
(7.3)
的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出其一个特解，而 后
相加就得到非齐次方程的通解，而且对应的齐次方程的通解的解法，前面已经解
~
y ＝Qn(x)＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an
~
y a0，a1，…an 是待定常数，将 及
其导数代入方程(7.4)，得方程左右两边都是 n 次多项式，比较两边 x 的同次幂 系数，就可确定常数 a0，a1，…an
d2y dy
例 1. 求
＋ ＋2y＝x2－3
dx2 dx
解 自由项 f(x)＝x2－3 是一个二次多项式，又 q＝2≠0，则可设方程的特
12a0 3 8a1 6a0 0 解得 2a1 4a2 2
a0

1 4
a1

3 16
a2

19 32
~ 1 3 19 y 所求方程的特解 ＝ x3－ x2＋ x
4 16 32
d2y dx (3)如果 p＝0，q＝0，则方程变为 2 ＝pn(x)，此时特解是一个(n＋2)次
~
y ＝x2Qn(x)e αx
例 3.
d2y dy
(1)
＋5 ＋6y＝e 3x
dx2 dx
d2y dy
(2)
＋5 ＋6y＝3xe －2x
dx2 dx
d2y dy
(3)
＋α ＋y＝－(3x2＋1)e －x
dx2 dx
解 (1)因α＝3 不是特征方程 r2＋5r＋6＝0 的根，故方程具有形如
~
y ＝a0e 3x
＋y＝0
dx 2
Y＝C1 cos x＋C２ sin x
由于α＝3 不是特ห้องสมุดไป่ตู้方程的根，又 pn(x)＝x－2 为一次多项式，令原方程的特解
~
y ＝(a0x＋a1)e 3x
du d2u
dx dx 此时 u＝a0x＋a1，α＝3，p＝0，q＝1，求 u 关于 x 的导数
＝a0，
＝
2
0
d2u
du
＋(２α＋p)
二知，方程(7.1)
y＝C1eαxcosβx＋C2eαxsinβx
或
y＝eαx(C1cosβx＋C2sinβx)
其中 C1，C2 为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中α，β分
别是特征方程(7.2)复数根的实
综上所述，求二阶常系数线性齐次方程(7.1)的通解，只须先求出其特征方
程(7.2)
~
y ＝x(a0x2＋a1x＋a2)e－x
此时
u＝a0x3＋a1x2＋a2x，α＝－1，p＝－2，q＝－3
对 u 关于 x
du ＝3a0x2＋2a1x＋a2
dx
d2u dx 2 ＝6a0x＋2a1
d2u
du
代入
＋(2α＋p)
＋(α2＋pr＋q)u＝x2＋1
dx 2
dx
－12a0x2＋(6a0－8a)x＋2a1－4a２＝x2＋1 比较 x
y ＝e(α＋iβ)x 1
y ＝e（α－iβ）x 2
r1＝α＋iβ，r2＝α－i
y＝C e ＋C e （α＋iβ）x 1
（α－iβ）x 2
其中 C1，C2 为任意常数，但是这种复数形式的解，在应用上不方便。在实际
eix＝cosx＋isinx，e－ix＝cosx－isinx
1
有
(eix＋e－ix)＝cosx
~
y ＝Qn(x)eαx
(2)如果α2＋pα＋q＝0，而２α＋p≠0，即α是特征方程 r2＋pr＋q＝0 的 单根，则可设(7.6)的特解 u＝xQn(x)，从而可设(7.5)
~
y ＝xQn(x)e αx
(3)如果 r2＋pα＋q＝0，且２α＋p＝0，此时α是特征方程 r2＋pr＋q＝0 的重根，则可设(7.6)的特解 u＝x2Qn(x)，从而可设(7.5)