第2章 平稳随机信号的功率谱频域特征

2. 证明：
E[ X X (T , ) ] S X ( ) lim T 2T
2
lim
1 E[ X X (T , ) X * X (T , )] T 2T
T T 1 jt1 E[ X (t1 )e dt1 X (t2 )e jt2 dt2 ] lim T T T 2T 1 T T j ( t 2 t1 ) lim E [ X ( t ) X ( t )] e dt1dt 2 1 2 T 2T T T 1 T T j ( t 2 t1 ) lim R ( t t ) e dt1dt 2 X 2 1 T 2T T T
i
0 0

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例4：设随机信号 Y (t ) aX (t ) sin 0t ，其中a,0 皆 X (t )为具有功率谱密度 S X ( )的平稳随 为常数， 机信号。求过程 Y (t ) 的功率谱密度。 解： RY (t , t ) E[Y (t )Y (t )]
0 0

A
e
( j ) 0
j
A

e ( j ) 0
( j )

1 1 A j j 2 A 2 2
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例3：设X (t )为随机相位随机信号
X (t ) A cos(0t )
A, 0为实常数 为随机相位，在 (0,2 ) 均 其中， 匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳随 机信号，自相关函数为
A2 RX ( ) cos(0 ) 2
求 X (t )的功率谱密度 S X ( ) 。
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解：注意此时－ RX ( ) d 不是有限值，即不 可积，因此 RX ( )的付氏变换不存在，需要 引入 函数。
2T

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u 2T
u 2T
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则
2T 1 1 2T S X ( ) lim { 0 d 2T RX ( )e j du T 2T 2
0 2T 1 2T d 2T RX ( )e j du} 2
X X ( )e jt d
称 X X ()为 x(t )的频谱密度，也简称为频谱。
包含：振幅谱 相位
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谱
3
常见的傅立叶变换
t 1
1 2
cos0t 0 0 sin0t j 0 0 1 t e ,t 0 j e
T 2
除以2T 取集合平均
1 E 2T
1 E T x (t )dt 4T
T 2



X X (T , ) d
2
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令T ，再取极限，交换求数学期望和积分的次序
存在
2
非负
E[ X X (T , ) ] 1 T 1 2 lim E [ X ( t )] dt lim d T 2T T 2 T 2T
E[aX(t ) sin 0t aX(t ) sin 0 (t )]
a2 RX ( )[cos0 t cos(20 t 0 )] 2
SY ( ) A RY (t , t ) e j d


X X (T , ) xT (t )e jt dt

x(t )e jt dt
T
T
应用帕塞瓦等式
1 2 T x (t )dt 2 X X (T , ) d 1 T 2 1 2 x (t )dt X X (T , ) d T 2T 4T
机变量，求随机信号 X (t ) 的平均功率。 解： E[ X 2 (t )] E[a 2 cos2 (0t )]
a2 E{ [1 cos(20 t 2)]} 2 2 2 a a 22 cos(20t 2 )d 0 2 2
a2 a2 sin(20 t 2 ) 02 2 2 a2 a2 sin 20t 2

RX ( )
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1


S X ( ) cos d
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3．单边功率谱
由于实平稳过程x(t)的自相关函数 RX ( ) 是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函 数。有时我们经常利用只有正频率部分的 单边功率谱。
2S X ( ) 0 GX ( ) 0 0
RX ( )e j d


T 2T
2T
(注意 RX ( ) 绝对可积，第二项为0)
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推论：对于一般的随机信号X(t)，有：
S X ( ) A RX (t , t ) e j d

1 A RX (t , t ) 2
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X(t)变换的功率谱密度
X t aX t
dX t dt
RX
S X
a 2 RX
d 2 R X d 2
a 2 S X
2 S X
d n X t dtn
1
2n
d 2 n RX d 2 n
功率谱密度。
1. 维纳—辛钦定理 若随机信号X(t)是平稳的，自相关函数R(τ) 以及τ R(τ)绝对可积，则自相关函数与功率谱密 度构成一对付氏变换，即：
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S X ( ) RX ( )e j d


1 j RX ( ) S ( ) e d X 2 我们允许自相关函数和功率谱密度中存在δ 函数
对 S X ( ) 在X(t)的整个频率范围内积分， 便可得到X(t)的功率。 对于平稳随机信号，有：
1 E[ X ( t )] 2
2
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S X ( )d
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三、功率谱密度与自相关函数之间的关系
确定信号： x(t ) X ( j) 随机信号：平稳随机信号的自相关函数
本章要解决的问题
随机信号是否也可以应用频域分析方法? 傅里叶变换能否应用于随机信号？ 相关函数与功率谱的关系 功率谱的应用 采样定理 白噪声的定义
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2.1 随机信号的谱分析
一、预备知识
1. 付氏变换
设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足
• x(t )在(,)范围内满足狄利赫利条件 • x(t )绝对可积，即
1 2



X X ( ) d
2
即
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1 [ x ( t )] dt 2
2



X X ( ) d
2
能量谱密 度
5
二、随机信号的功率谱密度
x(t ) xT (t ) 0 t T t T
应用截取函数
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xT (t ) 的傅里叶变换存在 当x(t)为有限值时，
X (t )不是宽平稳的
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Q A E[ X 2 (t )]
lim
T
1 2T
a2 a2 T ( 2 sin 20t )dt
T
a2 2
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S X ( ) 描述了随机信号X(t)的 功率谱密度： 功率在各个不同频率上的分布—— S X ( )称为 随机信号X(t)的功率谱密度。
t
2 2 2
e j0t 2 0
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2. 帕塞瓦等式
1 jt [ x ( t )] dt x ( t ) X ( ) e ddt 2 X
2
1 jt X ( ) x ( t ) e dtd X 2 1 * X ( ) X ( )d X X 2
2T 1 1 2T lim{ d RX ( )e j du} 2T 2 T 2T 2T 1 2T j lim ( 2 T ) R ( ) e d X T 2T 2T 2T lim (1 ) RX ( )e j d T 2T 2T 2T j RX ( )e j d RX ( )e d lim
2
Q A E[ X 2 ( t )] E[ X 2 ( t )]＝RX (0)
1 2 Q 2



S X ( )d
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a和0 0t ) 例1：设随机信号 X (t ) a cos( ，其中 ） 皆是实常数， 是服从（0， 2 上均匀分布的随
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设 则 所以：
t 2 t1 u t 2 t1
t1 u 2
t2
u
2
1 ( t1 , t 2 ) J 2 ( , u) 1 2
u 2T
-2T
1 2 1 1 2 2
u 2T
t2 T -T t1
u 2T
2n S X
S X 0
X t e j0t
RX e j0t
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例2：平稳随机信号的自相关函数为 RX ( ) Ae ， A>0， 0 ，求过程的功率谱密度。
解：应将积分按＋ 和－ 分成两部分进行
S X ( ) Ae e j d Ae e j d



S X ( )e j d
平均功率为：
1 T 1 2 E [ X ( t )] dt S X ( )d T T 2T 2 lim
利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函 数的性质，又可将维纳—辛钦定理表示成：
S X ( ) 2 RX ( ) cosd
功率Q
S X ( )
1 T 1 2 Q lim E[ X ( t )]dt S X ( )d T T 2T 2
注意： （1）Q为确定性值，不是随机变量 （2）S X ( )为确定性实函数。
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两个结论：
1 . 1 Q A E[ X ( t )] A . lim T 2T 表示时间平均 若平稳
A2 S X ( ) R X ( )e d cos(0 )e i d 2 A2 e j e j j e j0 e j0 e d (cos(0 ) ) 2 2 2 A2 j0 j0 j （ e e ） e d 4 A2 [ ( 0 ) ( 0 )] (e j0 2 ( 0 )) 2


有限个极值 有限个断点

x(t ) dt
• x(t )信号的总能量有限，即
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x(t ) dt
2
断点为有限 值
2
则 x(t ) 的傅里叶变换为：
X X ( ) x(t )e jt dt

其反变换为：
1 x(t ) 2