一元一次方程解题方法

考点名称：一元一次方程的应用

许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；

同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。列一元一次方程解应用题的一般步骤：

列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：

⑴审题：理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）：找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系；

①直接未知数：设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程；

②间接未知数（往往二者兼用）。

一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答题。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。一元一次方程应用题型及技巧：列方程解应用题的几种常见类型及解题技巧：

（1）和差倍分问题：

①倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。

②多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。

③基本数量关系：增长量＝原有量×增长率，现在量＝原有量＋增长量。

（2）行程问题：

基本数量关系：路程＝速度×时间，时间＝路程÷速度，速度＝路程÷时间，

路程=速度×时间。

①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距；

②追及问题：快行距－慢行距＝原距；

③航行问题：

顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度，

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

例：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？

两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？

两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？

两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？

慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？(此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。)

例：一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？

（3）劳力分配问题：抓住劳力调配后，从甲处人数与乙处人数之间的关系来考虑。这类问题要搞清人数的变化。

例.某厂一车间有64人，二车间有56人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？

（4）工程问题：

三个基本量：工作量、工作时间、工作效率；

其基本关系为：工作量=工作效率×工作时间；相关关系：各部分工作量之和为1。

例：一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？

（5）利润问题：

基本关系：

①商品利润=商品售价-商品进价；

②商品利润率=商品利润/商品进价×100%；

③商品销售额＝商品销售价×商品销售量；

④商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量。

⑤商品售价=商品标价×折扣率例.

例：一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？

（6）数字问题：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a，然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；

偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。

例：有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。

（7）盈亏问题：“盈”表示分配中的多余情况；“亏”表示不足或缺少部分。

（8）储蓄问题：

其数量关系是：

利息＝本金×利率×存期；：（注意：利息税）。

本息＝本金＋利息，利息税＝利息×利息税率。

注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率＝月利率×12＝日利率×365。

（9）溶液配制问题：

其基本数量关系是：溶液质量＝溶质质量＋溶剂质量；

溶质质量＝溶液中所含溶质的质量分数。

这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮助理解题意。

（10）比例分配问题：

这类问题的一般思路为：设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。

常用等量关系：各部分之和＝总量。

还有劳力调配问题、配套问题、年龄问题、比赛积分问题、增长率问题等都会有涉及。