量纲分析与相似理论1

FD f (Re)V 2d 2 CD V 2d 2
式中
CD f (Re) 为绕流阻力系数，由实验确定。
§10-3 流动相似的基本概念
一、几何相似
原型和模型对应的线性长度均成一固定比尺。
•长度比尺： •面积比尺： •体积比尺：
Cl
lp lm
CA
Ap
CV
Am Vp
Cl
C C C
故得雷诺准则方程：
CV Cl Vl Vl 1 or ( ) p ( ) m C
即要保证原型流动和模型流动的粘性力相似，则要求两 者对应的雷诺数 Re Vl / 必须相等.
三、欧拉准则：压力相似
要保证原型流动和模型流动的压力相似，则根据 动力相似要求有：
f1 ( , FD ,V , d , ) 0
选基本物理量ρ、V、d，根据π定理，上式可变为
其中
(1, 2 ) 0 1 1 V 1 d 1 FD
2 2 V 2 d 2
例题2
对π1：
M L T ( ML ) ( LT ) L MLT M : 0 1 1
CFp CFI
CG CFp CFT CFI CF
☈说明 •几何相似是运动相似和动力相似的前提； •动力相似是决定流动相似的主要因素； •运动相似是几何相似和动力相似的表现。
§10-4 流动相似的准则
流动相似的本质是原型和模型被同一个物理方程所描述，这个 物理方程即相似准则方程。 一、弗劳德准则——重力相似 要保证原型和模型任意对应点的流体重力相似，则据动力相似要 求有
CG CFI
源自文库 式中：
C Cl Cg 重力比尺：C G ( Vg ) m ( Va ) p 3 C C C l Ca 惯性力比尺： FI ( Va )
m
( Vg ) p
3
C Cl CV
2
2
Ca
CV
2
Cl
故得弗劳德准则方程：
CV V V 1 or ( ) p ( )m Cg Cl gl gl
二、基本量纲与基本物理量
1.基本量纲：具有独立性、唯一性
在工程流体力学中，若不考虑温度变化，则常取质量M、长度L和时 间T三个作为基本量纲。其它物理量的量纲可用基本量纲表示，如 流速 dimv＝LT－1 密度 dimρ＝ML－3

力
dimF＝MLT－2
压强
dim p=M L－1 T－2
2.基本物理量：具有独立性，但不具唯一性 在工程流体力学中，若不考虑温度变化，通常取3个相互独立的物
0 0 0
3 1
1 1
1
2
L : 0 31 1 1 1
1 解上述三元一次方程组得：
故
T : 0 1 2
1, 1 2, 1 2
FD 1 V 2d 2
例题2
同理：
1 2 Vd Re
代入 (1 , 2 ) 0 ，并就FD解出，可得：
Vc k d
dim Vc LT 1 , dim ML3 dim ML1T 1 , dim d L
式中k为无量纲常数。其中，各物理量的量纲为：
例题1
代入指数方程，则得相应的量纲方程
LT 1 ( ML3 ) ( ML1T 1 ) L
即要保证原型流动和模型流动的重力相似，则要求两者对应的弗劳 德数 Fr V / gl 必须相等.
二、雷诺准则：粘性力相似
要保证原型流动和模型流动的粘性力相似，则 根据动力相似要求有：
CFT CFI
式中，粘性力比尺：
du ( A )p dy C FT C Cl CV du ( A )m dy C C Cl CV
F (q1, q2 ,..., qn ) 0
而这些变量中含有m个基本物理量，则可组合这些变量成为(n – m)个无量纲π数的函数关系，即
(1, 2 ,..., nm ) 0
例题2
[例2] 实验发现，球形物体在粘性流体中运动所受阻力FD与球体 直径d、球体运动速度V、流体的密度ρ和动力粘度μ有关，试用 π定理量纲分析法建立FD的公式结构. [解] 假定
理量作为基本物理量。 如ρ(密度)、V(流速)、d(管径)或F(力)、a(加速度)、l(长度)等。 ☈基本物理量独立性判别 任何两个物理量的组合不能推出第3个物理量的量纲，即为3个物理 量相互独立。
三、物理方程的量纲齐次性原理 凡是正确描述自然现象的物理方程，其方程各项的量纲必然相同。 量纲齐次性原理是量纲分析的理论基础。 工程中仍有个别经验公式存在量纲不齐次。 满足量纲齐次性的物理方程，可用任一项去除其余各项，使其变为 无量纲方程。如流体静力学基本方程
2
Vm
Cl
3
二、运动相似 原型和模型的流速场相似，即流场中各对应点的流速大小成比例， 方向相同。 •流速比尺：
CV
Vp Vm
•加速度比尺：
a p Vp / t p CV 2 Ca am Vm / tm Cl
Ct Cl
CV
三、动力相似 原型和模型对应点所受的同名力方向相同，大小成比例。
p p0 gh
用
gh 除其余各项，可得无量纲方程：
p p0 1 gh gh
§10-2 量纲分析法
常用的量纲分析方法有雷利法和白金汉法（也称π定理）。
一、雷利法
定义：直接根据量纲一致原则进行的量纲分析法。 基本思想：假定各物理量之间呈指数形式的乘积组合。
例题1
[例1] 已知管流的特征流速Vc与流体的密度ρ、动力粘度μ和管径d 有关，试用雷利量纲分析法建立Vc的公式结构. [解] 假定
根据量纲齐次性原理，有 M :0 L : 1 3 T : 1 解上述三元一次方程组得： 1, 1, 1 V k c 故得： d 其中常数k需由实验确定.
二、 π定理
基本思想：对于某个物理现象，若存在n个变量互为函数关 系，即