勾股定理的逆定理的应用

P
E 向所成角.
问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要求 角，由此你联想到了什么？
勾股定理逆定理
解：根据题意，得 PQ=16×1.5=24(海里), PR=12×1.5=18(海里), QR=30海里.
N Q
R 21
P
E
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°. ∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入
我领海.
例2 一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中 ∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各 边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗?
D
A
B
图
CD
13
C
5
4
12
A 3B
图
解：在△ABD中，
∴△ABD 是直角三角形，∠A是直角. 在△BCD中， ∴△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求.
P B
北 东
设PQ与AC相交于点D，根据三 C
DA
角形面积公式有
1
2BC·AB=
1 2
AC·BD，
Q
即6×8=10BD，解得BD= 24 .
在Rt△BCD中，CD
5 BC2 BD2
82


24
2

5

6.4(海里).
又∵该船只的速度为12.8海里/时，
6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟），
在Rt△ABC中，
C
AC AB2 BC2 32 42 5, 4
12
在△ACD中，
B
AC2+CD2=52+122=169=AD2，3
D
∴△ACD是直角三角形，
A
13
且∠ACD=90°.
∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.
归纳：四边形问题中对角线是常用的辅助线，它把四
勾股定理的逆定理的应用
学习目标
1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.（重点） 2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问
题.（难点）
问题 前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理的知识 有了一定的认识，你能说出它们的内容吗?
勾股定理
勾股定理的逆定理
Rt△ABC,∠C是直角
a2+b2=c2
BD2=AB2+AD2，
B
∴BD=5m.
C
又∵ CD=12cm，BC=13cm,
∴ BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形. ∴S四=边1形A×BC(D5=×SR1t2△－BC3D×－4S)R=t△2A4B(Dc=m122)B．D•CD－12 AB•AD
A 12cm
2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准 应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现 AB＝ DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所 学知识帮他检验一下挖的是否合格？
解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m， ∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100. 又∵AC2＝92＝81， ∴AB2＋BC2≠AC2， ∴∠ABC≠90°， 故该农民挖的不合格．
边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的
逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，
经常配套使用.
【变式题1】 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知
AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形
ABCD 的面积.
D
解：连结BD.
在Rt△ABD中,由勾股定理，得
A
归纳：解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体 到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数 学知识求解.
【变式题】 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以
西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号
艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向
我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇
航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q、
R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向 航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？N
Q
R
21
P
E
问题1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的问题
是什么？
N
30
Q
“远航”号的航向、两艘船 的一个半小时后的航程及 距离已知，如图.
12×R1.5=182 116×1.5=24 实质是要求出两艘船航
注意其动向，经检测,AC=10海里，BC=8海里，AB=
6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只
最早何时进入我领海？
分析：根据勾股定理的逆定可 得，△ABC是直角三角形，然后
P B
北百度文库东
利用勾股定理的逆定理及直角 三角形的面积公式可求PD，然 C
DA
后再利用勾股定理便可求CD.
Q
解：∵AC=10，AB=6，BC=8， ∴AC2=AB2+BC2， 即△ABC是直角三角形.
(a、b为较短边，c为最长边）
a2+b2=c2
(a、b为直角边，c斜边）
Rt△ABC，且∠C是直角
填一填： (1)已知△ ABC中，BC=41, AC=40, AB=9,则此三角形
为直角 三角形， ∠A 是最大角.
(2)等腰△ ABC中，AB=AC=10cm, BC=12cm,则BC 边上的高是 8 cm.
D
13
C
5
4
12
A 3B 图
练一练
1. A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正 东方向，C在B地的什么方向？
解：∵ BC2+AB2=52+122=169，C
AC2 =132=169，
∴BC2+AB2=AC2，
5cm
即△ABC是直角三角形， B ∠B=90°.
故C在B地的正北方向．
13cm
2 勾股定理及其逆定理的综合应用
例1 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3， BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
解析：连结AC，把四边形分成两个三角形.先用勾 股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判 断△ACD是直角三角形.
C
4
12
B
3
D
A
13
解：连结AC.
思考 前面我们已经学会了用勾股定理解决生活中 的很多问题，那么勾股定理的逆定理解决哪些实际 问题呢？你能举举例吗？
在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需 要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定 理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧！
1 勾股定理的逆定理的应用
例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航” 号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方 向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时