追及问题和避碰问题临界条件的证明

追及问题和避碰问题临界条件的证明

向进

（宜都二中 湖北 宜都 443300）

匀变速直线运动中的追及问题和避碰问题是涉及两个物体运动关系的典型问题。关于这两个问题，学生从小学就开始接触，初中接着学习。高中继续讲这个问题，只是在问题之中加入了加速度a ，成为匀变速直线运动的追及问题和避碰问题。

对于这类问题，大多数辅导书上给出了以下结论：

① 减速物体追赶同向的匀速或匀加速运动物体，恰能追上的临界条件是：追上时两者速度相同；如追不上，则两者速度相同时距离最近。

② 加速物体追赶同向匀速或匀加速及匀减速物体，追上前具有最大距离的临界条件是两者速度相同。

但是对于以上结论，辅导书上并没有给出严格的证明。下面笔者给出以上结论的严格证明。

由于两个物体均做匀变速直线运动，所以可以假设前面物体A 的初速度为01V ，加速度为1a ，后面物体B 的初速度为02V ，加速度为2a ，开始两物体相距0S ，则 当A ，B 两物体运动时间)0(>t t 后，

A 物体位移2

121

01t a t V S A +=， B 物体位移2

2

21

02t a t V S B += 两物体相距 0S S S S B A +-=∆

02

221022121

01S t a t V t a t V +--+= 002012

211)()(S t V V t a a +-+-=

0212020122102012121

)(2)())((S a a V V a a V V t a a +-----+-= 此即当2

10201a a V V t ---

=时，S ∆取极值， 此时)

(2)(212

02010a a V V S S ---=∆；

而此时A 物体的速度1

21022011011a a a V a V t a V V --=+=， B 物体的速度121022012022a a a V a V t a V V --=

+=， 即21V V =。

所以当前后两物体速度相同时，两物体相距为极值。

ⅰ 当021<-a a 时，S ∆取极大值，满足①结论。

ⅱ当021>-a a 时，S ∆取极小值，满足②结论。 如果开始两物体相距)

(2)(212

02010a a V V S --=则0=∆S ，即当两物体速度相同时，两物体刚好相遇。

对于以上结论，参考有关资料，我认为可以换一中说法：追及物体与被追及物体的速度相等，是追及问题中的临界条件。根据不同的条件，速度相等是两物体距离最大，最小或恰好追上的临界点。