试验三杨氏模量的测定梁弯曲法

实验三杨氏模量的测定(梁弯曲法)

【实验目的】

1、学会用攸英(Ewing)装置测量长度的微小变化；

2、用梁的弯曲法测定金属的杨氏模量．

3、研究梁的弯曲程度与梁的长度、宽度、厚度、负重等之间的关系

【实验仪器】

攸英(Ewing)装置，砝码若干(200g/个)，螺旋测微计，游标卡尺，百分表．

【实验原理】

材料受外力作用时必然发生形变，其内部应力(单位面积上受力大小)和应变(即相对形变)的比值称为弹性模量，这是衡量材料受力后形变大小的参数之一，是设计各种工程结构时选用材料的主要依据之一。

本实验采用弯曲法测量钢的纵向弹性模量(也称杨氏模量)。实验中涉及较多长度量的测量，应根据不同测量对象，选择不同的测量仪器。如用百分表测量梁的驰垂量。本实验采用逐差法处理数据，该方法的优点在于能充分利用多次测量的数据，减小随机误差。

攸英装置如图3-1所示，在二支架上设置互相平行的钢制刀刃，将待测棒放在二刀口上，在两刀刃间的中点处，挂上有刀刃的挂钩和砝码托盘，往托盘上加砝码时待测棒将被压弯，通过放在金属框上的百分表测量出棒弯曲的驰垂量。

图3-1 实验装置图

百分表的构造如图

3-2，测棒D 缩入后，指针则指出D 缩入的长度。刻度零

点的调整方法为：松开固定螺丝，旋转刻度表，可将0刻度点移至指针所指的位置，再旋紧固定螺丝即可。数据读取时，外面大圈每格代表0.01mm ，而小圈每格为1.0mm 。图3-2中小圈指针在3-4之间而外圈在31-32之间，所以读数为：3.314mm ，最后一位为估读数值。

将宽度为a 、厚度为b 的规则矩形长梁，两端自由地放在相距为L 的一对在同一水平面内的平行刀口上，在梁上两刀口的中点处（L/2处）悬挂质量为m 的砝码（如图3-3），梁受压弯曲，中点处下垂，设其驰垂量为λ。在梁的弹性限

图3-3 梁受压弯曲

度内，如不计梁本身的重量，则有

3

34E a b

m g L =λ （3-1） 式中E 为梁的弹性模量。由（3-1）式得

图3-2百分表

3

34ab

mgL

E λ= （3-2） 只要测出（3-2）式右边各有关物理量就可求出E 。(3-2)式的详细推导如下：

图3-4为梁的纵断面的一部分，在相距dx 的21A A 二点上的横断面，弯曲后成一小角度θd ，显然梁的上半部分为压缩状态，下半部为拉伸状态。而中间层尽管弯曲但长度不变。

图3-4 金属压缩拉伸示意图

设距中间层为y 、厚度为dy ，形变前长度为dx 的一段，弯曲后伸长量为yd θ，它所受拉力为dF 。根据胡克定律有

dx yd E ds dF

θ=

式中ds 表示形变层的横截面积，即ds ＝ady 。于是

ydy dx d Ea

dF θ

=

此力对中间层的转矩为dM 。即

dy y dx d Ea

dM 2

θ=

而整个横断面的转矩M 为

dx

d a

Eb dy y dx d Ea dM M b

b

θθ320220

12122===⎰⎰

（3-3）

若将梁的中点O 固定在O 点两侧各为

2

L

处，分别施以向上的力mg 21（如图

3-5），则梁的弯曲程度应当同图3-2所示的完全一致。

图3-5 弯曲梁受力分析图

梁上距中点O 为x 、长为dx 的一段，由弯曲而下降的d λ等于

θλd x L

d )2(

-= （3-4）

当梁平衡时，外力mg 2

1

在dx 处产生的力矩应当等于由式（3-3）求出的M ，即

dx

d a Eb x L mg θ3121)2(21=- 由此式求出d θ代入式（3-4）中并积分，求出弛重量，即

3320

2

3

4)2(6E a b

m g L dx x L Eab mg

L =-=

⎰

λ （3-5） 即3

34ab

mgL

E λ= 【实验方法与步骤】

1、将攸英(Ewing)装置放置在水平的桌面上，并调节底座旋钮，直至水平位置

2、将待测金属杆放在两支座上端的刀口上，套上金属框并使刀刃刚好在仪器两刀口的中间。

3、将百分表安置在金属框上(具体按实验室仪器的要求)。并将测棒D 压至表中的读数为2mm 左右。

4.在砝码盘上依次加砝码，共加5次，每次加砝码重为200克，百分表初始读数为0n ，依次为54321,,,,n n n n n ，并将数据记录表格中（见后面数据记录部分）。

5.按相反的次序，依次减去砝码，并读出百分表的读数并记录。

6. 用相对应的长度测量工具，分别测量梁的长度L ，梁的厚度a 和梁的宽度 b 。其中b 、a 分别取不同位置5次测量取平均值。

7.将所测量出的数据带入式（3-2），即可求出该待测梁的杨氏模量E 。为减小测量误差，除多次测量取平均值外，可用逐差法处理数据。用分组逐差法计算令

)(0n n i -=λ，3

)

()()(2514030n n n n n n n n i -+-+-=

-，此时g m 600=，所以由

(3-2)式就可以计算杨氏模量E ；并计算误差E ∆。（误差公式为：

， 其中不计砝码质量的误差）。

参考数据表格： 1、数据测量记录：

光杆干平面镜到尺子的距离L= 每个砝码的质量m= g

2、梁的厚度和宽度

0)(33n n n n a a b b L L E E i i --∆+∆+∆+∆=∆3)(5

432100

n n n n n n n n i ∆+∆+∆+∆+∆+∆=-∆