勾股定理的逆定理应用ppt课件
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勾股定理的逆定理-完整版课件
一、探究勾股定理的逆定理：
2、实验探究： （1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数 为边长画出三角形（单位：cm），它们是直角三角形吗？ ① 2.5，6，6.5； ② 6，8，10． （2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数． （3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，QR=30. ∵24²+18²=30²， 即PQ²+PR²=QR²， ∴△PQR为直角三角形，即∠QPR=90°. ∵∠1=45°， ∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
练习4、如图，如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东 为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的 速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知 A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得离C艇 的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
2
2
∴BE= AB•BC60.
B
AC 13
.
在Rt△BCE中，由勾股定理得，
N
∴CE= BC 2BE 2 12 2(60 )2144
13 13
∴最早进入时间≈0.85小时=51分钟.
.
9时50分+51分=10时41分.
答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.
五、课堂小结：
1、利用勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形的一般步骤： ①确定最大边长c； ②计算a2+b2和c2的值, 若a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形； 若a2+b2<c2，则此三角形是钝角三角形； 若a2+b2>c2，则此三角形是锐角三角形. 2、互逆命题表明两个命题在形式上的关系，将一个命题的题设和结论互换 即可得到它的逆命题，当原命题成立时，它的逆命题不一定成立，即互逆 的两个命题不一定同真或同假. 3、已知一三角形的三边的长度时，首先应对该三角形进行判断，判断最长 边的平方是否等于其余两边的平方和，如何满足这一条件则此三角形为直 角三角形.
勾股定理的逆定理ppt课件
数学 八年级上册 SK
第
勾股定理
3
章
3.2 勾股定理的逆定理
-
3.2 勾股定理的逆定理
探究与应用
探 活动1 探索并应用勾股定理的逆定理,体会“数”与
究
“形”的内在联系
与
应 [思考探究]
用 1.写出“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”
的逆命题.
解:如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方,那么
是钝角三角形;如果a2+b2>c2,那么这个三角形是锐角三角形.
探 究
[概括新知]
与 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长分别为a,b,c,且a2+
应
用 b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
探 归纳 勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别
究
与
勾股定理
勾股定理的逆定理
应 用
在Rt△ABC中,∠C=90°, 在△ABC中,BC=a,AC=b, 条件
例2 C [解析] A项,82+52≠172,不能构成直角三角形,故不 是勾股数,不符合题意; B项,1.5,2,2.5不都是正整数,故不是勾股数,不符合题意; C项,52+122=132,且5,12,13都是正整数,故是勾股数,符合题 意; D项,32+42≠62,不能构成直角三角形,故不是勾股数,不符合 题意. 故选C.
根据勾股定理,可得A'B'2=a2+b2.
因为AB2=a2+b2,
所以A'B'2=AB2,所以A'B'=AB.
根据“SSS”,可证△ABC≌△A'B'C'.
于是,∠C=∠C'=90°,
第
勾股定理
3
章
3.2 勾股定理的逆定理
-
3.2 勾股定理的逆定理
探究与应用
探 活动1 探索并应用勾股定理的逆定理,体会“数”与
究
“形”的内在联系
与
应 [思考探究]
用 1.写出“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”
的逆命题.
解:如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方,那么
是钝角三角形;如果a2+b2>c2,那么这个三角形是锐角三角形.
探 究
[概括新知]
与 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长分别为a,b,c,且a2+
应
用 b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
探 归纳 勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别
究
与
勾股定理
勾股定理的逆定理
应 用
在Rt△ABC中,∠C=90°, 在△ABC中,BC=a,AC=b, 条件
例2 C [解析] A项,82+52≠172,不能构成直角三角形,故不 是勾股数,不符合题意; B项,1.5,2,2.5不都是正整数,故不是勾股数,不符合题意; C项,52+122=132,且5,12,13都是正整数,故是勾股数,符合题 意; D项,32+42≠62,不能构成直角三角形,故不是勾股数,不符合 题意. 故选C.
根据勾股定理,可得A'B'2=a2+b2.
因为AB2=a2+b2,
所以A'B'2=AB2,所以A'B'=AB.
根据“SSS”,可证△ABC≌△A'B'C'.
于是,∠C=∠C'=90°,
《勾股定理的逆定理》勾股定理PPT精品课件
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
∵32+42=52，∴满足.
猜想：
命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直
角三角形。
这个命题和前面学的命题1（勾股定理）之间有什么关系吗？
1.题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题。
2.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
勾股定理的逆定理
1、理解勾股定理的逆定理。
2、了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命题不一
定为真命题。
3、应用勾股定理的逆定理解决实际问题。
学习目标
学习目标
1.理解勾股定理的逆定理及证明过程。
2.能简单的运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.利用勾股定理逆定理解决实际问题
重点
运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
命题2是正确的吗？你能试着证明吗？
利用勾股定理逆定理判断直角三角形
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？
1）a=15 ，b=8 ，c=17
2）a=13 ，b=14 ，c=15
解：∵152+82=289，172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
∴∠QPR=90°。
P
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS=45°。 ∴∠RPS=45°，
即“海天”号沿西北方向航行。
E
利用勾股定理逆定理判断直角三角形
满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（
A．BC＝1，AC＝2，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5
）
B．BC＝1，AC＝2，AB＝
∵32+42=52，∴满足.
猜想：
命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直
角三角形。
这个命题和前面学的命题1（勾股定理）之间有什么关系吗？
1.题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题。
2.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
勾股定理的逆定理
1、理解勾股定理的逆定理。
2、了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命题不一
定为真命题。
3、应用勾股定理的逆定理解决实际问题。
学习目标
学习目标
1.理解勾股定理的逆定理及证明过程。
2.能简单的运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.利用勾股定理逆定理解决实际问题
重点
运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
命题2是正确的吗？你能试着证明吗？
利用勾股定理逆定理判断直角三角形
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？
1）a=15 ，b=8 ，c=17
2）a=13 ，b=14 ，c=15
解：∵152+82=289，172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
∴∠QPR=90°。
P
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS=45°。 ∴∠RPS=45°，
即“海天”号沿西北方向航行。
E
利用勾股定理逆定理判断直角三角形
满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（
A．BC＝1，AC＝2，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5
）
B．BC＝1，AC＝2，AB＝
1勾股定理的应用PPT课件(华师大版)
分析：由于车宽1.6米，所以卡车能否
通过，只要比较距厂门中线0.8米处的
高度与车高即可.如图所示，点D在离厂
门中线0.8米处，且CD⊥AB，与地面相
交于点H.
讲授新课
解：在Rt△OCD中，由勾股定理，可得
CD OC 2 OD2 12 0.82 0.6，
CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9＞2.5.
的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸
边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解： 设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得:BC2+AC2=AB2
即
52+x2=(x+1)2
25+x2= x2+2x+1，
可见高度上有0.4米的余量，因此卡
车能通过厂门.
讲授新课
2、有一根高为16米的电线杆在A处断裂，如图所示，电线杆的
顶部C落在离电线杆底部B处8米远的地方，求电线杆断裂处A到
地面的距离．
根据题意可知在Rt△ABC中，
∠ABC =90°，BC=8米，AB＋
AC=16米．若设AB=x米，则
AC=(16-x)米，然后根据勾股定理
90°.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ AB·BC＋
AC·AD＝ ×4×3＋ ×5×12＝36.
∵36×30=1080（元），
∴这块地全部种草的费用是1080元．
讲授新课
练一练
1、一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示
八年级数学下册教学课件《勾股定理的逆定理的应用》
（2）a = 41 ，b = 4，c = 5；
∵b2 + c2 = 42 + 52 = 16 + 24 = 41，a2 = ( 41 )2 = 41， ∴b2 + c2 = a2.
由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形.
（3）a = 5 ，b = 1，c = 3 ；
4
4
∵b2 + c2 = 12 + ( 3 )2 = 1 + 9 = 25，a2 = ( 5 )2 = 25 ，
由勾股定理得：EF2 = EC2 + FC2 = 5x2，
B
E
C
AE2 = AB2 + BE2 = 20x2，AF2 = AD2 + DF2 = 25x2 = 25x2，
∴EF2 + AE2 = 25x2 = AF2.
由勾股定理的逆定理知，∠AEF = 90°.
拓广探索 【选自教材 P34】
7. 我们知道 3，4，5 是一组勾股数，那么 3k，4k，5k （k 是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果 a，b， c 是一组勾股数，那么 ak，bk，ck（k 是正整数）也是 一组勾股数吗？
课堂小结
勾股理的 逆定理
判断一个三角形是不是直角三角形 判断航行方向 计算不规则四边形面积
综合运用 【选自教材 P34】
4. 在△ABC 中，AB =13，BC = 10，BC 边上的中线
AD =12. 求 AC.
解：在△ABD中，BD =
1 2
BC
=
5.
AD
=
12，AB
=
13.
∵BD2 + AD2 = 52 + 122 = 25 + 144 =169，
【教学课件】《勾股定理的逆定理+第1课时》精品教学课件
(1) a=7，b=24，c=25； (2) a=7，b=8，c=11.
解： (1) ∵最大边是c=25， c²=625，a²+b²=7²+24²=625， ∴a²+b²=c². ∴ △ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角.
(2) ∵最大边是c=11， c²=121，a²+b²=7²+8²=113， ∴a²+b²≠c². ∴ △ABC不是直角三角形.
证明猜想 已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2. 求证：△ABC是直角三角形.
△ABC是直角三角形
∠C是直角
构造两直角边分别为 a,b的Rt△A′B′C′
△ABC ≌ △A′B′C′
∠C=∠C ′=90°
A
c
b
B
a
C
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
∴ △ABC是直角三角形.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三
勾
角形是直角三角形.
股
定
勾股定理与其逆定理的关系
A
理
勾股定理与其逆定理是互逆定理.
c
b
的
勾股定理
逆
直角三角形
a²+b²=c² B a C
勾股定理的逆定理
操作 请你动手画一画吧.用圆规、直尺作△ABC，使得AB=5，AC=4， BC=3，如图，量一量∠C，它是90°吗？
(1)画射线AM，然后以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线AM于点B; (2)分别以点A，B为圆心，线段AC、BC长为半径画弧，两弧相交于点C；
解： (1) ∵最大边是c=25， c²=625，a²+b²=7²+24²=625， ∴a²+b²=c². ∴ △ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角.
(2) ∵最大边是c=11， c²=121，a²+b²=7²+8²=113， ∴a²+b²≠c². ∴ △ABC不是直角三角形.
证明猜想 已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2. 求证：△ABC是直角三角形.
△ABC是直角三角形
∠C是直角
构造两直角边分别为 a,b的Rt△A′B′C′
△ABC ≌ △A′B′C′
∠C=∠C ′=90°
A
c
b
B
a
C
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
∴ △ABC是直角三角形.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三
勾
角形是直角三角形.
股
定
勾股定理与其逆定理的关系
A
理
勾股定理与其逆定理是互逆定理.
c
b
的
勾股定理
逆
直角三角形
a²+b²=c² B a C
勾股定理的逆定理
操作 请你动手画一画吧.用圆规、直尺作△ABC，使得AB=5，AC=4， BC=3，如图，量一量∠C，它是90°吗？
(1)画射线AM，然后以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线AM于点B; (2)分别以点A，B为圆心，线段AC、BC长为半径画弧，两弧相交于点C；
北师大版《勾股定理的应用》ppt优质课件3
例主3。在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.
2、如满图足，的四条边件形；ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积。
若2、是如，图哪，一四条边边形所A对BC的D中角，是A直B⊥角A？D请，说已明知理AD由=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积。
勾股定理的应用 （二）
本将聚焦
• 1、勾股定理的逆定理 • 2、勾股数 • 3、勾股定理的应用
考点评析
勾股定理逆定理与勾股数是判断直角三角形的 两个常用方法，常与勾股定理结合应用于各种 问题，题型以选择题、填空题和解答题为主。
知识回顾
概念1 勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三边满足
，
那么这个三角形就是直角三角形。
2、满足的条件； 为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图①.
（3）最短距离问题：在几何图形上移动的最短 （1）直角三角形的三边与面积应用：分别以直角三角形三边为边长向外作正多边形或半圆，以斜边为边的面积等于一直角边为边长的
面积和。
∴
。
勾（股二定 ）理的轨应用迹，可由“立体图形的展开图”，做起点与
B
牛奶盒
A 10cm
8cm 6cm
小试身手
1. 为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯
罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图①.已知 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.
27、，以24下，各25组数为B. 三角形的三边长，其中“不能”构成直角三角形的是（ ）
《勾股定理的逆定理》参考课件
在△ABC中，
∵a2 + b2 = c2
∴△ABC是直角三角形
例2 如图，已知AB⊥AD，AD=4，BC=12，CD=13， AB=3，能判断BC ⊥ BD吗？证明你的结论.
解： BC ⊥ BD.证明如下： ∵ AB⊥AD ∴ΔBAD是直角三角形. ∴ BD 2=AD2+AB2=42+32 =25 在ΔBCD中， ∵BC2+BD2=122+25=132 =CD2 , ∴ ΔBCD是直角三角形，且CD是斜边， ∠CBD=90º . ∴ BC ⊥ BD
4．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1 格上的△ABC是____5，20，24，25 它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是
6.如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m， CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面 积。
结论：如果三角形的三边长a、b、c
满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是 直角三角形。
（做题小技巧：先找出最长边，如果两
短边的平方和等于长边的平方，那么这
个三角形就是直角三角形，反之，则不 是。)
勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平 方和等于第三边的平方，那么这个三角形
是直角三角形。
符号语言：
◆学习目标：
1、经历直角三角形判别条件的探究过程，体会 命题、定理的互逆性。 2、探索并掌握直角三角形判别思想，会应用勾 股定理的逆定理解决实际问题。
◆学习重点：
理解并掌握勾股定理的逆定理，并会应用。
◆学习难点：
探索并掌握直角三角形判别思想，会应用勾股 定理的逆定理解决实际问题。
请各小组按照下面各自对应的序号，选取合适 的单位利用圆规和刻度尺做出三角形,然后用量 角器量出三角形的最大的内角，并确定三角形的 形状。 (1)3,4,5 (2)6,8,10 （(3)15,36,39 (4)14,48,50 (5)2,3,4 (6)3,5,6, (7)20,25,30 (8)30,50,60
∵a2 + b2 = c2
∴△ABC是直角三角形
例2 如图，已知AB⊥AD，AD=4，BC=12，CD=13， AB=3，能判断BC ⊥ BD吗？证明你的结论.
解： BC ⊥ BD.证明如下： ∵ AB⊥AD ∴ΔBAD是直角三角形. ∴ BD 2=AD2+AB2=42+32 =25 在ΔBCD中， ∵BC2+BD2=122+25=132 =CD2 , ∴ ΔBCD是直角三角形，且CD是斜边， ∠CBD=90º . ∴ BC ⊥ BD
4．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1 格上的△ABC是____5，20，24，25 它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是
6.如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m， CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面 积。
结论：如果三角形的三边长a、b、c
满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是 直角三角形。
（做题小技巧：先找出最长边，如果两
短边的平方和等于长边的平方，那么这
个三角形就是直角三角形，反之，则不 是。)
勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平 方和等于第三边的平方，那么这个三角形
是直角三角形。
符号语言：
◆学习目标：
1、经历直角三角形判别条件的探究过程，体会 命题、定理的互逆性。 2、探索并掌握直角三角形判别思想，会应用勾 股定理的逆定理解决实际问题。
◆学习重点：
理解并掌握勾股定理的逆定理，并会应用。
◆学习难点：
探索并掌握直角三角形判别思想，会应用勾股 定理的逆定理解决实际问题。
请各小组按照下面各自对应的序号，选取合适 的单位利用圆规和刻度尺做出三角形,然后用量 角器量出三角形的最大的内角，并确定三角形的 形状。 (1)3,4,5 (2)6,8,10 （(3)15,36,39 (4)14,48,50 (5)2,3,4 (6)3,5,6, (7)20,25,30 (8)30,50,60
《勾股定理的逆定理》勾股定理PPT课件(第2课时)
13
4
12
┐
3
探究新知
解：连接BD 在Rt△ABD中
∵AB=3，AD=4 ∴BD= AB 2 AD 2 =5
在△BCD中 ∵CD=13 , BC=12
∴CD2=BC2+BD2
13
45
12
┐
3
∴△BCD是直角三角形 ∴∠DBC=90°
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD = 1×3×4+ 1×5×12=36
此时四边形ABCD 的面积是多少?
5、 已知a、b、c为△ABC的三边,且 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC的形状.
思维训练
6、△ABC三边a,b,c为边向外作 正方形，正三角形，以三边为 直则径作是半直圆角，三若角S形1+吗S2=？S3成立，
C
S2
A
b
ca
能替工人师傅想办法完成任务吗?
9.三个半圆的面积分别为S1=3π， S2=4π，S3=7π，把三个半圆拼成如 右图所示的图形，则△ABC一定是
直角三角形吗？
B
C
D
B'
A'
A
B
勾股定理：
如果直角三角形的两直角边为a，b， 斜边长为c ，那么a2+b2=c2.
B
反过来，如果一个 a
c
三角形的三边长a、b、
（C）1:2:4; （D）1:3:5.
3. 三角形的三边分别是a、b、c, 且满足
(a+b)2-c2=2ab, 则此三角形是:( )
A. 直角三角形;
B. 是锐角三角形;
八年级数学勾股定理的逆定理课件-应用
人教版
第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
(2)在图2中，画一个三边长分别为3，2， 13的三角形，一共可以画 16 个这样的三角形. 解析:如图2,一共可以画16个这样的三角形.
图2
数学
八年级 下册
人教版
第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
10.在某小区在社区工作人员及社区居民的共同努力之下，
数学
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
8.如图，明明在距离水面高度为5 m的岸边C处，用绳子拉船 靠岸，开始时绳子BC的长为13 m.若明明收绳6 m后，船到 达D处，则船向岸边A处移动了多少米?
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
解:∵开始时绳子BC的长为13 m,明明收绳6 m后,船到达D处,
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
知识点 勾股定理逆定理的应用 【例题】如图，甲船以5海里/时的速度离开港口O沿南偏东 30°方向航行，乙船同时同地沿某方向以12海里/时的速度 航行.已知它们离开港口2小时后分别到达B，A两点，且AB ＝26海里.你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
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目 录
CONTENTS
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理 第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
01 课标要求
02 基础梳理
03 典例探究
04 课时训练
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勾股定理及其逆定理的运用PPT教学课件
命题
如果……
那么……
题设
结论
提示：这可 是假命题哟
若（x-2）（x-1）=0 则：x=1
把下列命题改写成“如果,那么”的形 式,并分别指出命题的题设与结论.
1、对顶角相等。
1
2
2、在一个三角形中，等角对等边。
解：1、如果两个角是论是：
2、如果在一个三角形中有两个角相
等，那么这两个角
B 所对的边也相等。题设是：结论是：
C
添加“如果”、“那么”后，命题的 意义 不能改变，改写的句子要完整，语句
要通顺，使命题的题设和结论更明朗， 易于分辨，改写过程中，要适当增加 词语，切不可生搬硬套。
小考卷2
一、把下面的命题改写成“如果……那 么……”的形式。 1、两直线平行，同旁内角互补。 2、同圆的半径相等。 3、有两个角相等的两个三角形相似。 4、等角的补角相等。 5、圆是轴对称图形，又是中心对称图形。
勾股定理及其 逆定理的应用
温故知新
①勾股定理及其逆定理，你能叙述吗？
②下列各组数中不能作为直角三角形三边的是(C )
A. a 8 B. a 5
4
b 15 b 1
c 17 c 3
4
C. a 13 b 14 c 15
D. a 1.5 b 2 c 2.5
③在△ABC中，AB=7，BC=24，AC=25. 则∠B =90º.
例题分析
1.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口， 各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开 港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航” 号沿东北方向航行，能知道“海天” 号沿哪个方向航行吗？
巩固练习
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勾股定理的逆定理应用
万全区第一初级中学
李德明
.
勾股定理逆定理的使用格式：
bc
因为：a2+b2=c2
a
所以：三角形是直角三 角形。
.
勾股定理的逆定理 在三角形中，若两边的平方和等于第三边的平方， 则这个三角形是直角三角形，
即在 ABC中，若a2+b2=c2，则 ABC是以 C900
为直角的三角形, c为最长边
【解】由于( 2 6 ) 2 ( 2 2 ) 2 2 4 8 3 2 ( 4 2 ) 2 ,
所以△ABC是以∠C为直角的三角形．于是
1
1
2 AB·CD＝2 BC·AC，
CD2 62 2 6 42
.
例题3：
• 如图，是一块四边形绿地示意图， 其中AB长24米，BC长20米，CD长15 米，DA长7米，∠ C=90度
345
3 4 12
3.下列各组线段中能够成直角三角形的是（ ）
A、9、41、42
C、1 、1 、5 3 4 12
B、1 、1 、1 234
D、4、5、6
.
1．以下各组正数为边长，能组成直角三角形的
是（ B ）．
A．a-1，2a，a+1
B．a-1，2 a ，a+1
C．a-1， 2 a ，a+1
D．a-1，a，a+1
若a2+b2不等于c2，则 ABC 不是直角三角形.
.
注意:
满足 a2b2c2的三个正整数,称为勾股数.勾股数扩大 相同倍数后,仍为勾股数. 勾股定理的逆定理作为判断一个三角形是否是 直角三角形的依据之一,
其运用步骤为: ①确定最大边 ②验证a2+b2与 c2是否具备相等关系.如若a2+b2=c2，则
m∴=5△,nA=B4.C则是a直=9角,b三=角40形,c=41,c最大。
.
(二)解答题：
如果△ABC的三边分别为a、b、c且满足 a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c， 判定△ABC的形状.
这个三角形是直角三角形．
.
已知△ABC中，AC＝2 6 ，BC＝2 2 ， AB＝4 2 ，求AB上的高CD的长.
解:根据题意画图,如图所示:
PQ=16×1.5=24
N Q
PR=12×1.5=18
S
QR=30
∵242+182=302,
R
即 PQ2+PR2=QR2 ∴∠QPR=900
P
E
由”远航“号沿东北方向航行可 知,∠QPS=450.所以∠RPS=450,
即“海天”号沿西北方向航行. 或东南方向
如图，在△ABC中，三边的长分别 是AB=13cm,AC=12cm,BC=5cm,CD ⊥ AB于D，那么△ABC是什么形状的三 角形，并求出CD的长.
求：绿地ABCD的面积。
A
7
D
24
25 15
20
C
.
B
一个零件的形状如下图所示，按规定
这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人
师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个
零件符合要求吗?
此时四边形ABCD
的面积是多少?
13
C
D
4
5
12
A3
B.
思考题
某港口位于东西方向的海岸线上， “远航” 号、“海天”号轮船同时离开港口，各自 沿一固定方向航行，“远航”号每小时航 行16海里，“海天”号每小时航行12海里。 它们离开港口一个半小时后相距30海里。 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能 知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
ABC是以 C900的直角三角形；c为最长边，若
a2+b2不等于c2，则 ABC不是直角三角形
.
③应用勾股定理(或勾股逆定理)研究解决问题的关键 是发现图中存在的直角三角形或通过添加辅助线, 在图中构造出直角三角形,有时借助方程、方程组 和代数运算；有些代数问题，其数量关系具有 “勾股关系”，根据这种关系设计、构造出相应的 几何图形，然后借助图形的几何性质去解决代数问题， 这就是“数形结合”的思想
.
观察下列表格：
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.
即b=
，c=
.
1.如果线段a,b,c的比如下 ,则能组成直角三角形的是( )
A、1：2：4 C、3：4：7
B、：3：5 D、5：12：13
2.下列几组数中为勾股数的是（ ）
A、3、4、6
B、5、12、13
C、 1 、1 、1
D、 1 、1 、5
A C 2 B C 2 A B 2 , A C B 9 0 0 ,SACB
Q
SACD
1 2
AD·CD
1436 2
1 2
AC·CB151230
2
S 四 边 形 A B C D S A C B S A C D . 3 0 6 2 4
例4 如图. ABC 中, CDAB于D,且
ABC 求证:
.
例题2
已知△ABC三角形的 分三 别边 为 a,b,c 且a= m2 -n2,b=2mnc,=m2 n2 (m>n,m,n是正整数)， △ABC是直角三 吗角 ?说 形明理由
分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，
可解 ： 以Q 代a 2 m ,b n2 为 ( m 满2 足 n 条2 ) 2 件 ( 2 的m n 特) 2 殊 ( 值m 2 来 n 试2 ) 2 ， c 2
求这块地的面积．
C
解 ： 连 接 A C , Q A D C = 9 0 0 ， A D C 是 直 角 三 角 形
Q A D 4 m ,C D 3 m ,
5
3
12
D
所以根据勾股定理有：
4
A C 2A D 2C D 242322552 A
13
B
A C5.
QA B13m ,B C12m A C 2B C 25 2 1 2 2 1 6 9 , AB2132169
.
中考链接
已知：如图 ，四边形ABCD
中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，
CD ＝ 12 ， AD ＝ 13, 求 四 边 形
ABCD的面积?
S C
四边形ABCD=36
B D
准备好了吗? A
.
例3 如图的一块地, AD C900,AD4m ,
C D 3 m ,A B 1 3 m ,B C 1 2 m ,
C
12cm
5cm ？
∟
A
B 13cm D
.
证明：∵AB=13,AC=12,BC=5, AC²+BC²=12²+5²=144+25=169=13²=AB², ∴ △ABC是直角三角形，且∠ ACB=90°, AC ⊥ BC. 又∵S△ABC=1/2AC×BC=1/2×12×5=30,
∵CD ⊥ AB, S△ABC=1/2AB×CD=30, ∴CD=30×2/13=60/13.
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.
勾股定理逆定理的使用格式：
bc
因为：a2+b2=c2
a
所以：三角形是直角三 角形。
.
勾股定理的逆定理 在三角形中，若两边的平方和等于第三边的平方， 则这个三角形是直角三角形，
即在 ABC中，若a2+b2=c2，则 ABC是以 C900
为直角的三角形, c为最长边
【解】由于( 2 6 ) 2 ( 2 2 ) 2 2 4 8 3 2 ( 4 2 ) 2 ,
所以△ABC是以∠C为直角的三角形．于是
1
1
2 AB·CD＝2 BC·AC，
CD2 62 2 6 42
.
例题3：
• 如图，是一块四边形绿地示意图， 其中AB长24米，BC长20米，CD长15 米，DA长7米，∠ C=90度
345
3 4 12
3.下列各组线段中能够成直角三角形的是（ ）
A、9、41、42
C、1 、1 、5 3 4 12
B、1 、1 、1 234
D、4、5、6
.
1．以下各组正数为边长，能组成直角三角形的
是（ B ）．
A．a-1，2a，a+1
B．a-1，2 a ，a+1
C．a-1， 2 a ，a+1
D．a-1，a，a+1
若a2+b2不等于c2，则 ABC 不是直角三角形.
.
注意:
满足 a2b2c2的三个正整数,称为勾股数.勾股数扩大 相同倍数后,仍为勾股数. 勾股定理的逆定理作为判断一个三角形是否是 直角三角形的依据之一,
其运用步骤为: ①确定最大边 ②验证a2+b2与 c2是否具备相等关系.如若a2+b2=c2，则
m∴=5△,nA=B4.C则是a直=9角,b三=角40形,c=41,c最大。
.
(二)解答题：
如果△ABC的三边分别为a、b、c且满足 a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c， 判定△ABC的形状.
这个三角形是直角三角形．
.
已知△ABC中，AC＝2 6 ，BC＝2 2 ， AB＝4 2 ，求AB上的高CD的长.
解:根据题意画图,如图所示:
PQ=16×1.5=24
N Q
PR=12×1.5=18
S
QR=30
∵242+182=302,
R
即 PQ2+PR2=QR2 ∴∠QPR=900
P
E
由”远航“号沿东北方向航行可 知,∠QPS=450.所以∠RPS=450,
即“海天”号沿西北方向航行. 或东南方向
如图，在△ABC中，三边的长分别 是AB=13cm,AC=12cm,BC=5cm,CD ⊥ AB于D，那么△ABC是什么形状的三 角形，并求出CD的长.
求：绿地ABCD的面积。
A
7
D
24
25 15
20
C
.
B
一个零件的形状如下图所示，按规定
这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人
师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个
零件符合要求吗?
此时四边形ABCD
的面积是多少?
13
C
D
4
5
12
A3
B.
思考题
某港口位于东西方向的海岸线上， “远航” 号、“海天”号轮船同时离开港口，各自 沿一固定方向航行，“远航”号每小时航 行16海里，“海天”号每小时航行12海里。 它们离开港口一个半小时后相距30海里。 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能 知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
ABC是以 C900的直角三角形；c为最长边，若
a2+b2不等于c2，则 ABC不是直角三角形
.
③应用勾股定理(或勾股逆定理)研究解决问题的关键 是发现图中存在的直角三角形或通过添加辅助线, 在图中构造出直角三角形,有时借助方程、方程组 和代数运算；有些代数问题，其数量关系具有 “勾股关系”，根据这种关系设计、构造出相应的 几何图形，然后借助图形的几何性质去解决代数问题， 这就是“数形结合”的思想
.
观察下列表格：
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.
即b=
，c=
.
1.如果线段a,b,c的比如下 ,则能组成直角三角形的是( )
A、1：2：4 C、3：4：7
B、：3：5 D、5：12：13
2.下列几组数中为勾股数的是（ ）
A、3、4、6
B、5、12、13
C、 1 、1 、1
D、 1 、1 、5
A C 2 B C 2 A B 2 , A C B 9 0 0 ,SACB
Q
SACD
1 2
AD·CD
1436 2
1 2
AC·CB151230
2
S 四 边 形 A B C D S A C B S A C D . 3 0 6 2 4
例4 如图. ABC 中, CDAB于D,且
ABC 求证:
.
例题2
已知△ABC三角形的 分三 别边 为 a,b,c 且a= m2 -n2,b=2mnc,=m2 n2 (m>n,m,n是正整数)， △ABC是直角三 吗角 ?说 形明理由
分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，
可解 ： 以Q 代a 2 m ,b n2 为 ( m 满2 足 n 条2 ) 2 件 ( 2 的m n 特) 2 殊 ( 值m 2 来 n 试2 ) 2 ， c 2
求这块地的面积．
C
解 ： 连 接 A C , Q A D C = 9 0 0 ， A D C 是 直 角 三 角 形
Q A D 4 m ,C D 3 m ,
5
3
12
D
所以根据勾股定理有：
4
A C 2A D 2C D 242322552 A
13
B
A C5.
QA B13m ,B C12m A C 2B C 25 2 1 2 2 1 6 9 , AB2132169
.
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已知：如图 ，四边形ABCD
中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，
CD ＝ 12 ， AD ＝ 13, 求 四 边 形
ABCD的面积?
S C
四边形ABCD=36
B D
准备好了吗? A
.
例3 如图的一块地, AD C900,AD4m ,
C D 3 m ,A B 1 3 m ,B C 1 2 m ,
C
12cm
5cm ？
∟
A
B 13cm D
.
证明：∵AB=13,AC=12,BC=5, AC²+BC²=12²+5²=144+25=169=13²=AB², ∴ △ABC是直角三角形，且∠ ACB=90°, AC ⊥ BC. 又∵S△ABC=1/2AC×BC=1/2×12×5=30,
∵CD ⊥ AB, S△ABC=1/2AB×CD=30, ∴CD=30×2/13=60/13.