例谈数学翻折问题的解题方法

例谈初中数学翻折问题的解题方法

翻折作为几何变换的一种,在中考试卷中愈来愈受命题人的青睐,主要原因是想通过在考査平面几何变换的基础知识点的同时也要学生学会掌握运用数学思想与方法解决问题的能力。

初中数学中的几何变换一般是指平移、对称（翻折）和旋转.《数学课程标准》在课程目标中已明确指出“经历探索物体与图形的基本性质、变换、位置关系的过程”，我们知道，图形的变换不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置，故解题时可充分利用图形变换的特征，把图形位置进行改变，从而达到优化图形结构，进一步整合图形（题设）信息的目的，使较为复杂的问题得以创造性地解决。 要求初中阶段的学生理解基本的几何变换,通过有关数学知识的技能学习,逐步领会方程思想、函数思想、分类讨论思想等基本数学思想。笔者下面以近几年各地中考中的翻折问题为例,简单叙述翻折问题的解答过程以及涉及到的数学思想与方法。

一、纸片中的折叠

例1．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（ ）

解：∵∠α = ∠1，∠2 = ∠1 ∴∠α = ∠2

∴2∠α+∠AEB=180°， 即2∠α+30°=180°， 解得∠α=75°．

本题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB 是以折痕AB 为底的等腰三角形。

例2．如图，将一宽为2cm 的纸条，沿BC ，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为 。 解：作CD ⊥AB ，

∵CE ∥AB ，∴∠1=∠2，

根据翻折不变性，∠1=∠BCA ， 故∠2=∠BCA ． ∴AB=AC ．

又∵∠CAB=45°，

∴在Rt △ADC 中，AC = 2 2 ，AB = 2 2

S △ＡＢＣ ＝ 1

2

AB ×CD = 2 2

在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC 。

a 2

1

30°B

E

F A C D

二、三角形中的折叠

例3、在△ABC 中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE 沿DE 进行不同的折叠得△C ′DE ，对折叠后产生的夹角进行探究：

（1）如图（1）把△CDE 沿DE 折叠在四边形ADEB 内，则求∠1+∠2的和； （2）如图（2）把△CDE 沿DE 折叠覆盖∠A ，则求∠1+∠2的和；

（3）如图（3）把△CDE 沿DE 斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C 的关系．

分析：（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE ，∠2=180°-2∠CED ，再根据三角形内角和定理比可求出答案；

（2）连接DG ，将∠ADG+∠AGD 作为一个整体，根据三角形内角和定

理来求；

（3）将∠2看作180°-2∠CED ，∠1看作2∠CDE-180°，再根据三角形内角和定理来求．

解：（1）如图(1)

∠1+∠2=180°- 2∠CDE +180°- 2∠CED =360°- 2（∠CDE+∠CED ）

=360°-2（180°- ∠C ） =2∠C =60°；

（2）如图(2) 连接DG ，

∠1+∠2=180°- ∠C ′-（∠ADG +∠AGD ） =180°-30°-（180°-80°） =50°；

（3）如图(3)

∠2-∠1=180°- 2∠CED -（2∠CDE - 180°） =360°- 2（∠CDE + ∠CED ） =360°- 2（180°- ∠C ） =2∠C

所以：∠2 - ∠1=2∠C ．

由于等腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形时常常会出现等腰三角形。

例4：．如图，直角三角形纸片ABC 中，AB=3，AC=4，D 为

21图(1)

C'A C B

D

E

1

2

图(3)

C'

A

B

C

D

E

21

图(2)G

C'

A B

C

D

E

三、矩形中的折叠

例5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积．

分析：

∵点C 与点E 关于直线BD 对称，∴∠1 = ∠2

∵AD ∥BC ，∴∠1 = ∠3 ∴∠2 = ∠3

∴FB = FD

设FD = x ，则FB = x ，FA = 8 – x 在Rt △BAF 中，BA 2 + AF 2 = BF 2 ∴62 + (8 - x)2 = x 2 解得x = 25

4

E

B

A

所以，阴影部分的面积S △FBD = 12 FD ×AB = 12 ×254 ×6 = 754 cm

2

重合部分是以折痕为底边的等腰三角形

例6：矩形ABCD 中，AD =5，AB =3，将矩形ABCD 沿某直线折叠，使点A 的对应点A ′落在线段BC 上，再打

开得到折痕EF ．

（1）当A ′与B 重合时（如图1），EF = ；当折痕EF 过点D 时（如图2），求线段EF 的长； （2）观察图3和图4，设BA ′=x ，①当x 的取值范围是 时，四边形AEA′F 是菱形；②在①

的条件下，利用图4证明四边形AEA′F 是菱形．

解： (1) 5

由折叠（轴对称）性质知 5A D AD '== 90A EA D '∠=∠=° 在Rt △A DC '中，DC AB ==3 ∴ 22534A C '=-= ∴541A B BC A C ''=-=-= 设A E AE x '==，则3BE x =-

在Rt △EBA '中，2

2

2

A E BE A

B ''=+

∴()22

31x x =-+ 解得：53

x =

在Rt △A EF '中，22255102593

EF A E A D ''=+=

+= （2）①35x ≤≤ ②证明：

由折叠（轴对称）性质知AEF FEA '∠=∠ ,AE A E AF A F ''== 又 ∵AD ∥BC

∴∠AFE=∠FEA′ ∴∠AEF=∠AFE ∴AE=AF ∴AE A E A F AF ''=== ∴四边形AEA F '是菱形．

注意折线的变化，使得得到的图形也发生变化，翻折是全等变换，关注对应边、对应角的相等，结合

勾股定理，平行线的性质就可解决问题。

四、圆中的折叠

例7．如图，将半径为8的⊙O 沿AB 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，则折痕AB 长为 。

图1 图2 图3 图4