极限思想

（3）极限思想的完善
极限思想的完善与微积分的严格化密切联系。在很长一段时间里，微 积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能如愿以偿。 到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须 将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义。其 中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比 任意给定的值更为接近第一个量”，它接近于极限的正确定义； 到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述 了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次 所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就 多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的 数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限 0 ，就说这个变量成为无 穷小”。
（1）函数在点连续的定义，是当自变量的增量时，函数值的增量趋于零的极 限。
（2）函数在点导数的定义，是函数值的增量与自变量的增量之比，当时的极 限。 （3）函数在上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。
（4）数项级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义的。
解决问题的极限思想
极限思想创立在数学发展史上是一个重要转折 ,它不但成为高等数学 发展的基础,也成为了众多相关科学发展的数学分析工具。它在天文学、 力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用 科学个分支中，有越来越广泛的应用。毋庸置疑,随着现代科学的发展 和各学科间的相互交融 ,微积分与数学仍将会进一步丰富和发展 ,人们 也要进一步将微积分的极限思想和数学的理论应用于实践。
八丶结论
目录 Contents
九丶参考文献
什么是极限思想？
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为 基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。 所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思 想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量， 先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就 是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。 极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函 数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要 问：“数学分析是一门什么学科 ? ”那么可以概括地说：“数学分析 就是用极限思想来研究函数的一门学科”
在建筑学中的应用
对于地下隧道的稳定性评价一直缺乏一个合适的评判指标，传统方法无法算出地 下洞室工程的安全系数和威严的破坏面，仅凭应力、位移、拉应力区和塑性 区大小很难确定地下洞室工程的安全度与破裂面 。当前工程上尚没有隧道稳 定安全系数的概念，一般按照经验对隧道围岩的稳定性先进行分级。 极限分 析法通过对岩土体强度参数的折减，使岩土处于极限状态，因而有可能使岩 土体显示潜在的破裂面，并求得安全系数 ，这在边（滑）坡稳定分析中取得 了成功，但应用于地下洞室工程中算出的塑性区往往是一大片，而不像边 （滑）坡岩土体内存在明显的剪切带，因而要找出围岩内的破裂面比较困难。 本文研究表明，隧道围岩发生塑性应变突变时的情况就是围岩发生破坏流动 的情况，因而只要找出围岩塑性应变发生突变时的塑性区各断面中塑性应变 值最大的点，并将其连成线，就可得到围岩的潜在破坏面（如上图所示）， 同时可求得地下洞室的安全系数，本文所说的隧道稳定安全系数是指隧道整 体安全系数，即把非等强度的真实岩体视为均质等强的岩体，据此求出安全 系数。
关键词：极限思想；发展过程；辨证哲学；应用
13施工（一）班. 吴福康 学号：1301350114 13工程造价（2）班.黄玉瑜 学号：1301140208
一丶什么是极限思想？ 二丶极限思想的产生与发展 三丶建立概念的极限思想 四丶极限思想与辩证哲学的联系 五丶极限思想在生活中的应用 六丶在建筑学中的应用 七丶在宏观经济学中的应用
圆面积的探讨运用了“无限分割”的思想方法，同时也体现了“化曲为直，化 整为零，积零为整，逐渐趋近近视值”的极限思想。
极限思想在生活中的应用
例 两人坐在方桌旁，相继轮流往桌面上平放一枚同样大小的硬币。当 最后桌面上只剩下一个位置时，谁放下最后一枚，谁就算胜了。设两 人都是高手，是先放者胜还是后放者胜？
建立概念的极限思想
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概
念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方 法, 然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数 的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如：
在宏观经济学中的应用
近年我国居民消费物价指数出现了快速上涨的现象，通货膨胀压力逐步显现，已成为国 家宏观经济调控的一个中心问题。本轮价格上涨发端于猪肉价格上涨，此后引发了食品 价格的上涨和更大范围的价格上升，食品价格相对于整体消费价格上升非常突出。从结 构分解角度看，食品价格上涨主导了本次通货膨胀的上升，且具有明显的结构性特征。 围绕中国目前通货膨胀的形成核心原因以及如何治理目前的通货膨胀等问题，大量学者 和研究机构对此进行了激烈的争论。本文作者认为，此次以粮食为主的物价上涨，除了 自然灾害造成粮食减产的一部分原因外，还有一个不可忽视的原因是为应对 2008 年金 融海啸各国实行扩张性财政政策和货币政策多产生的副作用，在刺激增加 GDP 的同时， 也造成了物价的上涨。
极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于 资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只 用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提 供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立 微积分的社会背景。 起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困 难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量 与时间的改变量之比表示运动物体的平均速度，让无限趋近于零，得到物体 的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要 性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在 有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任 意给定的差，则最终就成为相等”[ ]。但牛顿的极限观念也是建立在几何直 观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接 近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，n无限地接近于常数A， 那么就说n以A为极限”。 这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读物中还经常采用 这种定义。但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系， 不能作为科学论证的逻辑基础。
在唯物辨证法中， 任何事物都具有质和量两个方面，都是质和量的统 一体。量变是质变的准备， 量的变化达到一定的度， 就不可避免地 引起质变，只有质的变化才是事物根本性质的变化，量变质变规律在 数学研究工作中起重要作用。
刘徽割圆术
公元前三世纪古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球 冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积 分学的思想，作为微分学基础的极限理论来说，早在古代就有比较清 楚的论述，比如我国的庄周所著的《庄子》一书的"天下篇"中，记有" 一尺之棰，日取其半，万世不竭"，三国时期的刘徽在他的割圆术中提 到"割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而 无所失矣，"这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
极限思想的产生与发展
（1）极限思想的由来
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。极限的思想可以追 溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用[]； 古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避 免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
（G· 波利亚称“由来已久的难题”） G· 波利亚的精巧解法是“一猜二 证”： 猜想（把问题极端化） 如果桌面小到只能放下一枚硬币，那 么先放者必胜。 证明（利用对称性） 由于方桌有对称中心，先放者 可将第一枚硬币占据桌面中心，以后每次都将硬币放在对方所放硬币 关于桌面中心对称的位置，先放者必胜。
极限思想与辩证哲学的联系
4丶极限思想是近似与精确的对立统一。 在极限抽象的概念中，引入实例如“圆内接正多边形面积”，其内结 多边形面积是该圆面积的近似值，当多边形的边数无限增大时， 内结 多变形面积无限接近圆面积，取极限后就可得到圆面积的精确值，这 就是借助极限法，从近似认识精确。 5丶极限思想是量变与质变的对立统一。
从波利亚的精巧解法中，我们可以看到，他是利用极限的思想考察问 题的极端状态，探索出解题方向或转化途径。 极限思想是一种重要的 数学思想，灵活地借助极限思想，可以避免复杂运算，探索解题新思 路搜索，
极限思想运用
极限思想是一种重要的数学思想，在数学中十分常见。所谓极限思想 是用联系变动的观点，把所考察的对象看作是某个对象在无限变化过 程中变化结果的思想。它体现了“从有限中找到无限，从暂时中找到 永久，并且使之确定起来”的一种运动辩证思想。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的 穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。 如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”
所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限 逼近圆面积并以此求取圆周率的方法。
（2）极限思想的发展
极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法， 也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许 多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面 积、曲面体体积等问题），正是由于它采用了极限的思想方法。
有时我们要确定某一个量，首先确定的不是这个量的本身而是它的近 似值，而且所确定的近似值也不仅仅是一个而是一连串越来越准确的 近似值；然后通过考察这一连串近似值的趋向，把那个量的准确值确 定下来。这就是运用了极限的思想方法。
一、极限思想在数与代数中的渗透 （一）数的认识中的蕴含的极限思想 （二）数的运算中蕴含的极限思想
极限思想运用
二、极限思想在图形与几何中的渗透 （一）图形认识中蕴含的极限思想 （二）图形度量中蕴含的极限思想
极限与微积分的关系
学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们 已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以，必须要利用代数处理代 表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。
这就让我们再次开始考虑，一个国家运用宏观调控手段来影响经济是否是画蛇添足，或 者说这只“看得见的手”是否运用Байду номын сангаас太过频繁。
为了研究这个问题，我们可以运用极限思想，从宏观经济体制的两个极端来
考虑，也就是一切生产都由国家控制的计划经济和国家从不干涉的市场经济。
结论
本文主要阐述了极限思想的由来、发展过程、及完善。并建立极限 思想的概念和解决极限思想的问题，让同学们知道极限思想与辩证哲 学的联系，和在数学教材中丶生活中丶工程等等常见运用到的极限思 想。
极限思想与辩证哲学的联系
1丶极限思想是变与不变的对立统一。 “变”与“不变”反映了客观事物运动变化与相对静止两种不同状态， 不变是相对的，变是绝对的，但它们在一定条件下又可相互转化。 2丶极限思想是过程与结果的对立统一。 过程和结果在哲学上是辩证统一的关系， 在极限思想中也充分体现了 结果与过程的对立统一。 3丶极限思想是有限与无限的对立统一。 在辨证法中，有限与极限是对立统一的。无限与有限有本质的不同， 但二者又有联系， 无限是有限的发展，同时借助极限法，从有限认识 无限。