人教版八年级上册整式的乘法与因式分解单元总结与归纳

整式的乘法

同底数幂的乘积

为正整数）n m a a a n m n m ,(+=•

注意点：（1）必须清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。

（2）前提必须是同底数，指数才可以相加

（3）底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，

（4）指数都是正整数

（5）三个或三个以上的同底数幂相乘，即为正整数）p n m a

a a a p n m p n m ,,(++=••Λ （6）不要与整式加法相混淆。

（7）这个公式是可逆的为正整数）n m a a a

n m n m ,(•=+

类型一：x 3·x 4 = x n

·x 4 = ________3=⋅a a ________32=⋅⋅a a a ； 3x 2·x n ·x 4=

=⨯⨯252222=•+12n n y y ；

类型二：(1) 已知x

m-n ·x 2n+1=x 11,且y m-1·y 4-n =y 5,求mn 2

的值。

(2)若22m ·8=2n ,则n=

类型三：(1)、 (- )(- )2(- )3 (2)、 -a 4·(-a)4·(-a)5

(3)、 (x-y)3(y-x)(y-x)6 （4）、 201220112-)

-2(）（+

类型四：已知2a =3, 2b =6, 2c =12，试探究a 、b 、c 之间的关系；

1. 幂的乘方

为正整数）n m a a mn n m ,()(=

注意点：（1）幂的底数a 可以是具体的数也可以是多项式。

（2）不要和同底数幂的乘法法则相混淆

（3）公式的可逆性：

为正整数）n m a a n m n m ,()(=+；为正整数）n m a a a mn m n n m ,()()(=

（4）公式的扩展:

为正整数）p n m a a mnp p n m ,,(])[(=

为正整数）,,()(])[(n m b a b a mn n m +=+

类型一：(a 3)5 = ; =-3)(3m x ; =•n a a 32)(;

[(a+b )2]3=; [(a 2)5]3=;

类型二：【例1】若3y 2x 5,35,25

+==求y x

【例2】若,510,410==m n 求,101032m n +的值；

【例3】已知3344555,4b ,3a ===c ，试比较a,b,c 的大小;

2. 积的乘方 ()为正整数）n b a n n (ab n =

注意点：（1）注意与前二个法则的区别： （2）积的乘方推广到3个以上因式的积的乘方()为正整数）n a a a a a a a n m n n m (a 321n 321ΛΛ=••

（3）每个因式可以是单项式，多项式，或者其他代数式

（4）每个因式都要乘方，然后将所得的幂相乘

（5）公式的可逆性：()为正整数）n b a n n (ab n

= (6) 幂的乘方,积的乘方的可逆性： a mn =(a m )n =(a n )m

类型一：________)(3=ab ；________)2(32=-b a ；

________)5(223=-b a

类型二：【例1】当ab=

，m=5, n=3, 求(a m b m )n 的值。

【例2】若a 3b 2=15，求-5a 6b 4

的值。

【例3】如果3m+2n=6，求8m ·4n 的值。

【例4】 （1）解方程3-2x 1x 1x 623

=•++（2）解方程116

7431-x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛

【例5】已知a x =5，a x+y =25，求a x +a y 的值．

【例6】已知：2x =4y+1，27y =3x-1，求x ﹣y 的值

类型三：【例】计算： 20102011)99

001(10099(⨯-）31515)2(0.125⨯

4.单项式乘法法则：

【例】

y x 32⋅)5)(2(22xy y x -)2()3(22xy xy -⋅2232)()(b a b a ⋅-

5.单项式与多项式相乘的乘法法则：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

【例】

)(c b a m ++)532(2+--y x x )25(32b ab a ab +--

6.多项式乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

【例1】

)6)(2(-+x x )12)(32(+--y x y x ))((22b ab a b a +-+

【例2】：解方程与不等式

18)1)(9()2)(3(-++=--a a a a （4+3y)(4-3y)>9(y-2)(y+3)

【例3】确定参数a 的值.

36)18)(2(2++=--ax x x x 36))((2++=-+ax x q x p x

题型一：确定参数的值

【例】若()()n x x mx +-++38x 22展开式中不含3x 项和2x 项，求m,n 的值，并写出展开式中的最后结果

练习：

()()

后的结果的值，并写出展开式最项，求的乘积中不含和k x k x x x 222333x +-++

题型二：整式乘法的实际应用

【例1】：小明将现金x 元存入银行，年利率为a ，到期后他又连本带利存入该银行，形式还是1年期，蛋年利率调整为b ，那么一年后，小明能获得的本息总和是多少（扣除5%的利息税）

练习：一种商品进价是p 元，他的价格提高10k%，再打k 折，则售价是元

【例2】：．观察下列各式： 2311=233321=+23336321=++23333104321=+++

……