函授高数专升本大纲及复习题

高等数学教学大纲

（函授专升本）

由于在专科阶段已经学习过高等数学，虽然各校、各专业的要求会有所差异，但是必定学习了一元函数微积分，故在本科阶段主要学习：微分方程；向量代数与空间解析几何；多元函数微积分及级数。具体要求如下：

一．一元函数微积分概要

掌握一元函数微积分中的极限、导数、积分等基本概念与基本运算。

二．微分方程

内容

微分方程及其阶、解、通解、特解与初始条件的概念变量可分离的方程齐次方程一阶线性方程可降阶的高阶方程线性微分方程解的结构二阶常系数齐次与非齐次线性微分方程微分方程的简单应用

要求

⑴理解微分方程及其阶、解、通解、特解、初始条件等概念。

⑵掌握变量可分离与一阶线性方程的解法

⑶会解齐次方程。

⑷会解三类可降阶的高阶微分方程。

⑸了解二阶线性微分方程解的结构。

⑹掌握二阶常系数齐次与非齐次线性微分方程的解法。

⑺会用微分方程解某些简单的应用问题。

三．向量代数与空间解析几何

内容

空间直角坐标系空间点直角坐标两点间距离公式向量定义模单位向量向量的坐标方向角方向余弦向量的线性运算向量的数量积向量的向量积平面的点法式方程、一般式方程、截距式方程直线的点向式方程、一般式方程、参数式方程点到平面的距离平面与平面的夹角直线与直线的夹角直线与平面的夹角曲面方程的概念旋转曲面母线平行于坐标轴的柱面方程空间曲线的一般式与参数式

方程空间曲线在坐标面上的投影常见的二次曲面

要求

⑴掌握空间直角坐标系；空间点的直角坐标及两点间距离公式。

⑵理解向量定义、模、单位向量、向量坐标、方向角及方向余弦的概念。

⑶掌握向量的线性运算；向量的数量积、向量积。

⑷会判定两向量的平行与垂直。

⑸会求平面方程与直线方程。

⑹会求点到平面的距离；会求平面与平面、直线与直线、平面与直线间的夹角。

⑺掌握求旋转曲面方程；认识母线平行于坐标轴的柱面方程的特征。

⑻认识空间曲线的一般式与参数式方程。

⑼会求空间曲线在坐标面上的投影。

⑽掌握椭球面、椭圆锥面及椭圆抛物面。

四．多元函数微分学

内容

多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限和连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质偏导数与全微分的概念全微分存在的必要条件与充分条件多元复合函数、隐函数的的求导法二阶偏导数空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线极值与条件极值的概念多元函数极值的必要条件二元函数极值的充分条件极值的求法拉格朗日乘数法最大值、最小值及其简单应用

要求

⑴理解二元函数、极限、连续的概念。

⑵理解偏导数概念；掌握复合函数与隐函数偏导数的求法。

⑶理解全微分的概念；了解全微分存在的必要条件与充分条件；了解全微分形式的不变性；会求全微分。

⑷了解连续、可偏导、可全微分的关系。

⑸理解空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念，并会求它们的方程。

⑹理解极值存在的必要条件；二元函数极值存在的充分条件，掌握求二元函数的极值。

⑺了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求简单的应用问题。

五．多元函数积分学

内容

二重积分的概念及性质二重积分的计算及应用三重积分的概念及性质三重积分的计算及应用两类曲线积分的概念、性质、关系及计算格林公式平面曲线积分与路径无关的条件已知全微分求原函数

对面积曲面积分的概念

要求

⑴理解二重积分的概念，性质及几何意义。

⑵掌握二重积分的计算法（直角坐标、极坐标）。

⑶了解三重积分的概念，性质。

⑷会求三重积分（直角坐标，柱面坐标，球面坐标）。

⑸理解两类曲线积分的概念、性质、物理意义及关系。

⑹掌握计算两类曲线积分的方法。

⑺掌握格林公式，并会用它求曲线积分。

⑻会判定平面曲线积分与路径无关，并会求全微分的原函数。

⑼会用重积分、曲线积分求一些几何量（平面图形的面积、空间立体的体积、曲面的面积及曲线的弧长）与物理量（质量、重心及转动惯量）。

六．无穷级数

内容

常数项级数收敛与发散的概念级数的基本性质级数收敛的必要条件几何级数与p—级数的收敛性正项级数的比值、比较及根值审敛法交错级数与莱布尼兹定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛幂级数及其收敛半径和收敛区间幂级数的运算幂级数的和函数函数的幂级数展开式

要求

⑴理解常数项级数收敛、发散的概念；收敛级数的和的概念。

⑵理解级数的基本性质，掌握级数收敛的必要条件。

⑶掌握正项级数的比较、比值与根值判定法。

⑷掌握交错级数的莱布尼兹判定法。

⑸理解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念，会判定任意项级数的绝对收敛与条件收敛。

⑹掌握几何级数、p—级数收敛与发散的条件。

⑺理解幂级数及其收敛半径的概念，掌握求幂级数收敛半径与收敛区间的方法。

⑻了解泰勒级数的形式，会用间接法将函数展开成幂级数。

⑼会求简单的幂级数的和函数。

学时分配

高等数学的总学时为130，其中自学学时为80，面授学时为50，具体内容的学时数分配如下，供任课老师参考。

参考教材：

《高等数学》（专升本）李永琪、许红娅、薛秀谦编著浙江大学出版社

高等数学复习题

（函授专升本）

第一章 一元函数微积分概要

1、求下列各极限

① 3lim n

n n n →∞+⎛⎫

⎪⎝⎭

②

lim x →+∞

③ 0lim sin x x x e e x

-→-

④ 0

11lim sin

sin x x x x x →⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭

⑤ 0

lim x

x x +

→ ⑥ 2

20

6

sin lim

x x t dt x →⎰

2、试解下列各题

① 设 ()

arctan ,x y e = 求 ,,.y y dy ''' ② 设 ()

2,y f x = 求 ,.y y '''

③ 设 ()2ln 1arctan x x y t x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求

22,.dy d y dx dx ④ 设 1,y

y xe =-求 dy dx

及在点 ()0,1 处的切线与法线方程。

⑤ 设

()0

cos ,x

f t dt x x =⎰ 求().f x

⑥ 求函数 3

2

26187y x x x =--- 的单调区间与极值。 3、求下列各积分 ① 32sin 2x

x e

dx ⎛⎫

- ⎪⎝

⎭

⎰ ②

⎰