复变函数第一章

设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 ,
1. 加（减）法
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ).
• 由于复数可以用向量表示，故复数的加减法 满足平行四边形（或三角形）法则，
y
z2
z1 z2
y z2 z1 z2
z1
z1
o
x
o
x
z1 z2 z1 z2
·学习方法：
复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函 数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多 相似之处，但又有不同之点，在学习中要善于
比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性 质与结果。 • 历史背景： 复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为 使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实 数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对 复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计 算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们 把复数看作不能接受的“虚数”。直到十八世 纪，J.D’Alembert(1717-1783)L.Euler(17071783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意
复变函数
• 教 材：《复变函数与积分变换》(第四版) 西安交通大学高等数学教研室编
• 总 学 时：32学时 • 教师姓名：赵金刚
课程介绍
• 研究对象： 复变函数（自变量为复数的函数）
• 主要任务： 研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是
复数域上的微积分。
• 主要内容： 复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、 级数、留数等。
学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。 二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用理
论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中 其它分支的联系也日益密切。
第一章 复数与复变函数
◆§1 复数及其运算 ◆§2 复球面与区域 ◆§3 复变函数 ◆§4 复变函数的极限与连续
第一节 复数及其运算
◇ 一 复数的概念 ◇ 二 复数表示法 ◇ 三 复数的运算 ◇ 四 例题
义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函 数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被 人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和 发展。
复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy(1789-1866)和K.Weierstrass(18151897)分别应用积分和级数研究复变函数， G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映 照性质。他们是这一时期的三位代表人物,经过 他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理 论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力
2
arctan
y x
x 0, y R
x 0, y 0
x 0, y 0 x 0, y 0
当z落于一,四象限时，不变。 当z落于第二象限时，加 。
当z落于第三象限时，减 。
arctan y
2
x2
●
由xy
r cos r sin
得
z r(cos i sin )
• 复数z 的实部Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . • 当y=0时, z= x为实数。
当 y 0 时， z称为虚数，特别的x=0时称为纯虚 数。 • 两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.
• 两复数一般不能比较大小.
二 复数表示法
y
• 易见 z 0 z 0
y
Pz x iy
• 显然 x z , y z ,
o
z x y,
x
x
定义 当z≠0，时以正实轴 为始边, 以向量 OP
为终边的角的弧度数 称为复数z=x+iy的辐角，记
为Argz.
• 当z=0时，辐角不确定。
• 任何一个复数 z 0有无穷多个辐角 如果1 是其中一个辐角, 那么 z 的全部辐角为
Argz 1 2kπ (k为任意整数).
定义 在 z ( 0)的辐角中, 把满足 π 0 π 的0
称为Argz 的主值, 记作0 arg z.
• Argz arg z 2k (k Z) • 当z 0时，tan(argz) y / x
计算
argz(z≠0) 的公式
arg
z
arctan y x
即 z1 z2 z1 z2
Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2 .
其中，r>0为复数的模， 为复数的一个辐
角，此即为复数的三角形式。
5. 指数表示法
再由Euler公式 :
e i cos i sin得
z re i
上式即为复数的指数表示式。 • 复数的各种形式之间可相互转化（主要是指代 数形式可化为三角形式和指数形式），以适应不 同问题的需要。
三 复数的运算
一 复数的概念
1. 虚数单位: 实例: 方程 x2ห้องสมุดไป่ตู้ 1在实数集中无解.
为了解方程的需要, 引入一个新数 i, 称为虚数单位.
对虚数单位的规定: (1) i2 1;
(2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行 四则运算.
2.复数:
定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi为复数。
1. 代数表示式
z=x+iy 称为复数的代数表示形式。
2. 点的表示
复数z=x+iy 二元有序数组（x,y）平面上 坐标为（x,y）的点。
z x iy 平面上的点 P(x, y)
复数z x iy可用平面上坐标为( x，y)的点P表示. 此时，x轴 — 实轴 y轴 — 虚轴 平面 — 复平面或z平面
点的表示：z x iy 复平面上的点P( x，y)
数z与点z同义.
3. 向量表示法
z x iy 点P( x，y) OP { x, y}
可
z
用
向 量OP表
0 OP
示z
0
x
iy
.
4. 三角表示法
定义 称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对 值。
记为 z r x2 y2 .
z1 z2 z1 z2
• z1 z2 表示两点之间的距离. 2. 两复数的积
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ). 设 z1 r1(cos1 i sin1）, z2 r2(cos2 i sin2）,
则 z1 z2 r1 r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]