工程数学II第二节 条件概率与伯努利概型
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例2 一批零件共100个，其中有5个次品，从中 每次取出一个零件检测，检测后不再放回， 连续检测两次，求
• （1）第一次检测是正品的概率； • （2）第一次检测到正品后，第二次检测是正
品的概率；
• （3）两次检测全是正品的概率．
• 解 令 A 、B 分别表示“第一次检测是正品”和
“第二次检测是正品”的事件，则由题意可
即 0.75n ≤0.05 ，解得 n≥11 ，
故至少需配备11门高炮 .
• 4 伯努利概型
n 重独立试验 做n 次重复的试验，如果满足条件： （1）每次试验条件都相同，因此各次试验中同一
个事件的出现概率相同；
（2）各次试验结果相互独立，则称为 n 重独立试 验．
• 重伯努利（Bernoulli）试验 对于 n 重独立 试n验，若每次试验可能结果只有两个，即 A与 A
• 解 令 A 表示“第一次取到正品”B， 表示
“第二次取到正品”，依题P(意B A应) 求
．由A
于事件 已发生，于是第二次抽取时共有99个
零件，其中有89个正品，因此有
P(B A) 89
99
• 2 乘法公式
• 由条件概率定义，在 P(B) 0 的条件下有
P(AB) P(B)P(A B) ，
• 解 设需配备 n 门高炮， A 表示“击中飞机”，
Ai 表示“第i 门炮击中飞机(”i 1, 2, , n) ，则
P( A) P( A1 A2
An ) ≥ 0.95
，
即
1 P( A1)P( A2 ) P( An ) ≥ 0.95，
将 P( Ai ) 1 P( Ai ) 1 0.25 0.75 代入，得 1 0.75n ≥0.95
P(C) P(A B) P(A) P(B) P(A)P(B)
0.8 0.7 0.80.7 0.94 ；
• 解2 先求出 P(C) ． 因为， C A B A B 且由事件 A、B 相互独立可 知，A 、B也相互独立， 所以
P(C) 1 P(C) 1 P( AB)
Cnk
pk qnk
n! k !(n k)!
pk qnk
其中q 1 p, k 0,1, 2, , n．式又称为二
项概率公式．
例6 某篮球运动员一次投篮投中的概率为0.8 ，
求该运动员投篮10次投中6次的概率和至少投
2．多个事件的独立性 • 定义３ 对三个事件 A 、B 、C ，若
P(AB) P(A)P(B)
P(AC) P(A)P(C)
P(BC) P(B)P(C)
则称 A、B 、C 三事件两两相互独立． • 定义４ 对三个事件 A 、B 、C ，若
P(AB) P(A)P(B) P(AC) P(A)P(C)
1 P( A)、P(B)
1 (1 0、.8)(1 0.7) 0.94 ； 解3 因为 C AB AB AB ，且 AB 、AB、AB 两两互 不相容，则
P(C) P( A)P(B) P( A)P(B) P( A)P(B)
0.80.7 0.8(1 0.7) (1 0.8) 0.7 0.94
知： P(A) 95 0.95
• （1）
100
；
P(B A) 94 0.94、95
• （2）
99
；
P(AB) P(A)P(B A) 0.9020
• （3）
．
• 3 独立性
1．两个事件的独A立性B
P(AB) P(A)P(B)
• 定义２ A若事B件 、 满足
• 定理1 若四对事件 A、B ；A 、B；A 、B ；A 、B 中有 一对相互独立，则另外任一对也相互独立．
品A ”
， i
表示“A加工A1 出A来2 的A3零件是次品”，则
．
A1, A2 , A3
且P( A) 1相P(互A)独 1立 ．P( A于1A是2 A3所) 求1次P(品A1)率P( A2 )P( A3)
1 0.990.980.97 5.89%
．
• 例5 设某型号高炮每次击中飞机的概率为 0.25问至少需配备多少门这种高炮，才能使同 时独立发射一次就能击中飞机的概率达到 95%以上．
• 此定理说明：四对事件或者都独立，或者都不 独立．
• 例3 甲、乙两人同时独立向一目标射击，已知 甲击中目标的概， 率为 ，0.8乙击中目标的概率 为 0.7，求击中目标的概率．
• 解 令 A 表示“甲击中目标”B， 表示“乙击 中目标C”， 表示“击中目标”．
• 解1 由题意知 C A B ，
且 P(A) p(0 p 1) ，P(A) 1 p q ，则此 重独立 试验又称为重伯努利（Bernoulli）试验或n伯努利
概型．
• 二项概率公式 设事件A 在一次试验中发生的 概率为 p，则在 n 重伯努利试验中，事件A 恰好 发生 k 次的概率记为 Pn (k) ，且
Pn (k)
（ 1.3.1）
． 同样，在 P(A) 0 的条件下有
P(AB) P(A)P(B A) ，
（1.3.2）
称（1.3.1）和（1.3.2）式为概率的乘法公式．
• 乘法公式可以推广到 n 个事件积的情形．
设 P( A1A2 An ) 0 ，则
P(A1A2 An ) P(A1)P(A2 A1)P(A3 A1A2) P(An A1A2 An1)
、wk.baidu.com
P(BC) P(B)P(C) P(ABC) P(A)P(B)P(C)
则称 A、B 、C 相互独立．
• 例4 加工某一零件共需经过3道工序，设第一、 二、三道工序的次品率分别为1%、2%、3%， 假定各道工序互不影响，求加工出来的零件的 次品率．
• 解 令 Ai 事件且表示“第道工序出现次 (i 1, 2,3)
第二节 条件概率与伯努利概型
• 1 条件概率
• 定义１ 设 A 、B是某随机试验中的两个事件， 且 P(B) 0，则称
P(A B)
P( AB) P(B)
为事件 B 已发生的条件下事件 A发生的条件概
率．
• 例1 一批零件共100个，其正品90个，次品 10个，从中连续抽取两次，每次抽取一个， 作不放回抽样，已知第一次取到正品，求第 二次取到正品的概率．
• （1）第一次检测是正品的概率； • （2）第一次检测到正品后，第二次检测是正
品的概率；
• （3）两次检测全是正品的概率．
• 解 令 A 、B 分别表示“第一次检测是正品”和
“第二次检测是正品”的事件，则由题意可
即 0.75n ≤0.05 ，解得 n≥11 ，
故至少需配备11门高炮 .
• 4 伯努利概型
n 重独立试验 做n 次重复的试验，如果满足条件： （1）每次试验条件都相同，因此各次试验中同一
个事件的出现概率相同；
（2）各次试验结果相互独立，则称为 n 重独立试 验．
• 重伯努利（Bernoulli）试验 对于 n 重独立 试n验，若每次试验可能结果只有两个，即 A与 A
• 解 令 A 表示“第一次取到正品”B， 表示
“第二次取到正品”，依题P(意B A应) 求
．由A
于事件 已发生，于是第二次抽取时共有99个
零件，其中有89个正品，因此有
P(B A) 89
99
• 2 乘法公式
• 由条件概率定义，在 P(B) 0 的条件下有
P(AB) P(B)P(A B) ，
• 解 设需配备 n 门高炮， A 表示“击中飞机”，
Ai 表示“第i 门炮击中飞机(”i 1, 2, , n) ，则
P( A) P( A1 A2
An ) ≥ 0.95
，
即
1 P( A1)P( A2 ) P( An ) ≥ 0.95，
将 P( Ai ) 1 P( Ai ) 1 0.25 0.75 代入，得 1 0.75n ≥0.95
P(C) P(A B) P(A) P(B) P(A)P(B)
0.8 0.7 0.80.7 0.94 ；
• 解2 先求出 P(C) ． 因为， C A B A B 且由事件 A、B 相互独立可 知，A 、B也相互独立， 所以
P(C) 1 P(C) 1 P( AB)
Cnk
pk qnk
n! k !(n k)!
pk qnk
其中q 1 p, k 0,1, 2, , n．式又称为二
项概率公式．
例6 某篮球运动员一次投篮投中的概率为0.8 ，
求该运动员投篮10次投中6次的概率和至少投
2．多个事件的独立性 • 定义３ 对三个事件 A 、B 、C ，若
P(AB) P(A)P(B)
P(AC) P(A)P(C)
P(BC) P(B)P(C)
则称 A、B 、C 三事件两两相互独立． • 定义４ 对三个事件 A 、B 、C ，若
P(AB) P(A)P(B) P(AC) P(A)P(C)
1 P( A)、P(B)
1 (1 0、.8)(1 0.7) 0.94 ； 解3 因为 C AB AB AB ，且 AB 、AB、AB 两两互 不相容，则
P(C) P( A)P(B) P( A)P(B) P( A)P(B)
0.80.7 0.8(1 0.7) (1 0.8) 0.7 0.94
知： P(A) 95 0.95
• （1）
100
；
P(B A) 94 0.94、95
• （2）
99
；
P(AB) P(A)P(B A) 0.9020
• （3）
．
• 3 独立性
1．两个事件的独A立性B
P(AB) P(A)P(B)
• 定义２ A若事B件 、 满足
• 定理1 若四对事件 A、B ；A 、B；A 、B ；A 、B 中有 一对相互独立，则另外任一对也相互独立．
品A ”
， i
表示“A加工A1 出A来2 的A3零件是次品”，则
．
A1, A2 , A3
且P( A) 1相P(互A)独 1立 ．P( A于1A是2 A3所) 求1次P(品A1)率P( A2 )P( A3)
1 0.990.980.97 5.89%
．
• 例5 设某型号高炮每次击中飞机的概率为 0.25问至少需配备多少门这种高炮，才能使同 时独立发射一次就能击中飞机的概率达到 95%以上．
• 此定理说明：四对事件或者都独立，或者都不 独立．
• 例3 甲、乙两人同时独立向一目标射击，已知 甲击中目标的概， 率为 ，0.8乙击中目标的概率 为 0.7，求击中目标的概率．
• 解 令 A 表示“甲击中目标”B， 表示“乙击 中目标C”， 表示“击中目标”．
• 解1 由题意知 C A B ，
且 P(A) p(0 p 1) ，P(A) 1 p q ，则此 重独立 试验又称为重伯努利（Bernoulli）试验或n伯努利
概型．
• 二项概率公式 设事件A 在一次试验中发生的 概率为 p，则在 n 重伯努利试验中，事件A 恰好 发生 k 次的概率记为 Pn (k) ，且
Pn (k)
（ 1.3.1）
． 同样，在 P(A) 0 的条件下有
P(AB) P(A)P(B A) ，
（1.3.2）
称（1.3.1）和（1.3.2）式为概率的乘法公式．
• 乘法公式可以推广到 n 个事件积的情形．
设 P( A1A2 An ) 0 ，则
P(A1A2 An ) P(A1)P(A2 A1)P(A3 A1A2) P(An A1A2 An1)
、wk.baidu.com
P(BC) P(B)P(C) P(ABC) P(A)P(B)P(C)
则称 A、B 、C 相互独立．
• 例4 加工某一零件共需经过3道工序，设第一、 二、三道工序的次品率分别为1%、2%、3%， 假定各道工序互不影响，求加工出来的零件的 次品率．
• 解 令 Ai 事件且表示“第道工序出现次 (i 1, 2,3)
第二节 条件概率与伯努利概型
• 1 条件概率
• 定义１ 设 A 、B是某随机试验中的两个事件， 且 P(B) 0，则称
P(A B)
P( AB) P(B)
为事件 B 已发生的条件下事件 A发生的条件概
率．
• 例1 一批零件共100个，其正品90个，次品 10个，从中连续抽取两次，每次抽取一个， 作不放回抽样，已知第一次取到正品，求第 二次取到正品的概率．