上海高中数学-复数讲义

复数一、知识点梳理： 1、i 的周期性：i 4=1，所以，i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1()n Z ∈()44142430n n n n i i i i n Z ++++++=∈2、复数的代数形式：(),a bi a b R +∈，a 叫实部，b 叫虚部，实部和虚部都是实数。

{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。

N Z Q R C.3、复数相等：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ；00a bi a +=⇔=且b=04、复数的分类：0,0)0)0,0)Z a bi a a ⎧⎪=+≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b虚数不能比较大小，只有等与不等。

即使是3,62i i ++也没有大小。

5、复数的模：若向量u u r OZ 表示复数z ，则称u u rOZ 的模r 为复数z 的模， 22||z a bi a b =+=+ 积或商的模可利用模的性质（1）112n n z z z z z ⋅=⋅⋅⋅L L ，（2）()112220z z zz z =≠6、复数的几何意义：复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b (),Z a bi a b R =+∈↔u u r一一对应复数平面向量OZ ，7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8、复数代数形式的加减运算复数z 1与z 2的和：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . (),,,a b c d R ∈ 复数z 1与z 2的差：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . (),,,a b c d R ∈ 复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义：复数z 1=a +bi ，z 2=c +di (),,,a b c d R ∈；OZ =1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i复数减法的几何意义：复数z 1-z 2的差(a －c )+(b －d )i 对应由于1212Z Z OZ OZ =-u u r u r u u u u r u u u u r，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.9. 特别地，AB z =u u u r z B －z A .，B A ABz AB z z ==-u u u r 为两点间的距离。

12||||z z z z -=-z 对应的点的轨迹是线段12Z Z 的垂直平分线；0||z z r -=， z 对应的点的轨迹是一个圆；()1212||||22z z z z a Z Z a -+-=<， z 对应的点的轨迹是一个椭圆；()1212||||22z z z z a Z Z a ---=>， z 对应的点的轨迹是双曲线。

10、显然有公式：()12121222221212122z z z z z z z z z z z z -≤±≤+++-=+11、复数的乘除法运算：复数的乘法：z 1z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . (),,,a b c d R ∈ 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。

实数集R 中正整数指数的运算律,在复数集C 中仍然成立.即对z 1,z 2,z 3∈C 及m,n ∈N *有:z m z n =z m+n , (z m )n =z mn , (z 1z 2)n =z 1n z 2n .复数的除法：12z z =(a+bi)÷(c+di)=di c bi a ++=2222ac bd bc adi c d c d+-+++ (),,,a b c d R ∈，分母实数化是常规方法12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；(),,z a bi z a bi a b R =+=-∈，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。

||z z ==2222,z z a b R z z z z ⋅=+∈⋅==，111212121222,,z z z z z z z z z z z z ⎛⎫±=±⋅=⋅= ⎪⎝⎭ 13、熟记常用算式：1i i=-，i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-，i i i =-+11，i ii-=+-11 14、复数的代数式运算技巧：（1）①i i 2)1(2=+ ②i i 2)1(2-=- ③i i i =-+11 ④ii i-=+-11（2）“1”的立方根i2321±-=ω的性质：①13=ω ②ωω=2 ③012=++ωω ④11-=+ωω ⑤ωω=115、实系数一元二次方程的根问题：（1）当042≥-=∆ac b 时，方程有两个实根 21,x x 。

（2）当042<-=∆ac b 时，方程有两个共轭虚根，其中 21x x =。

此时有 acx x x x ===212221且a i b x 22,1∆-±-=。

注意两种题型：21x x (1)- 21x x (2)+虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。

但仍然适用韦达定理。

已知12x x -是实系数一元二次方程0c bx ax 2=++的两个根，求12x x -的方法： （1）当042≥-=∆ac b 时，aacb x x x x x x 44)(22122112-=-+=-(2)当042<-=∆ac b 时，ab ac x x x x x x 2212211244)(-=-+=-已知21x ,x 是实系数一元二次方程0c bx ax 2=++的两个根，求12x x +的方法：（1）当042≥-=∆ac b 时，①,021≥⋅x x 即0≥ac，则 a b x x x x =+=+2112②,021<⋅x x 即0<ac ，则 a ac b x x x x x x x x 44)(2212212112-=-+=-=+（2）当042<-=∆ac b 时，a c x x x x x 22221112=⋅==+二、典例分析：例1．（1）复数(1+i)21－i等于( )A.1－iB.1+iC.－1+ iD.－1－i 解析: 复数(1+i)21－i =2(1)11ii i i i=+=-+-，选C ．（2）若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝ ． 解：已知2211i Z iZ i Z i i⇒-=⇒==--；（3）设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a +b i)(c +d i)为实数的充要条件是A.ad －bc =0B.ac －bd =0C. ac +bd =0D.ad +bc =0 解析：（1）,,,a b c R ∈复数()()a bi c di ++=()()ac bd ad bc i -++为实数，∴0ad bc +=，选D ； （4）已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11（ ） (A)1+2i (B) 1－2i (C)2+i (D)2－i解析：()()i n n m ni i m-++=⇒-=+1111，由m 、n 是实数，得⎩⎨⎧=+=-m n n 101，∴i ni m m n +=+⇒⎩⎨⎧==221，故选择C 。

（5）设,x y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y += 。

解析：(1)(12)2()()112252525x y x i y i x y x y i i i +++=+=+++--， 而55(13)13131022i i i +==+- 所以123252252x y x y +=+=且，解得x ＝－1，y ＝5， 所以x ＋y ＝4。

点评：本题考查复数的运算及性质，基础题。

例2：（1）计算：19961232132⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++-i i i答案：i +-1（2）设复数z 满足关系i z z +=+2||，求z ；解：设z=a+bi （a,b 为实数），由已知可得i b a bi a +=+++222由复数相等可得：⎪⎩⎪⎨⎧==++1222b b a a ，解得1,43==b a ，所以i z +=43设z=a+bi-x+yi （a,b 为实数）复数问题实数化。

（3）若C x ∈，解方程x i x -+=31||解：设x=a+bi (a,b ∈R)代入条件得:i b a b a )3(122-+-=+,由复数相等的定义可得：⎩⎨⎧=--=+03122b ab a ,∴a=－4，b=3，∴x=－4+3i 。

例3：(1)复数z 满足1||||22=--+i z i z ，则z 对应的点在复平面内表示的图形为（A ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线解：令z=x+yi （x ，y ∈R ），则x 2+(y+1)2－[x 2+(y －1)2]=1，∴y=1/4。

故选A 。

（2）设复数z 满足：3|33|=-+i z ，求|z|的最大值与最小值；解：|z|的最大值为33，最小值为3；（3）已知z ∈C ，|z －2|=1且复数z －2对应的点落在直线y=x 上，求z 。

解：设z －2=a+ai ，∵|z －2|=1，∴22±=a ，∴i z 22222++=或i z 22222--=。

【思维点拨】从整体出发利用条件，可简化运算，本题也可设z=a+bi 再利用条件，但运算复杂。

(4)设2||1,≤≤∈z C z ，则复数)1(i z u +=，在复平面内对应的图形面积为_______。

解：∵|u|=|z |•|1+i|=2|z|，∴2≤|u|≤2，故面积S=ππ2])2(2[22=-。

【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。

例4：已知z=1+i ，a ，b 为实数， (1)若ω=z 2+3z －4,求|ω|;(2)若i z z baz z -=+-++1122，求a ，b 的值。

解：（1）ω=(1+i)2+3(1－i)－4=―1―i ，∴2||=ω。

（2）由条件i i ia b a -=+++1)2()(，∴i i a b a +=+++1)2()(，∴⎩⎨⎧=-=21b a 。