第四章 间接平差

QVV BQ XX B T BQ XL QLX B T Q ˆˆ ˆ ˆ
1 1 1 BN bb B T BN bb B T BN bb B T Q 1 Q BN bb B T
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§4-1 间接平差原理
再计算有关的协因阵，得
T QLL Q QVL BN bb1 B T QLL ˆ ˆ
§4-1 间接平差原理
间接平差是通过选定t个独立参数，将每 个观测量分别表达成这个t个参数的函数，建 立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值 的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测 量的平差值，并评定精度。
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§4-1 间接平差原理
第三章已简述了间接平差法建立函数模型和随机模 ˆ 型的方法，即其函数模型为: V B x l
三、误差模型的非线性函数关系
可对非线性平差值方程线性化，将
ˆ ˆ ˆ ˆ Li Li Vi f X 1 , X 2 ,, X t
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§4-2 误差方程
按泰勒公式展开得 f i f i f i i X x1 X x 2 X ˆ ˆ 1 0 2 0 t
ˆ ˆ V T PV l T PBx l l T Pl l T PBx
考虑
顾及式BTPV=0
l T PB B T Pl ，得
ˆ l T Pl W T x
ˆ V T PV l T Pl B T Plx
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§4-1 间接平差原理
2、协因数阵
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§4-2 误差方程
二、参数的选取
在水准网中，即可以选取待定点高程作为参数，也 可选取点间的高差作为参数， 在图中 A、B、C是已知坐标的三角点，D是待定 点。为求D点坐标，观测了6个水平角。 此例，必要观测数为t=2，通常选取D点的纵横坐标 值为参数，这样的参数总是独立的。此外，也可选取两 ~ ~ 个独立观测量 X D , YD 为参数，例如，选取
第七章 附有约束条件的间接平差
第八章 参数加权平差和分组平差 第九章 参数的区间估计与假设检验 第十章 平差实例
2
第4章 间接平差
§4.1 间接平差原理 §4.2 平差结果的统计性质
§4.3 公式汇编和示例
§4.4 误差椭圆 §4.5 模型误差与法方程系数矩阵的性质 §4.6 法方程的制约性
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（2）
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§4-1 间接平差原理
则平方值方程的矩阵形式为:
ˆ L V BX d
令
n ,1
（3）
ˆ ˆ X X0 x l L BX d
0


（4）
式中 X 0 为参数的近似值，于是得误差方程
为:
ˆ V Bx l
（5）
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§4-1 间接平差原理
L l L0 ˆ x N bb1 B T Pl
ˆ V Bx l
ˆ L L V
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§4-1 间接平差原理
由前三个式子，按协因数传播律很容易得出：
QLL Q
1 1 1 Q XX N bb B T PQPBN bb N bb ˆˆ 1 1 T Q XL N bb B T PQ N bb B T QLX ˆ ˆ 1 T QVL BQ XL Q BN bb B T Q QLV ˆ 1 1 QVX BQ XX QLX BN bb BN bb 0 Q XV ˆ ˆ ˆ ˆˆ
V T PV V T PV ˆ2 0 r nt
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§4-1 间接平差原理
三、精度评定
1、单位权中误差的计算
V T PV ˆ 中误差为 0 nt
计算VTPV，可将误差方程代入后计算，即
V
T
ˆ Bx l T PV x T B T PV l T PV , PV ˆ
按最小二乘原理，上式的 x 必须满足V T PV min ˆ 的要求，因为t个参数为独立量，故可按数学上求函 数自由极值的方法，得：
V T PV V T 2V P V T PB 0 ˆ ˆ x x
（6）
转置后得 B T PV 0 （7） ˆ 以上所得式中的待求量是n个V和 x ，而方程 个数也是n+t个，有唯一解，称（5）、（7）两式 为间接平差的基础方程。
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§4-1 间接平差原理
三、精度评定
1、单位权中误差的计算
间接平差与条件平差虽采用了不同的函数模型，但它 们是在相同的最小二乘原理下进行的，所以两法的平差结 果总是相同的，这是因为在满足 V T PV min 条件下V是 ˆ 唯一确定的，故平差值 L V 不因方法不同而异。 L 2 单位权方差 0 的估值 0，计算式是 V T PV ˆ2 除以其自由度，即：
ˆ ˆ ˆ 在间接平差中，基本向量为 Ll , X x ,V和L 。已知 QLL=Q。由于 l L F X 0 L L0 , L0 F X 0 是由近似值计算的函数值，故 F X 0 对于讨论精度将不产 ˆ ˆ, 生影响。此外，按定义知 X X 0 x，故 QXX Qxx ， ˆˆ ˆˆ ˆ 因此下面在与有关的协因数阵中，均将 x写成X ˆ 下面推求各基本向量的自协因数阵和两两向量间的互 协因数阵。 QLL QLX QLV QLL ˆ ˆ T T ˆ T T ~T Q 设 Z L X V L ，则Z的协因数阵为 Q XX Q XV Q XL ˆL ˆˆ ˆ ˆˆ X
n1 nn1 n1
2 2 1 随机模型为: D 0 Q 0 Pnn n1 nn
函数模型表达了估值与观测值改正数V之间的函数关 系，我们通常称为误差方程式。 由于误差方程个数n待求量X和V前总数为n+t，因此 具有无穷多组解，但可按最小二乘原理，在平差准则 V T PV min下求得其解。下面导出间接平差的计算公式。
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§4-1 间接平差原理
解此基础方程，一般是将（5）式代入（7）式，以便先消V，得
ˆ BT PBx BT Pl 0
令：
（8）
N bb B T PB,W B T Pl
t ,t t ,1
上式可简写成
ˆ N bb x W 0
ˆ x N bb1W
式中系数阵满秩，上式称为间接平差的法方程。解之，得
ˆ x B PB
T
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1
B T Pl
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§4-1 间接平差原理
ˆ 将求出的 x 代入误差方程，即可求得改正数V，从而 平差结果为:
ˆ L L V
法方程式的纯量形为
ˆ ˆ ˆ N11 x1 N12 x 2 N1t xt W1 0 ˆ ˆ ˆ N 21 x1 N 22 x 2 N 2t xt W2 0 ˆ ˆ ˆ N t1 x1 N t 2 x 2 N tt xt Wt 0
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§4-2 误差方程
按间接平差法进行平差计算，第一步就是列出误差 方程。为此，要确定平差总是中参数的个数，参数的选 择以及误差方程的建立等。
一、确定待定参数的个数
在间接平差中，待定参数的个数必须等于必要观测 数t，而且要求这t个参数必须是独立的。这样才有可能 将每个观测量表达成这个t个参数的函数，而这种类型的 函数式正是间接平差函数模型的基本形式。就水准网而 言，如果网中有高程已知的水准点，则t 就等于待定点 的个数；若无已知点，则等于全部点数减一，因为这一 点的高程可以任意给定，以作为全网高程的基准，这并 不影响网点高程之间的相对关系。
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（1）
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§4-1 间接平差原理
L1 L2 L L n ˆ X1 ˆ X ˆ X 2 ˆ Xn b11 b12 b1t b21 b22 b2t B b bnt bnt n1 V1 V2 V V n d1 d2 d d n
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§4-1 间接平差原理
二、间接平差求平差值的计算步骤
1．根据平差问题的性质，选择t个独立量作为参数；
2．将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函
数，若函数非数性要将其线性化，列出误差方程; 3．由误差方程系数B和自由项l组成法方程，法方程个数
等于参数的个数t；
4．解算法方程，求出参数，计算参数的平差值； 5．由误差方程计算V，求出观测量平差值。
Q LX Q N B P ˆˆ
T

1 bb

T
QVX ˆ
1 1 T QPBN bb 0 BN bb Q XL ˆˆ T QLV QLV QVV 0 QVL ˆ ˆ
QLL Q QLV QVL QVV ˆˆ
1 BN bb B T
三、平差值函数的中误差


QZZ QVL Q LL ˆ
QVX ˆ Q LX ˆˆ
QVV Q LV ˆ
QVL ˆ Q LL ˆˆ
式中对角线上子矩阵，就是各基本向量的自协因数阵，非 对角线上为两向量的互协因数阵。
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§4-1 间接平差原理
现分别推求如下。上述各量的关系式已知为

f i , , bit X 0 t
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§4-1 间接平差原理
一、间接平差的基础方程及解
设平差问题中有n个观测值L，已知其协因数阵，必要 观测数为t，选定t个数立量为参数X，其估量为X= n x, ˆ X 观测值L与改正数V之和L=L+V，称为观测平差值。按具 体平差问题，列出n个差值方程为：
ˆ ˆ ˆ L1 V1 b11 x i b12 x 2 b1t xt d1 ˆ ˆ ˆ L2 V2 b21 x i b22 x 2 b2t xt d 2 ˆ ˆ ˆ L1 Vn bn1 x i bn 2 xt bmt xt d n
~ ~ X 1 L2 ~ ~ , X 2 L3
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~ ~ X 1 L2 ~ ~ , X 2 L2
~ ~ X 1 L4 ~ ~ , X 2 L6
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§4-2 误差方程
~ ~ ~ ~ 等，它们都是函数独立的。但不能选取 X 1 L2 , X 2 L4 , ~ ~ 因为X 1 X 2 BAC 。 综上所述，采用间接平差，应该选定刚好t个而又 函数独立的一组量作为参数。至于应选择其中哪些量 作为参数，则应按实际需要和是否便于计算而定。
Error Theory and Fundation of Surveying Adjustment 主讲：喻铮铮 单位：许昌学院城市与环境学院
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第一章 绪论
第二章 误差理论基础
内 容 提 要
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第三章 平差数学模型与最小二乘原理 第四章 间接平差 第五章 条件平差 第六章 附有参数的条件平差
0 xt Li f i X 10 , X 2 ,, X t0 ˆ 0



f i f i bi1 X , bi 2 X 1 0 2
0 li Li f i X 10 , X 2 ,, X t0 Li L0 i