3.2 光学谐振腔的损耗

− t
解方程得 Leabharlann Baidu (t ) = I 0e
−
δc
L'
t
= I 0e
τR
式中，τ R =
L' δc
——腔的时间常数（腔寿命）
当 t = τ R 时：
I0 I (τ R ) = e
I ( t ) = n ( t ) hν v
用光子数表示光强，设 t 时刻腔内光子数密度为n (t )，则
− t
∴
n (t ) = n0e
τR
式中，n0 表示 t = 0 时刻的光子数密度 L' 当t = τ R = 时： δc n0 n(τ R ) = e
在 t ~ t + dt 时间内减少的光子数密度为 : dn = −
τR
n0
−
t
e
τR
dt
这 dn 个光子在 0 ~ t 时间内它们存在于腔内, 再经过 dt 时间后, 它们就不再腔内,因此它们的寿命为 t
举例
设 τ R = 150ns， = 5 × 1014 Hz ( λ = 0.6µm )， ν 得 Q = 2πντ R = 4.7 × 108
四、无源腔的单模线宽
已知腔内的光强为 I (t ) = I 0e
− t
τR
由于 光的强度与光场振幅的平方成比例，因此上式描述的 光场的振幅为： A(t ) = A0e 而光场可以表示为 : E (t ) = A(t )eiωt = A 0e
当损耗由多种因素引起时，总损耗为 δ = ∑ δi = δ1 + δ2 + ⋯
i
2）单程损耗的计算
a) 谐振腔失调时的几何损耗
当平面腔的两个镜面构成β角时 设腔镜的直径为D，且光在腔内往返m次后逸出腔外，则有 L ⋅ 2 β + L ⋅ 6 β + ... + L ⋅ 2( 2m − 1) β ≈ D ⇒ 2 βL[1 + 3 + ... + ( 2m − 1)] ≈ D ⇒ 2 βLm 2 ≈ D D ∴m = 2 βL
c)
透射损耗
如图所示，初始光强I 0在腔内往返一周，经两个镜子
反射后的光强为： I1 = I 0 r1r2 = I 0e ∴ 1 δ r = − ln r1r2 2
− 2δ r
I0
r1
I1
r2
当r1 = 1，r2 = r ≈ 1时 1 1 (1 − r ) = T 2 2 2 式中，T是输出镜透过率
ε
P
式中，ν — 腔内电磁场的振荡频率
ε — 储存在腔内的总能量
P — 单位时间内损耗的能量
设腔内振荡光束的体积为V，光子数密度为n，则 腔内的总储能为： ε＝nhνV 单位时间内光能的减少为： dε dn n0 P=− = − ⋅ hνV = e dt dt τR
∴品质因数：Q = 2πν
− t
τR
⋅ hνV
ε
P
−
t
= 2πν
n0e
τR
t
⋅ hνV ⋅ hνV
τR
= 2πντ R
n0
−
e
τR
L' = 2πν δc
讨论
a. Q是衡量腔质量的一个重要的物理量，它表征 腔的储能及损耗特性。Q值高，腔的储能性好，损耗低， 腔内光子寿命长。 b. 当腔内存在几种损耗时： 1 1 1 1 = + + ... = ∑ Q Q1 Q2 i Qi
− t 2τ R − t 2 τR
eiωt
由傅里叶分析可知，上式所示的衰减光场将具有有限的 频谱宽度，即
δc ν ∆ν c = = = 2πτ R 2πL' Q
1
——无源腔的单模线宽
无源腔的单模线宽的物理意义：
无源腔中一个本征模式的谱线宽度 无源腔中每一个纵模的谱线宽度 无源腔中一个光子态所占频率范围
θ
Lθ
L
光在谐振腔内往返传输时,由于存在腔镜的衍射, 光 没有完全反射回来, 而有一部分损失掉了：
π ( Lθ + a ) 2 − πa 2 Ｗ1 δd = = π ( Lθ + a ) 2 Ｗ1＋Ｗ2
L2θ 2 + 2 Lθa 2 Lθa 2 Lθ = 2 2 ≈ 2 = 2 L θ + 2 Lθa + a a a
讨论
a. 腔的损耗越低, 光子在腔内的寿命越长, 模式的谱线宽度越窄 b. 当腔内存在多种损耗时： δi c ∆νc = ∑ ∆νci = ∑ i i 2πL'
举例
当τ R = 150ns 时 ∆ν c = 1 2πτ R = 1.06 × 106 Hz
δ r = − ln r ≈
d)
吸收损耗
设由于吸收, 光通过长dz的介质, 衰减量为 : dI = I − I' I 定义吸收系数 ： dI α =− dz I I (z ) = I 0e −αz
dz
I'
∴
若腔内介质 的吸收系数是均匀的，介质的长度为l 则光在腔内往返一次后光强为： I1 = I 0e −2 αl 因此，介质吸收引起的单程损耗为 :
∵ 往返m次光逸出腔外 1 ∴ 往返一次的损耗为： m 1 ∴单程损耗为 δ β = 2m
=
βL
2D
举例
对于一个口径D = 1cm, 腔长L = 1m的平平腔, 若要 求失调损耗δ β < 1%, 则两个镜面的倾斜角 2Dδβ 2 β ≤ = 2 × 10-6 rad ≈ 0.4" L
b) 衍射损耗
Ι0 Ι1 L’
δ的指数定义形式
I1 = I 0 e − 2δ ′ 得 1 I0 δ ′ = ln 2 I1
当δ << 1时： 1时： I 0 − I1 I 0 − I 0e −2δ' 1 1 δ= = = − ( 1 − 2δ') = δ' 2I 0 2I 0 2 2
δ 吸 = αl
二、光子在腔内的平均寿命
设单程损耗为δ，腔长为L′，则光通过单位距离后光强 衰减的百分数为： 2δ dI I1 − I 0 δ = =− =− 2 L' Idz I 0 2 L′ L'
将 dz = c ⋅ dt 代入上式 得 dI δc =− Idt L' ⇒ dI δc = − dt I L'
所有光子的平均寿命为： 1 τ = ∫ t ( −dn ) n0 1 = n0 =τR
∫
∞
0
n0 t e τR
−
t
τR
dt
讨论
L′ a. 当 δ＝1 时，损耗最大，τ R = = t（光子在腔内的渡越时间） T c 光在腔内传输一次；
δ 越小，τ R 越大，腔内光子的平均寿命越长；
b. 当腔内存在多种损耗因素时： 1
3. 损耗的描述：
用平均单程损耗因子δ来定量描述 1）平均单程损耗的定义 光在腔内单程渡越时光强的平均衰减百分数。
设初始光强为 I 0，在无源腔中往返一次 后，光强衰减为 I1， 损耗为： 则光在腔内往返一次的 损耗为： I －I 2δ＝ 0 1 I0 I 0－I1 ∴ δ ＝ 2 I0
根据夫琅和费衍射公式, 忽略第一个暗环以外的光，则： λ Lλ θ ≈ 1.22 2 = 0.61 a a 1 1 ∴ δd ≈ 2 = a N Lλ a2 其中，N = 称为菲涅耳数 。 Lλ
菲涅尔数的定义： 菲涅尔数的定义： 从一个镜面中心看到另 一个镜面上可以划分的 菲涅耳 带的数目。 半波带的数目。
第二节 光学谐振腔的损耗
一、光腔的损耗及其描述
1. 损耗的定义：
光腔的损耗是指光在腔内传播时，由于各种物 理因素造成的光强的衰减。
2. 损耗的种类：
1) 几何损耗：光线在腔内往返几次，可能逸出腔 几何损耗： 外，这种损耗称为几何损耗。
2) 衍射损耗：由于腔的反射口径有限，光在其上 衍射损耗： 会发生衍射，造成一部分能量损失，称为衍射 损耗。 3)输出腔镜的透射损耗 输出腔镜的透射损耗：由于腔镜反射率不为1造 输出腔镜的透射损耗 成的能量损失。 4) 非激活吸收、散射损耗 ： 非激活吸收、 a.工作物质对光有吸收引起的损耗; b.固体内有杂质造成散射引起的能量损耗。
举例
τR
=
δc
L′
=∑
i
1
τR
i
1 L′ δ 当 r1 = r2 = 0.98 时，r = - lnr1r2 = 0.02 ，τ R = = 49.5tT δc 2 设 L = 90cm，n = 1，则得 tT = 3ns，τ R = 150ns
三、无源腔的品质因数——Q值
Q值的定义： Q = 2πν