高考选择、填空压轴题常用解题方法—构造函数法

构造函数法在高考数学解题中的应用

（构造函数法解选填压轴题）

所谓构造函数法是指通过一定方式，设计并构造一个与有待解答问题相关函数，并对其进行观察分析，借助函数本身性质如单调性或利用运算结果，解决原问题方法，简而言之就是构造函数解答问题。

几种导数的常见构造：

1．对于()()x g x f ''>，构造()()()x g x f x h -= 若遇到()()0'≠>a a x f ，则可构()()ax x f x h -=

2．对于()()0''>+x g x f ，构造()()()x g x f x h += 3．对于'()()0f x f x +>，构造()()x f e x h x

=

4．对于'()()f x f x > [或'()()0f x f x ->]，构造()

()x

f x h x e = 5．对于()()0'>+x f x xf ，构造()()x xf x h = 6．对于()()0'>-x f x xf ，构造()()x

x f x h =

一、构造函数法比较大小

例1．已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称,且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立，

0.20.22(2)a f =⋅，log 3(log 3)b f ππ=⋅，33log 9(log 9)c f =⋅,则,,a b c 的大小关系是

( )

.Aa b c >> .B a c b >> .C c b a >> .Db a c >>

【解析】

因为函数()y f x =关于y 轴对称, 所以函数()y xf x =为奇函数. 因为[()]'()'()xf x f x xf x =+,

所以当(,0)x ∈-∞时,[()]'()'()0xf x f x xf x =+<,函数()y xf x =单调递减, 当(0,)x ∈+∞时,函数()y xf x =单调递减. 因为0.2

12

2<<,0131og π<<,3192og =,

所以0.23013219og og π<<<,所以b a c >>,选D.

变式: 已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为'()f x ，当0x ≠时，()

'()0f x f x x

+

>， 若111

(),2(2),ln (ln 2)222

a f

b f

c f =

=--=，则下列关于,,a b c 的大小关系正确的是（ D ） .Aa b c >> .B a c b >> .C c b a >> .Db a c >>

例2．已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '>，则有（ ） A ．2016

(2016)(0)e f f -<，2016(2016)(0)f e f > B ．2016

(2016)(0)e f f -<，2016(2016)(0)f e f < C ．2016

(2016)(0)e

f f ->，2016(2016)(0)f e f > D ．2016

(2016)(0)e

f f ->，2016(2016)(0)f e f <

【解析】

构造函数()

(),x f x g x e

=则2()()()()()()()x x x x f x e e f x f x f x g x e e '''--'==，

因为,x ∀∈R 均有()()f x f x '>，并且0x e >，所以()0g x '<， 故函数()

()x f x g x e

=

在R 上单调递减， 所以(2016)(0)(2016)(0)g g g g -><，，即

2016

2016(2016)(2016)

(0)(0)f f f f e e

--><，， 也就是20162016(2016)(0)(2016)(0)e f f f e f -><，，故选D ．

变式: 已知函数()f x 为定义在R 上的可导函数，且()'()f x f x <对于任意x R ∈恒成立，e 为自然对数的

底数，则（ C ）

2016.(1)(0)(2016)(0)A f e f f e f >⋅<⋅、 2016.(1)(0)(2016)(0)B f e f f e f <⋅>⋅、

2016

.(1)(0)(2016)(0)C f e f f e f >⋅>⋅、 2016.(1)(0)(2016)(0)D f e f f e f <⋅<⋅、

例3．在数列{}n a 中，1

()

n 1,()n n a n N +*=+∈．则数列{}n a 中的最大项为( )．

A B C D ．不存在 【解析】

由已知1a =2a =，3a =4a 易得12234,......a a a a a <>>>. 猜想当2n ≥时，{}n a 是递减数列

又由1

1n n

a n +=+知ln(1)

ln 1n n a n +=

+，

令ln ()x f x x =，则221

ln 1ln ()x x

x x f x x x

⋅--'== ∴当3x ≥时，ln 1x >，则1ln 0x -<，即()0f x '< ∴()f x 在[)3,+∞内为单调递减函数，

2n ∴≥时，{}ln n a 是递减数列，即{}n a 是递减数列 又12a a <，∴数列{}n a

中的最大项为2a ， 故选B ． 练习1．已知函数)(x f y =对任意的)2

2(π

π，-∈x 满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>,则（ ）

A ．)4

(2)0(π

f f >

B. )3

(2)0(π

-

C. )4

()3(2ππf f <

D. )4

()3(2π

π

-<-

f f 提示：构造函数()

()cos f x g x x

=，选D ．

二、构造函数法解恒成立问题

例1．若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，对任意正数a 、b ，若a b <，

则必有（ ）

A ．()()af b bf a <

B ．()()bf a af b <

C ．()()af a bf b <

D ．()()bf b af a < 【解析】

由已知()()0xf x f x '+> ∴构造函数 )()(x xf x F =， 则()F x '=()()0xf x f x '+>， 从而)(x F 在R 上为增函数。

a b < ∴()()F a F b < 即()()af a bf b <，故选C 。

例2．已知)(x f 是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足)()(x f x f x -'≤0，对任意正数a 、b ，

若a b <，则必有（ ）

A ．()()af b bf a ≤

B ．()()bf a af b ≤

C ．()()af a bf b ≤

D ．()()bf b af a ≤

【解析】

x x f x F )

()(=，0)()()(2

'≤-='x x f x xf x F ，故x

x f x F )()(=在（0，+∞）上是减函数，