证明直线与圆相切的常见方法

证明直线与圆相切的常见方法
学习了直线与圆的位置关系,常会遇到证明一条直线是圆的切线的题目,如何证明一条直线是圆的切线,一般会出现以下三种情况.
一、若证明是圆的切线的直线与圆有公共点,且存在连接公共点的半径,此时可根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.简记为“见半径，证垂直”. 例1 如图1,已知AB为⊙O的直径,直线PA过点A,
且∠PAC=∠B.
求证:PA是⊙O的切线.
图1
分析：要证明PA是⊙O的切线，因为AB是⊙O的直径，所以只要证明AB⊥AP.可结合直径所对的圆周为直角进行推理.
证明：因为AB为⊙O的直径，
所以∠ACB=90°，所以∠CAB+∠B=90°，
因为∠PAC=∠B，
所以∠CAB+∠PAC=90°，即∠BAP=90°，
所以PA是⊙O的切线.
二、若给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径，则连结公共点和圆心，然后根据“经过半径外端且垂直这条半径的直线是圆的切线”来证明.简记为“作半径，证垂直”. 例2如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．
求证：DE是⊙O的切线．
证明：连接OC，则OA=OC，
所以∠CAO=∠ACO，
因为AC平分∠EAB，
所以∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，
所以AE∥CO，
又AE⊥DE，
所以CO⊥DE，
所以DE是⊙O的切线．
三、若直线与圆的公共点不明确时，则过圆心作该直线的垂线段，然后根据“圆心到直线的距离等于圆的半径，该直线是圆的切线”来证明.简记为“作垂直，证相等”.
例3 如图3，已知，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O 与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F.
求证：CD与⊙O相切．
图3
分析：要识别“CD与⊙O相切”，由于不知道CD经过圆上哪一点，所以先过点O作：ON ⊥CD于N，再证明ON是⊙O半径。

易知OM是⊙O的半径，只要证明：OM=ON即可.
证明：连结OM，作ON⊥CD于N，
因为⊙O与BC相切，
所以 OM⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形，
所以 AC平分∠BCD.
所以OM=ON. 图 4
所以CD与⊙O相切.
总结：切线判断并不难，认真审题是重点；直线与圆有交点，连接半径是关键，推得垂直是切线；若没明确是切点，作过圆心垂线段，半径相等得切线.。