人教版选修【1-2】2.2.1《综合法和分析法》习题及答案

数学·选修1－2(人教A版)

2.2 直接证明与间接证明

2．2.1 综合法和分析法

►达标训练

1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”应用了( )

A．分析法

B．综合法

C．综合法与分析法结合使用

D．演绎法

解析：这是由已知条件入手利用有关的公式证得等式，应用了综合法，故选B.

答案：B

2．要证明3＋5<4可选择的方法有以下几种，其中最合理的为( )

A．综合法 B．分析法

C．比较法 D．归纳法

解析：要证明3＋5<4，只需证明(3＋5)2<16，即8＋215 <16，即证明15<4，亦即只需证明15<16，而15<16显然成立，故原不等式成立．因此利用分析法证明较为合理，故选B.

答案：B

3．已知a＞0，a－b＋c＜0，其中a，b，c均为实数，则一定有( )

A．b2－4ac＞0 B．b2－4ac≤0

C．b2－4ac＜0 D．b2－4ac≥0

答案：A

4．要使3

a－

3

b＜

3

a－b成立，则a，b应满足的条件是( )

A．ab＜0且a＞b

B．ab＞0且a＞b

C．ab＜0且a＜b

D．ab＜0且a＜b或ab>0且a>b

解析：思路不明确，用分析法寻求使不等式成立的条件．

3

a－3

b＜

3

a－b⇔a－b＋3

3

ab2－3

3

a2b＜a－b⇔

3

ab2＜

3

a2b，

∴当ab＞0时，有3

b＜

3

a，即b＜a；

当ab＜0时，有3

b＞

3

a，即b＞a.

所以选D.

答案：D

5．已知直线l，m与平面α，β，γ满足β∩γ＝l，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必定有( )

A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β

C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ

答案：A

6．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若S1＝1，＝4，则

的值为( )

A.9

4

B.

3

2

C.5

4

D.4

解析：S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，由＝4得＝3，

则S 6－S 4＝5S 2，所以S 4＝4S 2，S 6＝9S 2，＝.

答案：A

►素能提高

1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2 －S k ＝24，则k ＝( )

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

答案：D

2．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＞0，则1a ＋1b ＋1

c

的

值( )

A ．一定是正数

B ．一定是负数

C ．可能是0

D ．正负不能定

解析：取特殊值．如取a ＝2，b ＝－1，c ＝－1知选B. 答案：B

3．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b 2，n ＝lg a ＋b

2

，则m 与n 的

大小关系为________．

解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a ＋b ＋2ab 4>⎝

⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22

所以a ＋b 2>a ＋b 2

.又因为y ＝lg x 为增函数，

所以有m >n . 答案：m ＞n

4．若平面内OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，且⎪⎪⎪⎪OP 1→＝⎪⎪⎪⎪OP 2→＝⎪⎪⎪

⎪OP 3→，则△P 1P 2P 3的形状一定是______________．

解析：设⎪⎪⎪⎪OP 1

→＝⎪⎪⎪⎪OP 2

→＝⎪⎪⎪⎪OP 3

→＝r ，

所以P 1，P 2，P 3均在以O 为圆心，r 为半径的圆上， 又因为OP

1

→＋OP 2

→＋OP 3

→＝0， 所以有⎪⎪⎪⎪OP 1→＋OP 2→＝⎪⎪⎪⎪－OP 3→＝r ， 即有OP 1→2＋2OP 1→·OP 2→＋OP 2→2＝r 2

，

所以OP 1→·OP 2→＝－r 22

， 即cos ∠P 1OP 2＝OP 1→·OP 2

→⎪⎪⎪⎪OP 1→·⎪⎪⎪⎪OP 2→＝－12， 所以∠P 1OP 2＝120°，故∠P 1P 3P 2＝60°. 同理可证∠P 2P 1P 3＝60°，故△P 1P 2P 3是正三角形． 答案：正三角形

5．函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)，若点A

在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1

n

的最小值为________．

解析：由于y ＝a 1－x 恒过点A (1,1)，而点A 在直线上，则m ＋n －1＝0，即m ＋n ＝1，

所以，1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m

n ≥2＋

4， 当且仅当m ＝n ＝12

时，1m ＋1

n 取得最小值4.

答案：4