2020届甘肃省高三第一次高考诊断考试数学（文）试题

2020届甘肃省高三第一次高考诊断考试数学（文）

试题

学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________

一、单选题

1. 已知，，则（）A．B．C．D．

2. 已知：，则（）

A．B．C．D．

3. 某高中三个年级学生人数的比例如图所示，先采用分层抽样的办法从高一、高二、高三共抽取人参加“全面依法治国”知识竞赛，则高二年级应抽取人数为（）

A．B．C．D．

4. 已知平面向量，满足，，且，则

（）

A．3 B．C．D．5

5. 已知双曲线的一个焦点为，则其渐近线方程为（）

A．B．C．D．

6. 已知，则（）

A．B．C．D．

7. 为了弘扬中国优秀传统文化，某班打算召开中国传统节日主题班会，在春节、清明节、端午节、中秋节、重阳节中随机选取两个节日来学习其文化内涵，其中中秋节被选中的概率为（）

A．B．C．D．

8. 已知，，，则、、的大小关系为（）A．B．C．D．

9. 已知抛物线经过点，焦点为，则直线的斜率为（）

A．

D．

B．C．

10. 侧棱长与底面边长都相等的四棱锥中，若为侧棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（）

A．B．C．D．

11. 在中，角、、对边分别为、、，若，

，且，则的周长是（）A．B．C．D．

12. 若函数为奇函数（其中为常数），则不等式

的整数解的个数是（）

A．B．C．D．

二、填空题

13. 曲线在处的切线方程为__________．

14. 实数，满足约束条件，则的最大值为

__________.

15. 设、是空间两条不同的直线，、是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：

①若，，，则；

②若，，，则；

③若，，，则；

④若，，，，则．

其中正确的是__________（填序号）．

16. 设函数时，若时，存在零点和极值点，则整数的最小值为__________．

三、解答题

17. 数列满足，是与的等差中项.

（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

18. 某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了让健身馆会员参与的健身促销活动．

（1）为了解会员对促销活动的兴趣程度，现从某周六参加该健身馆健身活动的会员中随机采访男性会员和女性会员各人，他们对于此次健身馆健身促销活动感兴趣的程度如下表所示：

感兴趣无所谓合计

男性

女性

合计

根据以上数据能否有的把握认为“对健身促销活动感兴趣”与“性别”有关？

（2）在感兴趣的会员中随机抽取人对此次健身促销活动的满意度进行调查，以茎叶图记录了他们对此次健身促销活动满意度的分数（满分分），如图所示，若将此茎叶图中满意度分为“很满意”（分数不低于分）、“满意”（分数不低于平均分且低于分）、“基本满意”（分数低于平均分）三个级别．先从“满意”和“很满意”的会员中随机抽取两人参加回访馈赠活动，求这两人中至少有一人是“很满意”会员的概

率．

19. 如图，正方体的棱长为，为棱的中点．

（1）画出过点且与直线垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；

（2）求点到该平面的距离．

20. 椭圆的右焦点，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，若，求的面积．

21. 函数（且）．

（1）若，判断函数的单调性；

（2）当时，求证：的图象恒在函数的图象的下方．

22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：.

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取得最大值时直线的直角坐标方程.

23. 已知函数，不等式的解集为. （1）求实数，的值；

（2）若，，，求证：.