2012中考数学压轴题及答案40例(2)

2012中考数学压轴题及答案40例（2）
5.如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数2
14
y x =
在第一象限内的图象上的任一点，
点A 的坐标为(01)，，直线l 过(01)B -，且与x 轴平行，
过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于C Q ，，连结AQ 交x 轴于H ，直线P H 交y 轴于R ． （1）求证：H 点为线段AQ 的中点； （2）求证：①四边形APQR 为平行四边形；
②平行四边形APQR 为菱形；
（3）除P 点外，直线P H 与抛物线2
14
y x =
有无其它公共点？并说明理由．
（08江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知1AO CQ ==．
90AO H Q C H ∠=∠=
，AHO QHC ∠=∠，
AOH QCH ∴△≌△． ·
·······················································································（1分） O H C H ∴=，即H 为AQ 的中点． ···································································（2分）
法二：(01)A ，，(01)B -，，O A O B ∴=． ························································（1分） 又BQ x ∥轴，HA HQ ∴=． ·············································································（2分） （2）①由（1）可知AH QH =，AHR QHP ∠=∠，
AR PQ ∥，RAH PQH ∴∠=∠，
RAH PQH ∴△≌△． ·
························································································（3分） AR PQ ∴=，
又AR PQ ∥，∴四边形APQR 为平行四边形． ·················································（4分）
②设214P m m ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，PQ y ∥轴，则(1)Q m -，，则2
1
14P Q m =+．
过P 作PG y ⊥轴，垂足为G ，在R t APG △中，
2
2
2
2
22
22111111444AP AG PG m m m m PQ ⎛⎫⎛⎫
=+=
-+=+=+= ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
． ∴平行四边形APQR 为菱形． ·
············································································（6分） （3）设直线P R 为y kx b =+，由O H C H =，得22m
H ⎛⎫
⎪⎝⎭，，214P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，代入得：
2021.4m k b km b m ⎧+=⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩， 22
1.
4
m k b m ⎧
=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，∴直线P R 为2124m y x m =-． ·······················（7分） 设直线P R 与抛物线的公共点为214
x x ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，，代入直线P R 关系式得：
2
2
1104
2
4
m x x m -
+
=，
2
1
()04x m -=，解得x m =．得公共点为214m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 所以直线P H 与抛物线2
14
y x =
只有一个公共点P ．··········································（8分）
6.如图13，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴x =2 与x 轴交于点C ，
直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2,m )，且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、E . （1）求m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB =CE ；② D 是BE 的中点；
（3）若P (x ，y )是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P ,使得PB =PE ,若存在，试求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由
.
（1）∵ 点B (-2,m )在直线y =-2x -1上，
∴ m =-2×(-2)-1=3. ………………………………（2分） ∴ B (-2,3)
∵ 抛物线经过原点O 和点A ，对称轴为x =2， ∴ 点A 的坐标为(4,0) .
设所求的抛物线对应函数关系式为y =a (x -0)(x -4). ……………………（3分） 将点B (-2,3)代入上式，得3=a (-2-0)(-2-4)，∴ 4
1=
a .
∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为)4(4
1-=
x x y
，即x
x y -=
2
4
1. （6分）
（2）①直线y =-2x -1与y 轴、直线x =2的交点坐标分别为D (0,-1) E (2,-5). 过点B 作BG ∥x 轴，与y 轴交于F 、直线x =2交于G ， 则BG ⊥直线x =2，BG =4.
在Rt △BGC 中，BC =52
2
=+BG
CG .
∵ CE =5，
∴ CB =CE =5. ……………………（9分） ②过点E 作EH ∥x 轴，交y 轴于H ， 则点H 的坐标为H (0,-5).
又点F 、D 的坐标为F (0,3)、D (0,-1)， ∴ FD =DH =4，BF =EH =2，∠BFD =∠EHD =90°.
∴ △DFB ≌△DHE （SAS ），
∴ BD =DE .
即D 是BE 的中点. ………………………………（11分）
（3） 存在. ………………………………（12分） 由于PB =PE ，∴ 点P 在直线CD 上，
∴ 符合条件的点P 是直线CD 与该抛物线的交点.
设直线CD 对应的函数关系式为y =kx +b . 将D (0,-1) C (2,0)代入，得⎩⎨
⎧=+-=0
21b k b . 解得
1,
2
1-==
b k .
A B
C
O
D
E
x
y
x =2 G F
H
∴ 直线CD 对应的函数关系式为y =2
1
x -1.
∵ 动点P 的坐标为(x ，x
x -2
4
1
)，
∴
2
1x -1=x
x -2
4
1
. ………………………………（13分）
解得
5
31+
=x ，5
32
-=x . ∴ 2
511+=y ，2
511-=y .
∴ 符合条件的点P 的坐标为(5
3+
，2
51+)或(5
3-
，2
51-).…（14分）
(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)
7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－3
2x
2
+b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，
0）、 C （x 2，0）三点，且x 2-x 1=5． （1）求b 、c 的值；（4分）
（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对 角线的菱形；（3
分）
（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）
解： （解析）解：（1）解法一： ∵抛物线y =－
3
2x
2
+b x +c 经过点A （0，－4），
∴c =－4 ……1分
又由题意可知，x 1、x 2是方程－3
2x
2
+b x +c =0的两个根，
∴x 1+x 2=
2
3b ， x
1
x
2
=－2
3c =6·
································································· 2分 由已知得（x 2-x 1）2=25 又（x 2-x 1
）2=（x 2+x 1）2－4x 1
x
2
=
4
9b
2
－24
∴
4
9b
2
－24=25
解得b =±
3
14 ········································································································· 3分
当b =3
14时，抛物线与x 轴的交点在x 轴的正半轴上，不合题意，舍去．
∴b =－3
14． ········································································································ 4分
解法二：∵x 1、x 2是方程－
3
2x
2
+b x +c=0的两个根，
即方程2x 2－3b x +12=0的两个根． ∴x =
4
96
9b 32
-±
b ，·········································································· 2分
∴x 2－x
1
=2
96
9b
2
-=5，
解得 b =±3
14 ····························································································· 3分
（以下与解法一相同．）
（2）∵四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D 必在抛物线
的对称轴上， ···························································································· 5分 又∵y =－
3
2x
2
－
3
14x －4=－
3
2（x +
2
7）2+
6
25 ······························ 6分
∴抛物线的顶点（－
2
7，
6
25）即为所求的点D ． ·································· 7分
（3）∵四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形，点B 的坐标为（－6，0），
根据菱形的性质，点P 必是直线x =-3与 抛物线y =－
3
2x
2
-
3
14x -4的交点， ·
························································ 8分 ∴当x =－3时，y =－3
2×（－3）2－3
14×（－3）－4=4，
∴在抛物线上存在一点P （－3，4），使得四边形BPOH 为菱形． ·········· 9分 四边形BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形BPOH 为正方形，点P 的坐
标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． ·········································· 10分
8.已知：如图14，抛物线2
334
y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34
y x b =-
+相
交于点B ，点C ，直线34y x b =-
+与y 轴交于点E ．
（1）写出直线B C 的解析式． （2）求A B C △的面积．
（3）若点M 在线段A B 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线B C 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出M N B △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，M N B △的面积最大，最大面积是多少？
（解析）解：（1）在2
334
y x =-
+中，令0y =
2
3304
x ∴-
+=12x ∴=，22x =-
(20)A ∴-，，(20)B ， ·
············································· 1分
又 点B 在34y x b =-
+上
302
b ∴=-+32
b =
B C ∴的解析式为334
2
y x =-
+
············································································ 2分
（2）由2334
33
42
y x y x ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得1119
4
x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 2220x y =⎧⎨=⎩ ·················································· 4分 914C ⎛
⎫
∴- ⎪⎝
⎭
，
，(20)B ，
4AB ∴=，94C D =······························································································ 5分
19942
4
2
A B C S ∴=
⨯⨯=
△ ························································································ 6分
（3）过点N 作N P M B ⊥于点P
E O M B ⊥ N P E O ∴∥
B N P B E O ∴△∽△······························································································· 7分 B N N P B E
E O
∴= ········································································································· 8分
由直线334
2
y x =-
+
可得：302E ⎛⎫
⎪⎝
⎭，
∴在B E O △中，2B O =，32
E O =，则52
B E =
25322
t N P ∴=
，65
N P t ∴=
······················································································ 9分
16
(4)25S t t ∴=
- 2
312(04)55
S t t t =-
+
<<··················································································· 10分
2
312(2)5
5
S t =-
-+
···························································································· 11分
此抛物线开口向下，∴当2t =时，125
S =
最大
∴当点M 运动2秒时，M N B △的面积达到最大，最大为
125
． ······················· 12分。