2012中考数学压轴题及答案40例(2)

2012中考数学压轴题及答案40例（2）

5.如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数2

14

y x =

在第一象限内的图象上的任一点，

点A 的坐标为(01)，，直线l 过(01)B -，且与x 轴平行，

过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于C Q ，，连结AQ 交x 轴于H ，直线P H 交y 轴于R ． （1）求证：H 点为线段AQ 的中点； （2）求证：①四边形APQR 为平行四边形；

②平行四边形APQR 为菱形；

（3）除P 点外，直线P H 与抛物线2

14

y x =

有无其它公共点？并说明理由．

（08江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知1AO CQ ==．

90AO H Q C H ∠=∠=

，AHO QHC ∠=∠，

AOH QCH ∴△≌△． ·

·······················································································（1分） O H C H ∴=，即H 为AQ 的中点． ···································································（2分）

法二：(01)A ，，(01)B -，，O A O B ∴=． ························································（1分） 又BQ x ∥轴，HA HQ ∴=． ·············································································（2分） （2）①由（1）可知AH QH =，AHR QHP ∠=∠，

AR PQ ∥，RAH PQH ∴∠=∠，

RAH PQH ∴△≌△． ·

························································································（3分） AR PQ ∴=，

又AR PQ ∥，∴四边形APQR 为平行四边形． ·················································（4分）

②设214P m m ⎛⎫

⎪⎝⎭

，，PQ y ∥轴，则(1)Q m -，，则2

1

14P Q m =+．

过P 作PG y ⊥轴，垂足为G ，在R t APG △中，

2

2

2

2

22

22111111444AP AG PG m m m m PQ ⎛⎫⎛⎫

=+=

-+=+=+= ⎪ ⎪

⎝⎭

⎝⎭

． ∴平行四边形APQR 为菱形． ·

············································································（6分） （3）设直线P R 为y kx b =+，由O H C H =，得22m

H ⎛⎫

⎪⎝⎭，，214P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，代入得：

2021.4m k b km b m ⎧+=⎪⎪⎨

⎪+=⎪⎩， 22

1.

4

m k b m ⎧

=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，∴直线P R 为2124m y x m =-． ·······················（7分） 设直线P R 与抛物线的公共点为214

x x ⎛⎫

⎪⎝

⎭

，，代入直线P R 关系式得：

2

2

1104

2

4

m x x m -

+

=，

2

1

()04x m -=，解得x m =．得公共点为214m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 所以直线P H 与抛物线2

14

y x =

只有一个公共点P ．··········································（8分）

6.如图13，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴x =2 与x 轴交于点C ，

直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2,m )，且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、E . （1）求m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB =CE ；② D 是BE 的中点；

（3）若P (x ，y )是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P ,使得PB =PE ,若存在，试求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由

.

（1）∵ 点B (-2,m )在直线y =-2x -1上，

∴ m =-2×(-2)-1=3. ………………………………（2分） ∴ B (-2,3)

∵ 抛物线经过原点O 和点A ，对称轴为x =2， ∴ 点A 的坐标为(4,0) .

设所求的抛物线对应函数关系式为y =a (x -0)(x -4). ……………………（3分） 将点B (-2,3)代入上式，得3=a (-2-0)(-2-4)，∴ 4

1=

a .

∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为)4(4

1-=

x x y

，即x

x y -=

2

4

1. （6分）

（2）①直线y =-2x -1与y 轴、直线x =2的交点坐标分别为D (0,-1) E (2,-5). 过点B 作BG ∥x 轴，与y 轴交于F 、直线x =2交于G ， 则BG ⊥直线x =2，BG =4.

在Rt △BGC 中，BC =52

2

=+BG

CG .

∵ CE =5，

∴ CB =CE =5. ……………………（9分） ②过点E 作EH ∥x 轴，交y 轴于H ， 则点H 的坐标为H (0,-5).

又点F 、D 的坐标为F (0,3)、D (0,-1)， ∴ FD =DH =4，BF =EH =2，∠BFD =∠EHD =90°.

∴ △DFB ≌△DHE （SAS ），

∴ BD =DE .

即D 是BE 的中点. ………………………………（11分）

（3） 存在. ………………………………（12分） 由于PB =PE ，∴ 点P 在直线CD 上，

∴ 符合条件的点P 是直线CD 与该抛物线的交点.

设直线CD 对应的函数关系式为y =kx +b . 将D (0,-1) C (2,0)代入，得⎩⎨

⎧=+-=0

21b k b . 解得

1,

2

1-==

b k .

A B

C

O

D

E

x

y

x =2 G F

H